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典型例题一

例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？

典型例题二


例2 三个女生和五个男生排成一排
（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
典型例题三


例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？
（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？


典型例题四


例4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育 、美术共六节课，如果第
一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法．

典型例题五

3
位司机和
3
位售票员，例5 现有
3
辆公交车、每辆车上需配
1
位司机和
1
位售票员．问
车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？
典型例题六


例6 下是表是高考第一批录取的一份志愿表．如果有
4
所重点院校，每所院校有
3
个
专业是你较为满意的选择．若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的
话 ，你将有多少种不同的填表方法？
学 校
1
2
3

1
1
1
专 业
2
2
2

1 14 jiangshan整理

典型例题七


例5
7
名同学排队照相．
(1)若分成两排照，前排
3
人，后排
4
人，有多少种不同的排法？
(2)若排成两排照，前排
3
人，后排
4
人，但其中甲必须在前排， 乙必须在后排，有多少
种不同的排法？
(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？
3
名女生，
7
人中有
4
名男生，(4)若排成一排照，女生不能相邻，有多少种不面的排 法？
典型例题八


例8 从
2、3、4、5、6
五个数 字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数
的和．
典型例题九


例9 计算下列各题：
(1)
A
； (2)
A
； (3)
2
15
6
6
A
n1< br>A
nm
A
n1
n1
m1nm
；
(4)
1!22!33!nn!
(5)
1
2!

2
3!

3
4!

n1n!

典型例题十


例10
a,b,c,d,e, f
六人排一列纵队，限定
a
要排在
b
的前面（
a
与
b
可以相邻，
也可以不相邻），求共有几种排法．对这个题目，
A
、
B
、
C
、
D
四位同学各自给出了一
种算式：
A
的算式是
24
1
2
A
6
；
B
的算式是
(A
1
A
2
A
3
A
4A
5
)A
4
；
C
的算式是
A
6< br>；
6
1111144
D
的算式是
C
6
A
4
．上面四个算式是否正确，正确的加以解释，不正确的说明理由．
典型例题十一


例11 八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，
共有多少种安排办法？
典型例题十二


2 14 jiangshan整理

例12 计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画 、4幅油画、5幅国画，排成
一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么 不同陈列方式有
（ ）．
145245
A．
A
4
4A
5
5
B．
A
3
3
A
44
A
5
5
C．
C
3
A
4
A
5
D．
A
2
A
4
A
5


典型例题十三


例13 由数字
0,1,2,3,4,5
组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的
个数共有（ ）．
A．210 B．300 C．464 D．600
典型例题十四


例14 用
1,2,3,4,5
，这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）．
A．24个 B．30个 C．40个 D．60个
典型例题十五

1238
例15 (1)计算
A
1
2A
2
3A
3
8A
8
．
(2)求
S
n
1! 2!3!n!
(
n10
)的个位数字．
典型例题十六


例16 用
0、
组成无重复数字的自然数，(1)可以组成多少个
1、2、3、4、5
共六个数字，
无重复数字的
3
位偶数？(2)可以组成多 少个无重复数字且被
3
整除的三位数？
典型例题十七


例17 一条长椅上有
7
个座位，
4
人坐，要求
3
个空位中，有
2
个空位相邻，另一个空
位与
2
个相邻空位不相邻，共 有几种坐法？







3 14 jiangshan整理

典型例题分析

1、
分析：这一问题的限制条件是：① 没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数
上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件 入手，可划分如下：
如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是
2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二．
如 果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、
8两类，由此 得解法三．
如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解
法四．
解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3
个来排列，故有< br>A
9
3
个；
当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排， 则千位上从余下的八个非零数字中任选一
112
A
8
A
8
（个）个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有
A
4
．
∴ 没有重复数字的四位偶数有
3112

A
9< br>A
4
A
8
A
8
50417922296
个．
解法2：当个位数上排“0”时，同解一有
A
9
个； 当个位数上排2、4、6、8中之一时，
千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减 去千位数是“0”排列数得：
A
4
(A
9
A
8
)
个
132
3
∴ 没有重复数字的四位偶数有
3132

A
9
A
4
(A
9< br>A
8
)50417922296
个．
解法3：千位 数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一
个，百位，十位上从余 下的八个数字中任选两个作排列有
112

A
5
A
5
A
8
个
干位上从2、4、 6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0
在内），百位，十位从余下的八个 数字中任意选两个作排列，有
A
4
A
4
A
8
个
112
∴ 没有重复数字的四位偶数有
112112

A
5
A< br>5
A
8
A
4
A
4
A
82296
个．
解法4：将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数．
43
没有重复数字的四位数有
A
10
A
9
个．
132
其中四位奇数有
A
5
(A
9
A
8
)
个
4 14 jiangshan整理

