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排列组合
排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从 给定个数的元素中取出指定个
数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元 素，不考虑排
序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。 排列组合与
古典概率论关系密切。
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历史及发展
虽然数数始于以结计数的 远古时代，由于那时人的智力的发展尚处于低级阶段，谈不
上有什么技巧。随着人们对于数的了解和研究 ，在形成与数密切相关的数学分支的过程
中，如数论、代数、函数论以至泛函的形成与发展，逐步地从数 的多样性发现数数的多样
性，产生了各种数数的技巧。
同时，在人们对于形有了深入的了解和 研究的基础上，在形成与形密切相关的各种数
学分支的过程中，如几何学、拓扑学以至范畴论的形成与发 展，逐步地从形的多样性也发
现了数形的多样性，产生了各种数形的技巧。近代的集合论、数理逻辑等反 映了潜在的数
与形之间的结合。而现代的代数拓扑和代数几何等则将数与形密切地联系在一起了。这些，对于以数的技巧为中心课题的近代组合学的形成与发展都产生了而且还将会继续产生
深刻的影响 。
由此观之，组合学与其他数学分支有着必然的密切联系。它的一些研究内容与方法来
自各个 分支也应用于各个分支。当然，组合学与其他数学分支一样也有其独特的研究问题
与方法，它源于人们对 于客观世界中存在的数与形及其关系的发现和认识。例如，中国古
代的《易经》中用十个天干和十二个地 支以六十为周期来记载月和年，以及在洛书河图中
关于幻方的记载，是人们至今所了解的最早发现的组合 问题。
于11和12世纪间，贾宪就发现了二项式系数，杨辉将它整理记载在他的《续古抉奇
法》一书中。这就是中国通常称的杨辉三角。事实上，于12世纪印度的婆什迦罗第二也
发现了这种组合 数。13世纪波斯的哲学家曾讲授过此类三角。而在西方，布莱兹·帕斯卡
发现这个三角形是在17世纪 中期。这个三角形在其他数学分支的应用也是屡见不鲜的。
同时，帕斯卡和费马均发现了许多与概率论有 关的经典组合学的结果。因此，西方人认为
组合学开始于17世纪。组合学一词是德国数学家莱布尼茨在 数学的意义下首次应用。也
许，在那时他已经预感到了其将来的蓬勃发展。然而只有到了18世纪欧拉所 处时代，组
合学才可以说开始了作为一门科学的发展，因为那时，他解决了柯尼斯堡七桥问题问题，发现了多面体（首先是凸多面体，即平面图的情形）的顶点数、边数和面数之间的简单关

系。现在已被人们称为欧拉公式。甚至，当今人们所称的哈密顿圈 的首创者也应该是欧
拉。这些不但使欧拉成为组合学的一个重要组成部分——图论而且也成为占据现代数 学舞
台中心的拓扑学发展的先驱。同时，他对导致当今组合学中的另一个重要组成部分——组
合 设计中的拉丁方的研究所提出的猜想，人们称为欧拉猜想，直到1959年才得到完全的
解决。
于19世纪初，高斯提出的组合系数，今称高斯系数，在经典组合学中也占有重要地
位。同时，他还研 究过平面上的闭曲线的相交问题，由此所提出的猜想称为高斯猜想，它
直到20世纪才得到解决。这个问 题不仅贡献于拓扑学，而且也贡献于组合学中图论的发
展。同在19世纪，由乔治·布尔发现且被当今人 们称为布尔代数的分支已经成为组合学中
序理论的基石。当然，在这一时期，人们还研究其他许多组合问 题，它们中的大多数是娱
乐性的。
20世纪初期，庞加莱联系多面体问题发展了组合学的概念 与方法，导致了近代拓扑
学从组合拓扑学到代数拓扑学的发展。于20世纪的中、后期，组合学发展之迅 速也许是
人们意想不到的。首先，于1920年费希尔（Fisher，R.A.）和耶茨（Yates ，F.）发展了
实验设计的统计理论，其结果导致后来的信息论，特别是编码理论的形成与发展.于19 39
年，坎托罗维奇（Канторович，Л.В.）发现了线性规划问题并提出解乘数法。于19 47年
丹齐克（Dantzig，G.B.）给出了一般的线性规划模型和理论，他所创立的单纯形方法 奠定
了这一理论的基础，阐明了其解集的组合结构。直到今天它仍然是应用得最广泛的数学方
法 之一。这些又导致以网络流为代表的运筹学中的一系列问题的形成与发展。开拓了人们
目前称为组合最优 化的一个组合学的新分支。在20世纪50年代，中国也发现并解决了一
类称为运输问题的线性规划的图 上作业法，它与一般的网络流理论确有异曲同工之妙。在
此基础上又出现了国际上通称的中国邮递员问题 。
另一方面，自1940年以来，生于英国的塔特（Tutte，W.T.）在解决拼方问题中取得< br>了一系列有关图论的结果，这些不仅开辟了现今图论发展的许多新研究领域，而且对于20
世纪3 0年代，惠特尼（Whitney，H.）提出的拟阵论以及人们称之为组合几何的发展都起
到了核心的 推动作用。应该特别提到的是在这一时期，随着电子技术和计算机科学的发展
愈来愈显示出组合学的潜在 力量。同时，也为组合学的发展提出了许多新的研究课题。例
如，以大规模和超大规模集成电路设计为中 心的计算机辅助设计提出了层出不穷的问题。
其中一些问题的研究与发展正在形成一种新的几何，目前人 们称之为组合计算几何。关于
算法复杂性的研究，自1961年库克（Cook，S.A.）提出NP完 全性理论以来，已经将这
一思想渗透到组合学的各个分支以至数学和计算机科学中的一些分支。
近20年来，用组合学中的方法已经解决了一些即使在整个数学领域也是具有挑战性
的难题。例如，范 ·德·瓦尔登（Van der Waerden，B.L.）于1926年提出的关于双随机矩
阵积和 式猜想的证明；希伍德（Heawood，P.J.）于1890年提出的曲面地图着色猜想的
解决;著 名的四色定理的计算机验证和扭结问题的新组合不变量发现等。在数学中已经或正
在形成着诸如组合拓扑 、组合几何、组合数论、组合矩阵论、组合群论等与组合学密切相