金色港湾五期-挑动黄河天下反

高考数学复习 解排列组合应用题的21种策略

高考数学复习 解排列组合应用题的21种策略
排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思 路灵
活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决
排列组合应 用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.
1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参
与排列.
例1.
A,B,C,D,E
五人并排站成一排，如果
A,B
必须相邻 且
B
在
A
的右边，那么不
同的排法种数有
A、60种 B、48种 C、36种 D、24种
4
A
4
24< br>解析：把
A,B
视为一人，且
B
固定在
A
的右边，则 本题相当于4人的全排列，
种，答案：
D
.
2.相离问题插空排:元素相离 （即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全
排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素 的空位和两端.
例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种
解析：除甲乙外，其余5个排列数为
A
5
5
种，再用甲乙去插6个空 位有
A
6
2
种，不同
52
A
6
3600
种，选
B
. 的排法种数是
A
5
3.定序问题缩倍法:在排 列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小
倍数的方法.
例3.
A,B ,C,D,E
五人并排站成一排，如果
B
必须站在
A
的右边（
A,B
可以不相邻）
那么不同的排法种数是
A、24种 B、60种 C、90种 D、120种
解析：
B
在
A
的右边与
B
在
A
的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素
1
5全排列数的一半，即
A
5
60
种，选
B
.
2
4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第
二步再排 另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，
则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有
A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数
1

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字填入其它三个方格 ，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，
共有3×3×1=9种填法，选
B
.
5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组
法.
例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选
出4人承担这三项 任务，不同的选法种数是
A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种
解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任211
C
8
C
7
2520
种，务，第三步从另外的7 人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有
C
10
选
C
.
（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同
的分配方案有 44
C
12
C
8
4
C
4
A、
CCC
种 B、
3CCC
种 C、
CCA
种 D、种
3
A
3
4
12
4
8
4
4
4
12
4
8
4
4
4
12
4
8
3
3
答案：
A
.
6.全员分配问题分组法:
例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的
保送方案有多少种 ？
解析：把四名学生分成3组有
C
4
2
种方法，再把三组学生分配 到三所学校有
A
3
3
种，
故共有
C
4
2< br>A
3
3
36
种方法.
说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为
A、480种 B、240种 C、120种 D、96种
答案：
B
.
7.名额分配问题隔板法:
例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分
配方案？
解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，
每堆至少 一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着
一种分配方案，故共有不同的分 配方案为
C
9
6
84
种.
8.限制条件的分配问题分类法:
例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经
2

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济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
①若甲乙都不 参加，则有派遣方案
A
8
4
种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3
种方法，然后安排其余学生有
A
8
3
方法，所以共有
3A
8
3
；③若乙参加而甲不参加同
理也有
3A
8
3
种 ；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8
人到另外两个城市有
A8
2
种，共有
7A
8
2
方法.所以共有不同的派遣方法 总数为
A
8
4
3A
8
3
3A
8
3
7A
8
2
4088
种.
9.多元问题分类法：元 素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几
类情况分别计数，最后总计.
例9. （1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字
小于十位数字的共有
A、210种 B、300种 C、464种 D、600种
113
A
3
A
3
、解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3 和4共5种情况，分别有
A
5
5
、
A
4
113A
3
A
3
A
3
、
11313
A2
A
3
A
3
和
A
3
A
3个，合并总计300个,选
B
.
（2）从1，2，3…，100这100个数中 ，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，
这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？
解析： 被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这
100个数组成的集合视为全 集I,能被7整除的数的集合记做
A

7,14,21,L98

共
有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做
ð
I
A
1,2,3,4,L,100

共有86个元
2
素；由此可知，从
A
中任取2个元素的取法有
C
14
，从
A
中任取一个，又 从
ð
I
A
中
11211
C
86
C
14
C
86
1295
种. 任取一个共有
C
14
，两种情形共符合要求的取法有
C
14
（3）从1，2，3，…，100这100个 数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不
计顺序）有多少种？
3

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解析：将
I 

1,2,3L,100

分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A

4,8,12,L100

；能被4除余1的数集B

1,5,9,L97

，能被4除余2的数集
C

2,6 ,L,98

，能被4除余3的数集
D

3,7,11,L99< br>
，易见这四个集合中每一
个有25个元素；从
A
中任取两个数符合要 ；从
B,D
中各取一个数也符合要求；从
C
中任取两个数也符合要求；此外其 它取法都不符合要求；所以符合要求的取法
2112
C
25
C
25
C
25
共有
C
25
种.
10.交叉问题集合法 ：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个
数公式
n(AUB)n(A) n(B)n(AIB)
.
例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果 甲不跑第一棒，乙不
跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？
解析：设全集=｛6人中任取4 人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙
跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式 得参赛方法共有：
332
A
5
A
4
252
种.
n( I)n(A)n(B)n(AB)
A
6
4
A
5
11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；
再排其它的元素。
例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排
法有多少种 ？
1
解析：老师在中间三个位置上选一个有
A
3
种，4名同学在其 余4个位置上有
A
4
4
种
14
A
4
72
种. 方法；所以共有
A
3
12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可 归结为一排考虑，再分段处理.
例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共
6
A
6
720