∴ 没有重复数字的四位偶数有
A
10
A
9A
5
(A
9
A
8
)10A
9
A
9
5A
9
5A
8

431323332
4A
9
5A
8

36A
8
5A
8

22
32
41A
8

2
2296
个
说明：这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解法、
要认真体 会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用．
2、
解：（1）（捆绑法）因为三个女 生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整
体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有< br>A
6
6
种不同排法．对于其中的每一种
排法，三个女生之间又都有A
3
3
对种不同的排法，因此共有
A
6
6
A
3
3
4320
种不同的排法．
（2）（插空法）要保证 女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出
一个空档．这样共有4个空档，加上两边 两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三
个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入 一个女生，就能保证任意两个女生都
不相邻．由于五个男生排成一排有
A
5
种 不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位
353
置中选出三个来让三个女生插入都有< br>A
6
种方法，因此共有
A
5
A
6
144 00
种不同的排法．
5
（3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生 ，所以两端只能挑选5个男生中的2
26
个，有
A
5
种不同的排法， 对于其中的任意一种排法，其余六位都有
A
6
种排法，所以共有
A
5
A
6
14400
种不同的排法．
26
解法2 ：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有
A
8
种不同的排法，从中扣除女生1717
排在首位的
A
3
A
7
种排法和女生排在末位 的
A
3
A
7
种排法，但这样两端都是女生的排法在
8扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以
26还需加一次回来，由于两端都是女生有
A
3
A
6
种不同的排法 ，所以共有
A
8
2A
3
A
7
A
3A
6
1440
种不同的排法．
0

81726
解法3：（元素分析法）从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有
A
6
种 不同
的排法，对于其中的任意一种排活，其余5个位置又都有
A
5
种不同的排 法，所以共有
A
6
A
5
14400
种不同的排法，
5 14 jiangshan整理
35
5
3

（4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位 排了男生，则未位就不再受
171
条件限制了，这样可有
A
5
A< br>7
种不同的排法；如果首位排女生，有
A
3
种排法，这时末位就
1
只能排男生，有
A
5
种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都 有
A
6
6
种不同的排法，
11617116
这样可有
A
3

A
5
A
6
种不同排法．因此共有A
5
A
7
A
3
A
5
A
6
36000
种不同的排法．
解法2：3个女生和5个男生排成一排有
A
8
8
种排法，从中扣去两端都是女生排法
A
3
2
 A
6
6
种，就能得到两端不都是女生的排法种数．
因此共有
A8
8
A
3
2
A
6
6
36000
种不同的排法．
说明：解决排列、组合（下面将学到，由于规律相同，顺便提及，以 下遇到也同样处理）
应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法．
若以位置 为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，有两个以上约束条件，
往往是考虑一个约束条件的同 时要兼顾其它条件．
若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其它的元素．
间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快．
捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用．


3、
解：（1）先排歌唱节目有
A
5
5
种，歌唱节目之间以及两端 共有6个位子，从中选4个
454
放入舞蹈节目，共有
A
6
中方法， 所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：
A
5
A
6
＝43200.
（2）先排舞蹈节目有
A
4
4
中方法，在舞蹈节目之间以及 两端共有5个空位，恰好供5
5
个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：
A
4
4
A
5
＝2880种方法。
说明： 对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排列。
否则，若先排个数较多 的元素，再让其余元素插空排时，往往个数较多的元素有相邻情况。
如本题（2）中，若先排歌唱节目有
A
5
，再排舞蹈节目有
A
6
，这样排完之后，其中含有歌< br>唱节目相邻的情况，不符合间隔排列的要求。

54
4、
分析与解法 1：6六门课总的排法是
A
5
6
6
，其中不符合要求的可分为：体育 排在
5
第一书有
A
5
种排法，如图中Ⅰ；数学排在最后一节有
A
5
种排法，如图中Ⅱ；但这两种排法，
都包括体育排在第一书数学排在最后一节， 如图中Ⅲ，这种情况有
A
4
种排法，因此符合条
件的排法应是：
654

A
6
2A
5
A
4
504
（种）．
4
6 14 jiangshan整理

分析与解法2：根据要求，课程表安排可分为4种情况：
（1）体育、数学既不排在第一节也 不排在最后一节，这种排法有
A
4
2
A
4
4
种；
14
（2）数学排在第一节但体育不排在最后一节，有排法
A
4A
4
种；
14
（3）体育排在最后一节但数学不排在第一节 ，有排法
A
4
A
4
种；
（4）数学排在第一节，体育排在最后一节，有排法
A
4
4

