葱烧海参做法-乔子扬

排列组合应用题的类型及解题策略
一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成
的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还
是分类。
二．处理排列组合应用题的规律
（1） 两种思路：直接法，间接法。
（2） 两种途径：元素分析法，位置分析法。
解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置
优先考虑。
特殊优先法:对于存 在特殊元素或者特殊位置的排
列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决
特殊元素或 特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种
解法叫做特殊优先法。
例1．电视台连续播放6个 广告，其中含4个不同的
商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公
益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用
数值表示）.
解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A
2
2
种；中
间4个为不同的商业广告有A
4
4
种，从而应当 填 A
2
2
·A
4
4
＝48. 从而应填48．
（3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合
再排列。弄清要“完成什么样的事件”是前提。
三．基本题型及方法：
1．相邻问题
（1）、全相邻问题，捆邦法
例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在
一起的不同排法有（ C ）种。
A）720 B）360 C）240 D）120

说明：从上述解 法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在
解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将
蹈 节目不连排，则不同排法的种数是
（A）1800 （B）3600 （C）4320
相邻元素视作一个“大”元素。
（2）、全不相邻问题，插空法
例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演
出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同
的排法，
解：先将6个歌唱节目排好， 其中不同的排法有6！，
这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈
节目有
A
4
7
种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目
不得相邻的排法为
A
46
7
A
6
种
例4高三（一）班学要安排毕业晚会的 4各音乐节目，
2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞
（D）5040
解：不同排法的种数为
A
52
5
A
6
＝3600，故选B
说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某
些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此 类问题可以
先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。
（3）．不全相邻排除法，排除处理
例5．五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相< br>邻，有多少排法？解：
A
53323222
5
A
3
A
3
A
2
A
3
或3A
2
A
3< br>A
2
72

例6．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，
现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并
且这2人不
．
左右相邻 ，那么不同排法的种数是

2、顺序一定，除法处理或分类法。
例7、信号兵 把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示
信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，
可 表示不同信号的种数是（ ）（用数字作答）。
解：5面旗全排列有
A
5
5
种挂，由于3面红旗与2面白
旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故有
A
5
5
A
32
10

3
A2
例8．某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙
必须在工程甲完成后才能进行，工 程丙必须在工程乙
完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即
进行。那么安排这6项工 程的不同排法种数是 。
（用数字作答）
解一：依题意，只需将剩余两个工程插在由 甲、乙、丙、
丁四个工程形成的5个空中（插一个或二个），可得有
A
2
5 A
2
5

2
＝30种不同排法。解二：
6!
4!< br>=30
例9、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字
的6位数，其中个位数 字小于十位的数字的共有（ ）
A）210个 B）300个 C）464个
D）600个解：
1
2
A
15
5
A
5
300
故选（B）
4、多元问题，分类法
例10．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边< br>远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同
去或同不去,则不同的选派方案共有 种
共有600种不同的选派方案．
例11：设集合
I

1,2 ,3,4,5

。选择I的两个非空子集A
和B，要使B中最小的数大于A中最大的数 ，则不同的
选择方法共有

A．
50种
B．
49种
C．
48种
D．
47种

总计有
49种
，选B.
例12将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和 2
的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于
该盒子的编号，则不同的放球方法有A
A．10种 B．20种 C．36种 D．52种
说明：元素多，取出的情况也多种，可按要求分成互
不相容的几类情况分别计算，最后总计。
5、交叉问题，集合法（二元否定问题，依次分类）。
例13、从6名运动员中选出4名参加 4×100米接力
赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不
同的参赛方法？252
例14、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、
化学、体育共六门课程，且上午安排四节 课，下午安排
两节课。
（1）若第一节不排体育，下午第一节不排数学，一共有
多少种不同的排课方法？
（ 2）若要求数学、物理、化学不能排在一起（上午第四
节与下午第一节不算连排），一共有多少种不同的 排课方
法？
例15、同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后
每人从中拿一张别 人送来的贺年卡，则四张贺年卡不同
的分配方式有（ B ）
A）6种 B）9种 C）11种 D）23种
说明：求解二元否定问题可先把某个元素按规定排入，
第二步再 排另一个元素，如此继续下去，依此即可完成。

例16、安排5名歌手的演出顺序时， 要求某名歌手
不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法
的总数是 .(用数字作答) 。（答：78种）
说明：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集
合中求元素的个数的公式来求解。
6、多排问题，单排法
例17、两排座位，第一排有3个座位，第二排有5
个座位， 若8名学生入座（每人一座位），则不同的座法
为
A）
C
5
1
8
C
3
8
B）
A
2
C
53
8
C
8
C）
A
3
8
A
5
8
D）
A
8
8

