消防安全顺口溜-北京租房子

排列与组合习题

1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( )
A．40 B．50 C．60 D．70
C
3
6
人共有
2
＝10
A
2
种不同的分法，所以
[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C
1
A
3
2·
3
＝12个；
3
②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的 有C
1
A
3
2
·
3
＋A
3
＝18 个；
③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C
1
3
＝3个．
故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.
8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )
A．72 B．96 C．108 D．144
[解析] 先分组 再排列，一组2人一组4人有C
2
6
＝15种不同的分法；两组各3
乘车方法 数为25×2＝50，故选B.
2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )
A．36种 B．48种 C．72种 D．96种
223
[解析] 分两类：若1与3相邻，有A
2
C
1
A
3
2·
3
A
2
A
3
＝72(个)，若1与3不相邻有A3
·
3
＝36(个)
故共有72＋36＝108个．
9．如 果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观< br>两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有( )
A．50种 B．60种 C．120种 D．210种
2
[解析] 恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与 第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A
3
3
A
4
＝7 2
种排法，故选C.
3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使 用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有
( )
A．6个 B．9个 C．18个 D．36个
[解析] 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是 相同的数字不能相邻，选四个数字共有C
1
3
＝3(种)
2
选法，即 1231,1232,1233，而每种选择有A
2
所以共有3×6＝18(种)情况，即这样 的四位数有18个．
2
×C
3
＝6(种)排法，
[解析] 先安 排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、 (5,6)、(6,7)，甲
2
任选一种为C
1
6
，然后在剩下的5 天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A
5
种，按照分步乘法计数
原 理可知共有不同的安排方法C
1
A
2
6
·
5
＝12 0种，故选C.
10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人 都不能安排在5月1日和2日，
不同的安排方法共有________种．(用数字作答)
5
[解析] 先安排甲、乙两人在后5天值班，有A
2
5
＝20( 种)排法，其余5人再进行排列，有A
5
＝120(种)排法，所以共
4．男女学生共 有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )
A．2人或3人 B．3人或4人 C．3人 D．4人
1
[解析] 设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C
2
n
C
8< br>－
n
＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2
有20×120＝ 2400(种)安排方法．
11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个 球排成一列有________种不同的排法．(用数
字作答)
[解析] 由题意可知，因 同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C
4
C
2
C
39
·
5
·
3
＝1260(种)排法．
人或3人． < br>5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼 用8步走
完，则方法有( )
A．45种 B．36种 C．28种 D．25种
12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不 同场馆服务，不同的分配
方案有________种(用数字作答)．
2
C
2
6
C
4
[解析] 先将6名志愿者分为4 组，共有
2
种分法，再将4组人员分到4个不
A
2
2
[解析] 因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C< br>8
＝28种
走法．
6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个 部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外
三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则 不同的分配方案共有( )
A．24种 B．36种 C．38种 D．108种
同场馆去，
共有
C
2
C
2
6
·
4
4
A
4
种分法，故所有分配方案有：
2
·A
44
＝1 080
A
2
种．
不同色，有13．要在如图所示的花 圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域
________种不同的种法(用数字作答) ．

[解析] 本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门， 共有2种方法，第二步将3名
12
电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C
1
3
种分法，然后再分到两部门去共有C
3
A
2
种方法， 第三步只需
将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去 的部门就已确定，故
121
第三步共有C
1
3
种方法，由分步乘法计 数原理共有2C
3
A
2
C
3
＝36(种)．
[解析] 5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有 1种种
法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．
14. 将标号为1，2，3， 4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片
放入同一信 封，则不同的方法共有
7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个 集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确
定的不同点的个数为( )
A．33

B．34 C．35 D．36
1
（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种

种，所以共有18+108=126种，故B正确
【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共
19. 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学 ，则选出
的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )
有种，故选B.
（A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种
15. 某单位 安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，
丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有
A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种
214
解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有
2A
2
A
4
A
4
种方法
112
解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有
C
5
C
3
C
6
225
种选法;
211
(2) 乙组中选出一名女生有
C
5
 C
6
C
2
120
种选法.故共有345种选法.选D
20. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不 能分到同一个班，
则不同分法的种数为
24113
甲乙排 中间,丙排7号或不排7号，共有
4A
2
(A
4
A
3A
3
A
3
)
种方法
A.18

