杭州西湖一日游-她扔了根火柴

排列组合常用方法题型总结


【知识内容】
1．基本计数原理

⑴加法原理
分类计数原理：做一件事，完成它有n
类办法，在第一类办法中有
m
1
种不同的方法，在第
二类办法 中有
m
2
种方法，……，在第
n
类办法中有
m
n< br>种不同的方法．那么完成这件事共有
Nm
1
m
2
Lm
n
种不同的方法．又称加法原理．

⑵乘法原理
分步计数原理： 做一件事，完成它需要分成
n
个子步骤，做第一个步骤有
m
1
种不同 的方法，
做第二个步骤有
m
2
种不同方法，……，做第
n
个 步骤有
m
n
种不同的方法．那么完成这件事
共有
Nm
1< br>m
2
Lm
n
种不同的方法．又称乘法原理．

⑶加法原理与乘法原理的综合运用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这 件事的方法数时，使用分类
计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成 ，这件事
才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．
分类计数原理、分 步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、
组合问题的基本思想方法，这两个原 理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．

2． 排列与组合

⑴排列：一般地，从
n
个不同的元素中任取
m(m≤n)
个元素，按照一定 的顺序排成一列，
叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列． （其中被取的对象叫做元素）
排列数：从
n
个不同的元素中取出
m(m≤n )
个元素的所有排列的个数，叫做从
n
个不同
元素中取出
m
个元素的排列数，用符号
A
m
n
表示．
排列数公式：
A< br>m
n
n(n1)(n2)L(nm1)
，
m，nN

，并且
m≤n
．

全排列：一般地，
n
个不同元素全部取出的一个排列，叫做
n
个不同元素的一个全排列．
n
的阶 乘：正整数由
1
到
n
的连乘积，叫作
n
的阶乘，用
n!
表示．规定：
0!1
．

⑵组合：一般地，从
n< br>个不同元素中，任意取出
m
(m≤n)
个元素并成一组，叫做从
n个
元素中任取
m
个元素的一个组合．
组合数：从
n
个 不同元素中，任意取出
m
(m≤n)
个元素的所有组合的个数，叫做从
n个
不同元素中，任意取出
m
个元素的组合数，用符号
C
m
n
表示．
组合数公式：
C
m
n

n(n1) (n2)
L
(nm1)n!
，
m,nN

，并且< br>m≤n
．

m!m!(nm)!
nmmm1
组合数的 两个性质：性质1：
C
m
；性质2：
C
m
．（规定
C
0
n
C
nn1
C
n
C
nn1
）


⑶排列组合综合问题
解排列组合问题，首先要用 好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是
分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见 类型的排列组合问题的解法：

1．特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；

2．分类分步法 ：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做
到分类明确，层次清楚，不重不漏 ．

3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．

4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它
元素进行 排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．

5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．

6．插板法：
n
个相同元素，分成
m(m≤n)
组，每组至少一个的分组问 题——把
n
个元

1
素排成一排，从
n1
个 空中选
m1
个空，各插一个隔板，有
C
n
m


1
．

7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分 、部分等分之别．一
般地平均分成
n
堆（组），必须除以
n
！，如果 有
m
堆（组）元素个数相等，必须除以
m
！

8．错位法 ：编号为1至
n
的
n
个小球放入编号为1到
n
的
n
个盒子里，每个盒子放一个
小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别 当
n2
，3，4，5
时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错 位排列的计算，可以用剔除法
转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．

1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途
径：
①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组
合数．
求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计
数原理还 是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出
式子计算作答．




2．具体的解题策略有：
①对特殊元素进行优先安排；
②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；
③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；
④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；
⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；
⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．
⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．

【排列组合题型总结】
直接法
1 .特殊元素法
例1用1， 2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位
数各有多少个
（1）数字1不排在个位和千位
（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
分析 ：（1）个位和千位有5个数字可供选择
2
A
5
2
A
4原理：=240
A
5
2
2
A
4
，其余2位有 四个可供选择，由乘法
2．特殊位置法
（2）当1在千位时余下三位有
A
5
3
11
AA
44
=60，1不在千位时，千位有种选法，个位有种，
2112
AAAA
余下的有
4
，共有
444
=19 2所以总共有192+60=252
二 间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中 （2）可用间接法
32
A
6
4
2A
5
A
4
=252
Eg 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与 9，将它们任意
三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数
分析 ：：任取三张卡片可以组成不同的三位数
33
C
5
2
3
 A
3
个，其中0在百位的有
2
C
4
2
2

A
2
2
个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数
33
222
C
5
2
3
A
3
C2A
42

-=432

Eg 三个女生和五个男生排成一排
女生必须全排在一起 有多少种排法（ 捆绑法）
女生必须全分开 （插空法 须排的元素必须相邻）

两端不能排女生
两端不能全排女生
如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法
插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目
顺序，有多少中插入方法
分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有
1 1
A
9
A
10
=100中插入方法。
捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有
种（
23
C
4
A
3
）
,2，某市植物园 要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其
中有一所学校人数较多，要安排 连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不
同的安排方法有（
119
C29
A
28
）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成
其余的就是19所学校选28天进行排列） 一天作为一个整体来选有
1
C
29
阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法
例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这 12个人由8个班的学生组成，每班至
少一人，名额分配方案共 种 。
分析：此例的 实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的
7
C
11< br>11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有种

五 平均分推问题
eg 6本不同的书按一下方式处理，各有几种分发
平均分成三堆，
平均分给甲乙丙三人
一堆一本，一堆两本，一对三本

甲得一本，乙得两本，丙得三本（一种分组对应一种方案）
一人的一本，一人的两本，一人的三本
分析：1，分出三堆书（a1,a2）,(a3, a4)，（a5,a6）由顺序不同可以有
A
3
3
=6种，而
222
C
6
C
4
C
2
3
A
3
这 6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有=15种
2，六本不同的书，平均分成三堆有x种，平均分给甲乙丙三人
就有x
3，

合并单元格解决染色问题
Eg 如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一
颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。
分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5．
下面分情况讨论:
( ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的
2,4
A
3
3
种
23
CCC
64
222
2
1

23
3

5
CCC
65
1
3
5，
A
CCC
3
6
3
着色方法相当于4个元素 ①③⑤的全排列数
A

4
4
（ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得
（ⅲ）当2、4与

单元格
①
从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有
4
3
2,4

A
种着色法．
4
4
3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合 并，这样仅有三个
3,5
C
4

A
3
3
3
3
种方法．
由加法原理知：不同着色方法共有2
A
4

C
4
A
3
=48+24=72（种）
练习1（天津卷（文））将3种作物种植

1 2 3 4 5


在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ，

不同的种植方法共 种（以数字作答） （72）
2．某城市中心 广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的
花，每部分栽种一种且相邻部分 不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种
（以数字作答）．（120）





5
6
2
1
3
4
B
A
C
D
E
图3 图4
3．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）
4．如图5： 四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须
A
穿同种颜色的服装 ，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色
相同与否不受限制，那么不同的着色 方法是 种（84）




4
1
2
3
B
C
E
D
图5 图6
5．将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种
颜色可供使用，则不同的染色方法共 种（420）