范例教学法-驯良的意思

排列组合
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有
n
类办法，在第1类办法中有
m
1
种不同的方法，在第2类办法中有
m
2
种不同的
方法，…，在第
n
类办法中有m
n
种不同的方 法，那么完成这件事共有：Nm
1
m
2
m
n
种不同的方法．
2.分步计数原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成
n
个步骤，做第1步有
m
1
种不同的方法，做第2步有
m
2
种不同的方法，…，
做第
n
步有
m
n
种不同的方法，那么完 成这件事共有：
Nm
1
m
2
m
n
种不同的 方法．
3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．

一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1、.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
113
C
3
A
4
288
解: 由分步计数原理 得
C
4
练习题：7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种 在两端的花盆里，
问有多少不同的种法？

二.相邻元素捆绑策略
例2、 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
522
A
2
A
2
480
解：
A
5

要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素

合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.



练习题：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20

三.不相邻问题插空策略
例3.、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独 唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序
有多少种？
4
解
A
5
5
A
6

元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端



练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将 这两
个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30

四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.、 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排 列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然
3
后用总排列数除以这几个元素之间的 全排列数,则共有不同排法种数是：
A
7
7
A
3

4
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有
A
7种方法，其余的三个位置甲乙丙
4
共有 1种坐法，则共有
A
7
种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法




定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理

1

练习题: 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
5

C
10

五.重排问题求幂策略
例5.、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法


允 许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排
n

各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为
m
种



练习题：
1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单 ，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节
目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法
7
8


六.环排问题线排策略
例6.、 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解 ：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人
A
4
4< br>并从此位置把
圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即
7
！
C
D
E
F
G
H
B
A
AB
CDEFGHA

一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个 不同元素中取出m个元素

1

作圆形排列共有
A
m
n


n


练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120

七.多排问题直排策略
例7.、8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
15解:,则共有
A
2
4
A
4
A
5
种

练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3 个座
位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346

八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
4

C
5
2
A
4
练习题：一个班有6名战 士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种
任务,且正副班长有且只有1 人参加,则不同的选法有 192 种

九.小集团问题先整体后局部策略
例9. 用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位
数有多少个？
1524
3

22
解：共有
A
2
2
A
2
A
2
种排法 .
练习题：

2

１、计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一
54
品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共 有陈列方式的种数为
A
2
2
A
5
A
4

55
2、 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有
A
2
2
A
5
A
5
种

十.元素相同问题隔板策略
例10.、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？



,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）

入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
C
m1

n1


练习题：1、10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？
2、
xyzw100
求这个方程组的自然数解的组数
3

C
103

十一.正难则反总体淘汰策略
例 11.、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不 同的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰 法。这十个数字中有5个偶
3
12
数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有< br>C
5
,只含有1个偶数的取法有
C
5
C
5
, 和为偶数
123123
C
5
C
5
C
5
 C
5
9
的取法共有
C
5
。再淘汰和小于10的偶数共9 种，符合条件的取法共有
C
5
一
班
二
班
三
班
四
班
五
班
六
班
七
班



练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种?


十二.平均分组问题除法策略
例12.、 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
223
C
6< br>2
C
4
C
2
A

3
。

n
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以
A< br>n

n
(为均分
的组数)避免重复计数。

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的

反面,再从整体中淘汰.




练习题：
1、 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？
54
C
8
4
C
4
A
2
（
C132
）
2、10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分
组方法？ （1540）

3

3、某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安
排2名，则不同的安排方案有多少
22
A
2
90
） （
C
4
2
C
2
2
A
6

十三. 合理分类与分步策略
例13.、在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌, 5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人
伴舞的节目,有多少选派方法
解：10演员中有5人 只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研
22
究只会唱的5人中没 有人选上唱歌人员共有
C
3
C
3
种,只会唱的5人中只有1人选上唱 歌人
112
22
C
3
C
4
种,只会唱的5人中只有 2人选上唱歌人员有
C
5
员
C
5
C
5
种， 由分类计数原理共有
112
C
3
2
C
3
2
C
5
C
3
C
4
C
5
2
C< br>5
2
种。

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分


步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的

始终。


练习题：
1、.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，
则不同的选法共有34
2、 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只
船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27）


十四.构造模型策略
例14.、 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏, 但不能关掉相邻的2
盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
3
解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有
C
5 种

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装


盒模型等，可使问题直观解决




练习题 ：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？
（120）

十五.实际操作穷举策略
例15.、设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号 1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要
求每个盒子放一个球，并且恰好有两 个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有
C
5
2
种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，
如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号
球装5号盒时,4,5号球 有也只有1种装法,由分步计数原理有
2C
5
2
种



对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图


会收到意想不到的结果


4

练习题：1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张 别人的贺年卡，则四张贺
年卡不同的分配方式有多少种？ (9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72种
1
3
2
5
4
十六. 分解与合成策略
例16.、 30030能被多少个不同的偶数整除
分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13，依题 意可知偶因数
135
C
5
C
5
2
C
5
C
5
4
C
5
必先取2,再从其余5个因数中任取若干个 组成乘积，所有的偶因数为：


十八.数字排序问题查字典策略
例18．、由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？ < br>54321
2A
4
A
3
A
2
A1
297
解:
N2A
5

数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,


根据分类计数
原理求出其总数。


练习:用0,1 ,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数
是 3140

排列组合易错题正误解析
例1 从6台原装计算机和5台组装计算机 中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,
则不同的取法有 种.

例2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有
（ ）种.
3
3
（A）
A
4
（B）
4
3
（C）
3
4
（D）
C
4

例3 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？
例4 5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
（A）480 种 （B）240种 （C）120种 （D）96种
例5 某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不
同的排法共有（ ）种.
3
C
7
2
C
5
2
A
3< br>（A）5040 （B）1260 （C）210 （D）630
2
例6 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（ ）
（A）36个 （B）48个 （C）66个 （D）72个
例7 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现
有4
种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）
.

2
3
1
4
5
5

例8 已知
ax
2
b0
是关于
x
的一元二次方程，其中
a
、
b{1,2,3,4}
，求解集不同的一元二 次方程
的个数.
例10 现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（ ）种.


6