B.24

C.30

D.36

23
【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的 种数是
C
4
，顺序有
A
3
种，而甲乙被分在同一个班的有< br>故共有1008种不同的排法
16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是
（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144
解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法
w_w_w.k*s 5*u.c o*m
w_w_w.k*s 5*u.c o*m
3233
种，所以种数是
C
4
A
3
A
3
30

A
3
22
①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，3A
3
A
2
＝24个
22
②若5排在百位、千位或万位 ，则1、3只有两个位置可排，共3
A
2
A
2
＝12个
21. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相 邻，则不同排法
的种数是
A. 60 B. 48 C. 42 D. 36
22
【解析】解法一、从3名女生中 任取2人“捆”在一起记作A，（A共有
C
3
，剩下一名女生记作
A
2
6
种不同排法）
算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个
答案：C
17. 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个 信息，不同排列表示不同信息，若所
用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字 相同的信息个数为
A.10 B.11 C.12 D.15
B，两名 男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生
乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A左B右和A右B 左）
最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法。
22
解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有
C
3
，剩下一名女生记
A
2
6
种不同排法）
作B，两名男生分 别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：
第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间， 共有
6A
2
A
2
=24种排法；
第二类：“捆绑”A和男 生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有
6A
2
＝12种排法
第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。
此时共有
6A
2
＝12种排法
三类之和为24＋12＋12＝48种。
22. 从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位
[ C]
22
2
2

18. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上 海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工
作之一，每项工作至少有一人参加。 甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安
排方案的种数是
A．152 B.126 C.90 D.54
23123
【解析】分 类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有
C
3
若有1人从事司机工作，则方案有C
3
A
3
18
；
C
4
A3
108
A 85 B 56 C 49 D 28
2
【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲 乙两人只去一个的选法有：
C
1
C
27
42
，另一类是 甲乙都去的选法有
1
C
2
2
C
7
=7，所以共有 42+7=49，即选C项。
23. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法
2

的种数是
A. 360 B. 188 C. 216 D. 96
3222
解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法 有
A
3
C
3
A
4
A
2
332< br>种，其中男生甲站两端的
12222
有
A
2
A
2C
3
A
3
A
2
144
，符合条件的排法故共 有188
222112222
解析2：由题意有
2A
2
(C3
A
2
)C
2
C
3
A
2(C
3
A
2
)A
4
188
,选B。
1
子的编号，分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有
C4
4
种方法；②1号盒子中放2个球，
2
其余2个放入2号盒子，有< br>C
4
6
种方法；则不同的放球方法有10种，选A．
29. 将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有
（A）３０种 （B）９０种 （C）１８０种 （D）２７０种
解析：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组 1
12
C
5
C
4
3
人，另两组都是2人，有种方 法，再将3组分到3个班，共有
15
15A90
种不同的分配方案，选B.
3
2
A
2
24. 12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分 成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为
（ ）
A．
1