解：此题分两排座可以看成是一排座，故有
A
8
8
种座法。
∴选（D） 说明：把元素排成几排的问题，可归纳为一
排考虑，再分段处理。
7、至少问题，分类法 或 间接法（排除处理）
例18．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三
项不同的工作， 若这3人中至少有1名女生，则选派方
案共有
（A）108种 （B）186种 （C）216种
（D）270种
解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有
A
33
7
A
4
=186种，选B.
例19． 5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.
现从中选出3名队员排成1、2、 3号参加团体比赛,则入
选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1
名新队员的 排法有_______种.(以数作答)
【解析】两老一新时, 有
C
1
C
12
32
A
2
12
种排法；两新一老

时, 有
C
12
2
C
3
A
3
3
36
种排法,即共有48种排法.
【点评】本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分
类讨论思想.
例20．将5名 实习教师分配到高一年级的３个班实习，
每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有 B
（A）３０种 （B）９０种 （C）１８０种 （D）
２７０种
说明：含“ 至多”或“至少”的排列组合问题，是
需要分类问题，或排除法。排除法，适用于反面情况明
确 且易于计算的情况。
8、部分符合条件淘汰法
例21．四面体的顶点各棱中点共有10个点，在其中取4
个不共面的点，不同的取法共有
（ D ）
A）150种 B）147种 C）144种 D）141种
解：10个点取4个点共有
C
4
10
种 取法，其中面
ABC内的6个点中任取4个点必共面，这样的面共有6
个，又各棱中点共6个点 ，有四点共面的平面有3个，
故符合条件不共面的平面有
C
4
10
4C
4
6
63141
选D
说明：在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总
数中减去不符合条件数，即为所求。
9．分组问题与分配问题
①分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组
合处理
例 22 。有 9 个不同的文具盒： （1）将其平均分成三

组；（2）将其分成三组，每组个数2，3，4。上述问题
各有多 少种不同的分法？
分析：（1）此题属于分组问题：先取3个为第一组，
有
C
33
9
种分法，再取3个不第二组，有
C
6
种分法，剩下3个为第三组，有
C
3
3
种分法，由于三组之间没有顺序，故
有
C
333
9
C
6
C
3
种分法。（2）同（ 1），共有
C
2
A
3
9
C
3
7
C
4
4
种分法，因
3
三组个数各不相同，故不必再除以
A3
3
。
练习：12个学生平均分成3组，参加制作航空模型
活动，3个 教师各参加一组进行指导，问有多少种分组
方法？
②分配问题： 定额分配，组合处理；
随机分配，先组后排。
例23。有9本不同的 书：（1）分给甲2本，乙3本，
丙4本；（2）分给三个人，分别得2本，3本，4本。上
述 问题各有多少种不同的分法？（1）此题是定额分配问
题，先让甲选，有
C
2
9
种；再让乙选，有
C
3
7
种；剩下的给
丙，有
C
4
4
种，共有
C
2
9
C
34
7< br>C
4
种不同的分法（2）此题是随机
分配问题：先将9本书分成2本，3本，4 本共有三堆，
再将三堆分给三个人，共有
C
2
9
.C
37
.C
4
4
.A
3
3
种不同的分法。
例24：对某种产品的6件不同正品和4件不同次品
一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次 品恰
好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多
少种可能?
解：第5次必 测出一次品，余下3件次品在前4次
被测出，从4件中确定最后一件次品有
C
1
4
种方法，前4
次中应有1件正品、3件次品，有
C
13
6
C
3
种，前4次测试
中的顺序有
A
4
种，由分步计数原理 即得：
C
1
C
13
44
（
6
C
3
）
A
4
4
＝576。
【评述】本题涉及一类重要问题：问 题中既有元素的限
制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排

列 < br>练习：1。3名教师分配到6个班里，各人教不同的班
级，若每人教2个班，有多少种分配方法？
C
22
6
C
2
4
C
2
90
2．将10本不同的专著分成3本，3本，3本和1
本，分别交给4位学者阅 读，问有多少种不同的分法？
C
33
C
31
10
C
74
C
1
3!
4!