这四类排法并列，不重复也不遗漏，故总的排法有：
1414

A
4
2
A
4
4
A
4
． A
4
A
4
A
4
504
（种）
分析与解法3：根据要求，课表安排还可分下述4种情况：
（1）体育，数学既不在最后也不 在开头一节，有
A
4
2
12
种排法；
（2）数学排在第一节，体育不排在最后一节，有4种排法；
（3）体育在最后一书，数学木在第一节有4种排法；
（4）数学在第一节，体育在最后一节有1种排法．
上述 21种排法确定以后，仅剩余下四 门课程排法是种
A
4
4
，故总排法数为
21A
4
4
504
（种）．
下面再提出一个问题，请予解答．
问题：有6个人排队，甲不在排头，乙不在排尾，问并肩多少种不同的排法．
请读者完成此题．
说明：解答排列、组合问题要注意一题多解的练习，不仅能提高解题能力， 而且是检验
所解答问题正确与否的行之有效的方法．

5、
分析：可以把< br>3
辆车看成排了顺序的三个空：，然后把
3
名司机和
3
名售< br>票员分别填入．因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题．
3
解：分两步 完成．第一步，把
3
名司机安排到
3
辆车中，有
A
3
6
种安排方法；第二步
3
把
3
名售票员安排到
3
辆车中，有
A
3
6
种安排方法．故搭配方案共有
A
3
A
3
36
种．
33
说明：许多 复杂的排列问题，不可能一步就能完成．而应分解开来考虑：即经适当地分
类成分或分步之后，应用分类 计数原理、分步计数原理原理去解决．在分类或分步时，要尽
量把整个事件的安排过程考虑清楚，防止分 类或分步的混乱．

6、
分析：填写学校时是有顺序的，因为这涉及到第一志愿、第 二志愿、第三志愿
的问题；同一学校的两个专业也有顺序，要区分出第一专业和第二专业．因此这是一个 排列
问题．
7 14 jiangshan整理

解：填表过程可分两步．第一步，确定填报学校及其顺序，则 在
4
所学校中选出
3
所并
加排列，共有
A
4
3
种不同的排法；第二步，从每所院校的
3
个专业中选出
2
个专业 并确定其
顺序，其中又包含三小步，因此总的排列数有
A
3
2
A< br>3
2
A
3
2
种．综合以上两步，由分步计数
322 2
原理得不同的填表方法有：
A
4
A
3
A
3< br>A
3
5184
种．
说明：要完成的事件与元素的排列顺序是否有 关，有时题中并未直接点明，需要根据实
际情景自己判断，特别是学习了后面的“组合”之后这一点尤其 重要．“选而且排”（元素之
间有顺序要求）的是排列，“选而不排”（元素之间无顺序要求）的是组合 ．另外，较复杂的
事件应分解开考虑．

7、
分析：(1)可分两步完成： 第一步，从
7
人中选出
3
人排在前排，有
A
3
7< br>种排法；
第二步，剩下的
4
人排在后排，有
A
4
4< br>种排法，故一共有
A
7
3
A
4
4
A7
7
种排法．事实上排两
排与排成一排一样，只不过把第
4~7
个位子看成第二排而已，排法总数都是
A
7
7
，相当于
7
个 人的全排列．(2)优先安排甲、乙．(3)用“捆绑法”．(4)用“插空法”．
347
解：(1)
A
7
A
4
A
7
5040
种． 1
(2)第一步安排甲，有
A
3
种排法；第二步安排乙，有
A< br>4
种排法；第三步余下的
5
人排在
1
5
剩下的
5
个位置上，有
A
5
种排法，由分步计数原理得，符合要求的排法共有A
3
A
4
A
5
1440
种．
115
(3)第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，有其余
4
个元素排成一排，即看成
5
个元素的
全排列问题，有
A
5
种排法；第二步，甲、乙、 丙三人内部全排列，有
A
3
种排法．由分步计
53
数原理得，共有< br>A
5
A
3
720
种排法．
53
(4) 第一步，
4
名男生全排列，有
A
4
种排法；第二步，女生插空，即将
3
名女生插入
4
名
3
男生之间的
5
个空位 ，这样可保证女生不相邻，易知有
A
5
种插入方法．由分步计数原理得，
4< br>43
符合条件的排法共有：
A
4
A
5
1440< br>种．
说明：(1)相邻问题用“捆绑法”，即把若干个相邻的特殊元素“捆绑”为一个“大元素 ”，
与其他普通元素全排列；最后再“松绑”，将这些特殊元素进行全排列．(2)不相邻问题用“插< br>空法”，即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元
素之间 ．