55
B．
3

55
C．
1

4
D．
1

3
30. 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙 不同去,甲和丙只能同去或同
不去,则不同的选派方案共有 种
解析：某校从8名 教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去
243 4
或同不去，可以分情况讨论，① 甲、丙同去，则乙不去，有
C
5
=240 种选法；②甲、丙同不去，乙去，有
C
5
=240
A
4
 A
4
4
种选法；③甲、乙、丙都不去，有
A
5
120种选法，共有600种不同的选派方案．
144
444
C
12
C
8
C
4
C
3
3
C
9
C
8
C
4
解析因为将12个组分成4个组的分法有种，而3个强队恰好被分在同一组分法 有，故个强队
2
3
A
2
A
3
恰好被分在同一组的概 率为
C
9
C
9
C
8
C
4
A
2
C
12
C
8
C
4
A
3
=314424443
3
。
55
25. 甲、乙、丙
3
人站到共有
7
级的台阶上，若每级台阶最多站
2
人，同一级台阶上的人不区分 站的位置，则不同的
站法种数是 （用数字作答）．
312
【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有
A
7
种；若有一个台阶有2人，另一 个是1人，则共有
C
3
A
7
种，因
31. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有 个（用数字作答）．
解析：可以分情况讨论：① 若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位 置，3，4，各为1个数字，共可以组
32
成
2A
3
② 若末位数 字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，则有
2A
2
12
个五位数；
4
个五位数；③ 若末位数字为4，则1，2，为一组，且可以交换位置 ，3，0，各为1个数字，且0不是首位数字，则
2
有
2(2A
2
)
=8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个。
此共有不同的站法种数是336种．
26. 锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同 。从中任意舀取
4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）
32．有一排8 个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二
极管 不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？
[解析] 因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3个点亮的二极 管插放在未点亮的5个二极管之间及两端
的6个空上，共有C
3
6
种亮灯办法 ．然后分步确定每个二极管发光颜色有2×2×2＝8(种)方法，所以这排二极管能表
示的信息种数共 有C
3
6
×2×2×2＝160(种)．
33．按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？
(1)各组人数分别为 2,4,6个；(2)平均分成3个小组；(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间．
[解析]
44
C
4
12
C
8
C
4
246< br>(1)C
12
C
10
C
6
＝13 860(种)；(2)＝5 775(种)；
A
3
3
8254860
A． B． C． D．
91
919191
4
【解析】因为总的滔法
C
15< br>,
而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分别按
1.1.2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为
11211211
C
6< br>C
5
C
4
C
6
C
5
2C
4
C
6
C
5
C
4
48

4
C
15
91
27. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．
211
C
4
C
2
C
1< br>【解析】分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有;第二步将分好的三组分配
2
A
2
211
C
4
C
2
C< br>1
3
A36

3
2
A
2
44< br>C
4
12
C
8
C
4
4
(3)分两步 ：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有·A
3
C
4C
4
3
3
＝C
12
·
8
·
4
＝34 650(种)
A
3
到3个乡镇，其分法有
A
33
所以满足条件得分配的方案有
不同的分法．
34．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？
(1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ < br>(3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的 排法？
4
[解析] (1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插 到男生的空中，共有A
6
A
7
种不同排法．
6
·
28. 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入 每个盒子里的球的个数不小于该盒子
的编号，则不同的放球方法有（ ）
A．10种 B．20种 C．36种 D．52种
解析：将4个颜色互不相同的球全部放入编 号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒
3

1
(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有 A
9
9
种排法，若甲不在末位，则甲有A
8
种排法，乙
有A
1
8
种排法，其余有A
8
8
种排法，
综上共有( A
9
9
＋A
1
8
A
1
8
·A8
8
)种排法．
方法二：无条件排列总数

甲在首，乙在末 A
8
A
10

8
A
98
10
－< br>
甲在首，乙不在末

9
－A
8

甲不在首 ，乙在末A
9
9
－A
8
8


甲不在首乙 不在末，共有(A
10
10
－2A
9
9
＋A
88
)种排法．
(3)10人的所有排列方法有A
10
10
种， 其中甲、乙、丙的排序有A
3
3
种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、
乙、丙排序一定的排法有
A
10
10
A
3
种．
3
(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好 是这二者之和，
因此满足条件的有
1
2
A
10
10
种排法．
35. 已知
m,n
是正整数，
f(x)(1x)
m
(1x)
n
的展开式中
x
的系数为7，
（1） 试求
f(x)
中的
x
2
的系数的最小值
（2） 对于使< br>f(x)
的
x
2
的系数为最小的
m,n
，求出此时< br>x
3
的系数
（3） 利用上述结果，求
f(0.003)
的近似值（精确到0.01）
解：根据题意得：
C
11
m
C
n
7
，即
mn7 （1）
x
2
的系数为
C
2
C
2
m(m1)
mn

2

n(n1)
2
m
2
n
2
mn
2

将(1)变形为n7m
代入上式得：
x
2
的系数为
m
2
 7m21(m
7
)
2
35
2

4

故当
m3或4时，
x
2
的系数的最小值为9
（1） 当
m3,n4或m4,n3时，
x
3
的系数为为
C
3
C
3
34
5

（2）
f(0.003)2.02



4