例25 某外商计划在四个候选城市 投资3个不同的项目,
且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同
的投资方案有 ( ) A.16种 B.36种
C.42种 D.60种
解析：有两种情况，一是在两个城市分别 投资1个项目、
2个项目，此时有
C
1
3
A
2
4
36
，二是在在两个城市分别
投资1，1，1个项目，此时有
A
3
4
24
， 共有
C
123
3
A
4
A
4
=60， 故选 （D）
10．隔板法：隔板法及其应用技巧
在排列组合中，对于将不可 分辨的球装入到可以分辨的
盒子中，每盒至少一个，求方法数的问题，常用隔板法。
见下例：
例26。求方程x+y+z=10的正整数解的个数。(即：10
个相同的小球分给三人，每人 至少1个，有多少种方
法？)
分析：将10个球排成一排，球与球之间形成9个
空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块
隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球 数分
别为 x.y.z之值（如图）
○○○ ○○○ ○○○○
则隔板与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的
个数为
C
2
9
36
个。实际运用隔板法解题时，在确定球数、
如何插隔板等问题上形成了一些技巧。下面举例说明：

技巧一：添加球数用隔板法。
例27．求方程x+y+z=10 的非负整数解的个数。
分析：注意到x 、y 、z 可以为零，故上题解法中的限
定“每空 至多插一块隔板”就不成立了。怎么办呢？只
要添加三个球，给 x、 y、z 各一个球。这样原问题就
转化为求x+y+z=13 的正整数解的个数了，故解的个数
为
C
2
12
=66个。
【小结】本例通过添加球数，将问题转化为如例1
中的典型的隔板法问题。
技巧二：减少球数用隔板法。
例28．将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，
4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编
号数，求放法总数。
分析1： 先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，
1，2，3个球，有1种方法；再把剩下的14个球， 分成
4组，每组至少1个，由例25知有
C
3
13
=286 种方法。
分析2：第一步先在编号1，2，3，4的四个盒子
内分别放 1，2，3，4个球，有1种方法；第二步把剩下
的10个相同的球放入编号为1，2，3，4的盒子里 ，由
例26知有
C
3
13
=286 种方法。
【小结】两种解法均通过减少球数将问题转化为例25、
例26中的典型问题。
技巧三：先后插入用隔板法。
例29。为构建和谐社会出一份力，一文艺团体下基层
宣传演出 ，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保
持这些节目的相对顺序不变，拟再添2个小品节目，则

不同的排列方法有多少种？
分析：记两个小品节目分别为A、B。先排A节目 。根
据A节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把4
个球分成两堆，由例26知有
C
1
5
种方法。这一步完成后
就有5个节目了。再考虑需加入的B 节目前后的节目数，
同上理知有
C
1
1
6
种方法。故由乘法原理知，共有
C
5
C
1
6
30

种方法。
11．数字问题（组成无重复数字的整数）
① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被
2整除的数的特征：末位数是奇数。
②能被3 整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；
能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。
③ 能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。
④ 能被5整除的数的特征：末位数是0或5。
⑤ 能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。
能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数
的偶数。
例30在
1,2 ,3,4,5
这五个数字组成的没有重复数字的三
位数中，各位数字之和为奇数的共有
（A）36个 （B）24个 （C）18个
（D）6个
解：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3个数
字都是奇数，有
A
3
3
种方法（2）3个数字中有一个是奇数，
有
C
1A
3313
33
，故共有
A
3
＋
C
3
A
3
＝24种方法，故选B
例31。用数字0，1，2，3，4组成没有重 复数字的五
位数，则其中数字1，2相邻的偶数有 24 个（用

数字作答）．
12．分球入盒问题
例32：将5个小球放到3个盒子中，在下列条件下，
各有多少种投放方法？
① 小球不同，盒子不同，盒子不空
解：将小球分成3份，每份1，1，3或1，2，2。再
放在 3个不同的盒子中，即先分堆，后分配。有
(
C
3122
5
C
2
A
2
+
C
5
C
3
2
)•A< br>3
3

2
A
2
②小球不同，盒子不同，盒子可空 解：
3
5
种
③小球不同，盒子相同，盒子不空 解：只要将5
个 不同小球分成3份，分法为：1，1，3；1，2，2。共
有
C
312
5C
2
CC
2
53
A
2
+
A
2
=25种
22
④小球不同，盒子相同，盒子可空
本题即是将5个不同小球 分成1份，2份，3份的问
题。共有
12
C
543
5
(C
5
C
5
)(
C
3
5
C
2C
2
5
C
3
A
2
+
A
2)41
种
22
⑤小球相同，盒子不同，盒子不空解：（隔板法）。0
00 00 ，有
C
2
4
种方法
⑥小球相同，盒子不同，盒子可空
解一：把5个小球及插入的2个隔板都设为小球（7
个球）。7个球中任选两个变为隔板（可以相邻）。那么2
块隔板分成3份的小球数对应于 相应的3个不同盒子。
故有
C
2
7
=21解：分步插板法。
⑦小球相同，盒子相同，盒子不空解：5个相同的小
球分成3份即可，有3，1，1；2，2，1。 共 2种
⑧小球相同，盒子相同，盒子可空
解：只要将将5个相同小球分成1份，2份，3 份即