8 14 jiangshan整理

8、
分析：可以从每个数字出现的次数来分析，例如 “
2
”，当它位于个位时，即形
如的数共有
A
4
2
个（从
3、
，当这些数相加时，
4、5、6
四个数中选两个填入前面的两个空 ）
的数也有
A
4
2
，那么当这些数由“
2
”所产生 的和是
A
4
2
2
．当
2
位于十位时，即形如相加时，由“
2
”产生的和应是
A
4
2
210．当
2
位于面位时，可同理分析．然后再依次分
析
3、4、5、6
的情况．
解：形如的数共有
A
4
2
个，当这些数相加时，由“< br>2
”产生的和是
A
4
2
2
；形如
的数也有
A
4
2
的数也有
A
4
2
个，当这些数相加 时，由“
2
”产生的和是
A
4
2
210
；形如
个，当这些数相加时，由“
2
”产生的和应是
A
4
2
2100
．这样在所有三位数的和中，由“
2
”
2
2
产生的和是
A
4
2
2111
．同理由
3、4、5、6< br>产生的和分别是
A
4
3111
，
A
4
 4111
，
A
4
5111
，
A
4
 6111
，因此所有三位数的和是
A
4
111(23456) 26640
．
22
2
说明：类似于这种求“数字之和”的问题都可以用分 析数字出现次数的办法来解决．如
“由
1,4,5,x
四个数字组成没有重复数字的四 位数，若所有这些四位数的各数位上的数字之
和为
288
，求数
x
” ．本题的特殊性在于，由于是全排列，每个数字都要选用，故每个数字
均出现了
A
4< br>4
24
次，故有
24(145x)288
，得
x 2
．

9、
解：(1)
A
(3)原式

2
15
1514210
；
6
(2)
A
6
6!654321720
;
(n1)!< br>[n1(m1)!]
(n1)!
(nm)!
(nm)!
1
(n1)!

(nm)!
1
(n1)!
1
；
(4)原式< br>(2!1)(3!2!)(4!3!)[(n1)!n!]

(n1)!1
；
n1
n!
1
(n1)!
1
n!
(5)∵

，
9 14 jiangshan整理

∴
1
2!

2
3 !

3
4!

n1
n!
1
3!

1
1!

1
2!

1
2 !

1
3!

1
4!

1
(n1)!

1
n!
1
1
n!
．
说明：准确掌握好排列公式是顺利进行计算的关键．
本题计算中灵活地用到下列各式： n!n(n1)!
；
nn!(n1)!n!
；
n1
n!

1
(n1)!

1
n!
；使问题解得简单 、快捷．

10、
解：
A
中很显然，“
a
在b
前的六人纵队”的排队数目与“
b
在
a
前的六人纵
队 ”排队数目相等，而“六人纵队”的排法数目应是这二者数目之和．这表明：
A
的算式
正确．
B
中把六人排队这件事划分为
a
占位，
b
占位，其 他四人占位这样三个阶段，然后用乘
法求出总数，注意到
a
占位的状况决定了
b
占位的方法数，第一阶段，当
a
占据第一个位置
1
时，
b
占位方法数是
A
5
；当
a
占据第2个位置时，
b< br>占位的方法数是
A
4
；„„；当
a
占据
1
第 5个位置时，
b
占位的方法数是
A
1
1
，当
a，
b
占位后，再排其他四人，他们有
A
4
4
种排法，< br>可见
B
的算式是正确的．
C
中
A
6
可理解 为从6个位置中选4个位置让
c,d,e,f
占据，这时，剩下的两个位置
4
依前后顺序应是
a,b
的．因此
C
的算式也正确．
这两个位置让< br>a,b
占据，显然，
a,b
占
D
中把6个位置先圈定两个位置 的方法数
C
6
，
据这两个圈定的位置的方法只有一种（
a
要 在
b
的前面），这时，再排其余四人，又有
A
4
种
排法，可 见
D
的算式是对的．
说明：下一节组合学完后，可回过头来学习
D
的解法．

4
2
11、
解法1：可分为“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后
排，甲坐在前排的八人坐法”两类情况．应当使用加法原理，在每类情况下，划分“乙丙坐
下”、“甲 坐下”；“其他五人坐下”三个步骤，又要用到分步计数原理，这样可有如下算法：
A
4A
2
A
5
A
4
A
4
A5
8640
(种)．
215215
解法2：采取“总方法数减去不命 题意的所有方法数”的算法．把“甲坐在第一排的八
17
人坐法数”看成“总方法数”，这个数 目是
A
4
A
7
．在这种前提下，不合题意的方法是“甲
1 1115
坐第一排，且乙、丙坐两排的八人坐法．”这个数目是
A
4
C2
A
3
A
4
A
5
．其中第一个因数 10 14 jiangshan整理