种，选
C
.
（2）8个不同的元素排成前后 两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，
某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
4

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解析 ：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有
A
4
2
种，某1个 元
1
素排在后半段的四个位置中选一个有
A
4
种，其余5个元素任排 5个位置上有
A
5
5
种，
125
A
4
A< br>5
5760
种排法. 故共有
A
4
13.“至少”“至多” 问题用间接排除法或分类法:抽取两类混合元素不能分步抽.
例13.从4台甲型和5台乙型电视机中 任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各
一台，则不同的取法共有
A、140种 B、80种 C、70种 D、35种
解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是 分别只取一种型号，不取另一种型号的
333
C
4
C
5
70
种,选.
C
电视机，故不同的取法共有
C
9
解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情 况：甲型1台乙型2台；甲
112
C
5
C
4
70
台,选
C
. 型2台乙型1台；故不同的取法有
C
5
2
C
4
14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的
位置上，可用先取后排法.
例14.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有 一个空盒的放
法有多少种？
解析：“先取”四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有< br>C
4
2
种，“再排”在
323
A
4
144
种. 四个盒中每次排3个有
A
4
种，故共有
C
4
（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多
少种不同的分组方法？
解析：先取男女运动员各2名，有
C
5
2
C
4
2< br>种，这四名运动员混和双打练习有
A
2
2
中排
22
A
2
120
种. 法，故共有
C
5
2
C
4
15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中
减去不符合 条件数，即为所求.
例15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有
A、70种 B、64种 C、58种 D、52种
解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理 论上可构成
C
8
4
四面体，但6个表面和
5

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6个对角面的四个顶 点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有
C
8
4
1258
个.
（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共
有
A、150种 B、147种 C、144种 D、141种
4
解析：10个点中任取4个点共有
C
10
种，其中四点共面的有三种情况： ①在四面体
的四个面上，每面内四点共面的情况为
C
6
4
，四个面共 有
4C
6
4
个；②过空间四边形
各边中点的平行四边形共3个；③过 棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四
4
4C
6
4
36 141
种. 点不共面的情况的种数是
C
10
16.圆排问题线排法:把< br>n
个不同元素放在圆周
n
个无编号位置上的排列，顺序（例
如按顺时钟 ）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）
的排法认为是相同的，它与普通排 列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列
n
个普通排列：
a
1
,a
2
,a
3
L
,a
n
;a
2
,a
3
,a
4
,
L
,a
n
,
L< br>;a
n
,a
1
,
L
,a
n1
在圆 排列中只算一种，因为旋转后可以
重合，故认为相同，
n
个元素的圆排列数有
n!
种.因此可将某个元素固定展成线排，
n
其它的
n1
元素全排 列.
例16.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？
解析：首先可让 5位姐姐站成一圈，属圆排列有
A
4
4
种，然后在让插入其间，每位
均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式
242
5
768< br>种不
同站法.
1
m
A
n
种不同排法.
m
17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不
受位置的约 束，可逐一安排元素的位置，一般地
n
个不同元素排在
m
个不同位置的
说明：从
n
个不同元素中取出
m
个元素作圆形排列共有
排列数有< br>m
n
种方法.
例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
解析：完成此事共分6步， 第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，
第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同 方案，依次类推，由分步计数原
6

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理知共有
7
6
种不同方案.
18.复杂排列组合问题构造模型法:
例18.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯， 现要关掉其中的三盏，但不能关
掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有 多少种？
解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯
C< br>5
3
种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.
说明：一些不易理解的排列 组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模
型，装盒模型可使问题容易解决.
19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:
例19.设有编号为1，2，3，4， 5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这
5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的号码与盒子号码
相同，问有多少种不同的方法？
解析：从5个球中取出2个与 盒子对号有
C
5
2
种，还剩下3个球与3个盒子序号不
能对应，利用 枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不
能装入3号盒子，当3号球装入 4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入
5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下 三球只有2种装法，因此总共装
法数为
2C
5
2
20
种.
20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:
例20.（1）30030能被多少个不同偶数整除？
解析：先把30030分解成质因数的 形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因
数2必取，3，5，7，11，13这5 个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为
135
C
5
0
C
5
C
5
2
C
5
C
5
4C
5
32
个.
（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？ < br>解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成
多少个不同的四 面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有
C
8
4
1258
个，所以8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对.
21.利用对应思想转化法:对 应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以
将复杂的问题转化为简单问题处理.
例21.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？
解析 ：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边
形就对应着两条弦相交于圆 内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可
7

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4
以确定多少个不同的四边形，显然有
C< br>10
个，所以圆周上有10点，以这些点为端
4
点的弦相交于圆内的交点有C
10
个.
（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路， 从
A
到
B
的最
短路径有多少种？
B
A

解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从
A
到
B
最短路线 必须走7小段，其中：
向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4< br>段的走法，便能确定路径，因此不同走法有
C
7
4
种.

8