可。分法如下：5，0，0； 4，1，0；3，2，0； 3，1，
1； 2，2，1。
例33、有4个不同的小球，放入4个不同的盒子内，
球全部放入盒子内
（1）共有 几种放法？（答：
4
4
）（2）恰有1个空盒，
有几种放法？（答：
C
23
4
A
4
144
）
（3）恰有1个盒子内 有2个球，有几种放法？（答：
同上
C
23
4
A
4
144
）（4）恰有2个盒子不放球，有几种放法？
（答：
C
3
4
A
2
4
C
2
4
C
2
4
84
）
13、涂色问题：（1）用计数原理处理的问题，需要关注
图形的特征：多少块？多少色？
（2）以涂色先后分步，以色的种类分类。
例34、某城市在 中心广场建造一个花圃，花圃分为6个
部分（如图）。现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种
一种且相邻部分要能栽种同种颜色的花，则不同的栽种
方法有 120 种？
例35、将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使
同一条棱的两端异色，若只有五种颜色可供使 用，则不
同的染色种数为 420
5

6 1
4

2 3

巧解排列组合的21种模型
排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有 趣，但题
型多样，思路灵活，不易掌握.实践证明，掌握题型和识别模式，
并熟练运用，是解决 排列组合的有效途径.下面就系统地介绍巧解
排列组合的21种模型.
1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个
组，当作一个大元素参与排列.
例1.
A,B,C,D,E
五人并排站成一排，如果
A,B
必须相邻 且
B
在
A
的右边，那么不同的排法种数有
A、60种 B、48种 C、36种 D、24种
解析：把
A,B
视为一人 ，且
B
固定在
A
的右边，则本题相当
于4人的全排列，
A< br>4
4
24
种，答案：
D
.
2.相离问题插空排: 元素相离（即不相邻）问题，可先把无位
置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述
几个元素的空位和两端.
例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不
同的排法种数是
A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800
种
解析：除甲乙外，其余5个排列数为
A
5
5
种，再用甲乙去插6
个空位有
A
2
5
6
种，不同的排法种 数是
A
5
A
2
6
3600
种，选
B.
3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持
一定的顺序，可用缩小倍 数的方法.
例3.
A,B,C,D,E
五人并排站成一排，如果
B
必须站在
A
的右
边（
A,B
可以不相邻）那么不同的排法种数是
A、24种 B、60种 C、90种 D、120种
解析：
B
在
A
的右边与
B
在
A
的左边排法数相同 ，所以题设
的排法只是5个元素全排列数的一半，即
1
2
A
5
5
60
种，选
B
.
4.标号排位问题分步法:把元素排到指定 位置上，可先把某个
元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次
即可完成.
例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格
里，每格填一个数，则每个 方格的标号与所填数字均不相同的填
法有

A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步
把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第
三步填余下的两个数字，只有一种填法， 共有3×3×1=9种填法，
选
B
.
5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，
可用逐步下量分组法.
例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一
人承担，从10人中选出4人承担这三项 任务，不同的选法种数是
A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040
种
解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人
中选1 人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项
任务，不同的选法共有
C
2< br>10
C
1
C
1
87
2520
种，选
C
.
（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若
每个路口4人， 则不同的分配方案有
A、
C
4
12
C
4
C
4
种 B、
3C
4443
8412
C
4
8
C
4< br>种 C、
C
12
C
4
8
A
3
种 C
444
D、
12
C
8
C
4
A
3
种
3
答案：
A
.
6.全员分配问题分组法: 例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至
少去一名，则不同的保送方案有多少 种？
解析：把四名学生分成3组有
C
2
4
种方法，再把三组学生分 配
到三所学校有
A
33
3
种，故共有
C
2
4
A
3
36
种方法.
说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用
先分组再分配.
（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，
不同的分法种数为
A、480种 B、240种 C、120种 D、96种
答案：
B
.
7.名额分配问题隔板法:
例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名
额，有多少种不同分配方案？

解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个
相同 的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空
位中插入6块木板，每一种插法对应着一种 分配方案，故共有不
同的分配方案为
C
6
9
84
种.
8.限制条件的分配问题分类法:
例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西 部
四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不
到西宁，共有多少种不同派遣 方案？
解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，
有以下四种情况： ①若甲乙都不参加，则有派遣方案
A
4
8
种；②若甲参加而乙不
参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有
A
3
8
方法，所以
共有
3A
3
8
；③若乙参加而甲不参加同理也有
3A
38
种；④若甲乙都参
加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两
个城市有
A
22
8
种，共有
7A
8
方法.所以共 有不同的派遣方法总数为
A
4
8
3A
3
8
3A
32
8
7A
8
4088
种.
9.多元问题分 类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果
要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.
例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六
位数，其中个位数字小于十位数字 的共有
A、210种 B、300种 C、464种 D、600种
解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情
况，分别有
A
511
5
、
A
4
AA
311
A
3
33
、
A
3
A
33
、
A
113132
A
3
A
3
和
A
3
A
3个，合并总计300个,选
B
.
（2）从1，2，3…，100这100个数中 ，任取两个数，使它
们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？
解析： 被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘
积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全 集I,能被7整
除的数的集合记做
A

7,14,21,L98

共有14个元素,不能被7整
除的数组成的集合记做
ð
I
A

1,2,3,4,L,100

共有86个元素；由
此可知，从
A
中任取2个元素的取法有
C
2
14
，从
A
中任取 一个，又
从
ð
1
I
A
中任取一个共有
C
1 4
C
1
86
，两种情形共符合要求的取法有
C
2
C
11
14

14
C
86
1295
种.
（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其

和能被4整 除的取法（不计顺序）有多少种？
解析：将
I

1,2,3L,100< br>
分成四个不相交的子集，能被4整
除的数集A

4,8,12,L 100

；能被4除余1的数集
B

1,5,9,L97

，能被4除余2的数集
C

2,6,L,98

，能被 4
除余3的数集
D

3,7,11,L99

，易见这四 个集合中每一个有25
个元素；从
A
中任取两个数符合要；从
B,D
中各取一个数也符合
要求；从
C
中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要< br>求；所以符合要求的取法共有
C
2
C
1
C
1
C
2
25252525
种.
10.交叉问题集合法：某些排列组合问题 几部分之间有交集，
可用集合中求元素个数公式
n(AUB)n(A)n(B)n(AI B)
.
例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果
甲不跑第一 棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？
解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A =｛甲跑第
一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的
公式得参赛方法 共有：
n(I)n(A)n(B)n(AB)
A
4
A
332
65
A
5
A
4
252
种.
11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先
排这个或几个元素；再排其它的元素。
例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不
站两端则有不同的排法有多少种 ？
解析：老师在中间三个位置上选一个有
A
1
3
种，4名同学在其
余4个位置上有
A
41
4
种方法；所以共有
A
3< br>A
4
4
72
种.
12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考
虑，再分段处理.
例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，
那么不同的排法种数是
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不
同的元素排成一排，共
A
6
6
720

种，选
C
.
（2）8个不同的元素 排成前后两排，每排4个元素，其中某
2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，

有
A2
种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有
A
1
44
种 ，其
余5个元素任排5个位置上有
A
5
1
5
种，故共有A
4
A
2
A
5
45
5760
种排法 .
13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:抽取两类混
合元素不能分步抽. < br>例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少
要甲型和乙型电视机各一台，则不同 的取法共有
A、140种 B、80种 C、70种 D、35种 < br>解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型
号，不取另一种型号的电视机，故不同 的取法共有
C
333
9
C
4
C
5
7 0
种,选.
C

解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲
型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有
C
2112
5
C
4
C
5
C
4
70
台,选
C
.
14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元
素，再安排到一定的位置上 ，可用先取后排法.
例14.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，
则恰 有一个空盒的放法有多少种？
解析：“先取”四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法
有
C
2
3个有
A
3
2
4
种，“再排”在四个 盒中每次排
4
种，故共有
C
4
A
3
4
1 44
种.
（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行
混合双打训练 ，有多少种不同的分组方法？
解析：先取男女运动员各2名，有
C
2
5C
2
4
种，这四名运动员混
和双打练习有
A
2222
中排法，故共有
C
5
C
4
A
2
2< br>120
种.
15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合
条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.
例15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有
A、70种 B、64种 C、58种 D、52种
解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成
C< br>4
8
四
面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面
体，所以四面体实际共有
C
4
8
1258
个.
（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共
面的点，不同的取法共有
A、150种 B、147种 C、144种 D、141种