小学二年级英语-苹果笔记本接投影仪

1.题1 (方法对比，二星)
题面：(1)有5个插班生要分配给3所学校，每校至少分到一个，有多少种不同的分配方法？
(2)有5个数学竞赛名额要分配给3所学校，每校至少分到一个名额，有多少种不同的名额
分配方法 ？
解析：“名额无差别”——相同元素问题
(法1)每所学校各分一个名额后，还有2个名 额待分配，可将名额分给2所学校、1所学校，
21
共两类：
C
3
( 种)
C
3
(法2——挡板法)
2
相邻名额间共4个空隙，插入 2个挡板，共：
C
4
6
(种)
注意：“挡板法”可用于解决待分 配的元素无差别，且每个位置至少分配一个元素的问题.(位
置有差别，元素无差别)
同类题一
题面：
有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
答案：
C
9

详解：
因为10个名额没有差别，把它们 排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选
6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地 分给7个班级，每一种插板方法对应一种分
法共有
C
9
种分法。
6
6

同类题二
题面：
求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。
答案：36.
详解：
将1 0个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插
一块隔板），规定 由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z之值, 故解的个数
为C
9
2
=36（个）。

2.题2 (插空法，三星)
题面：某展室有9个展台，现有
3
件展品需要展出，要求每件展品 独自占用
1
个展台，并且
3
件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同 的展出方法有______种；如果进一步要
求
3
件展品所选用的展台之间间隔不超过 两个展位，则不同的展出方法有____种.

答案：
60
，
48

同类题一

题面：
6男4女站成一排，任何2名女生都不相邻有多少种排法？
答案：A
6
A
4
6
·
7
种.
详解：
任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共 有A
6
A
4
6
·
7
种不同排法．


同类题二
题面：
有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )
A．36种 B．48种 C．72种 D．96种

答案：C.
详解：
恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空， 从而
2
共A
3
3
A
4
＝72种排法，故选C.

3．题3 (插空法，三星)
题面：5个男生到一排12个座位上就座，两个之间至少隔一个空位．

[1]没有坐人的7个位子先摆好，
[2](法1——插空)每个男生占一个位子，插入7个位子所成的8个空当中，有：
5

A
8
=6720种排法.
5
(法2)[1]5个男生先排好：
A
5
；
[2]每个男生加上相邻的一个座位，共去掉9个位置，当作5个排好的元素，
共有6个空，剩下的3个元素往里插空，每个空可以插1个、2个、3个元素，
321
共有：
C
6
种，
2C
6
C< br>6
5
321
综上：有
A
5
(
C
6< br>)=6720种.
2C
6
C
6
同类题一
题面：
文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有
4
个歌舞节目，如果 保持这些节目

的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列方法有多少种？

答案：
30
。

详解：

记两个小 品节目分别为
A
、
B
。先排
A
节目。根据
A
节目前后的歌舞节目数目

考虑方法数，相当于把
4
个球分成两堆，有种方 法。这一步完成后就有
5
个节目了。

再考虑需加入的
B
节 目前后的节目数，同理知有种方法。故由分步计数原理知，方

法共有

（种）。


同类题二
题面：
(2013年开封模拟) 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生
中有且只有两位女生相邻，则不 同排法的种数是( )
A．60
C．42
答案：B.
详解：
2
第一步选2女相邻排列C
2
A
2
，第二 步与男—女排列A
2
3
·
2
，第三步男生甲插在中间，1种
2221
插法，第四步男—男生插空C
1
A
2
·A
2
·C
4
＝48种不同排法．
4
，故有C
3
·


B．48
D．36

4.题4 (隔板法变形，三星) < br>题面：15个相同的球，按下列要求放入4个写上了1、2、3、4编号的盒子，各有多少种不
． ．
同的放法?
3
(1)将15个球放入盒子内，使得每个盒子都不空；
C< br>14
364

(2)将15个球放入盒子内，每个盒子的球数不小于盒子的编号数；
(3)将15个球放入盒子内，每个盒子不必非空；
(4)任取5个球，写上1-5编号，再放入盒内，使每个盒子都至少有一个球；
(5)任取 10个球，写上1-10编号，奇数编号的球放入奇数编号的盒子，偶数编号的球放入偶
数编号的盒子．

解析：
3
(2)先将2、3、4号盒子分别放入1、2、3个球，剩 下的9个球用挡板法，
C
8
=56
3
(3)借来4个球，转化为1 9个球放入盒子内，每个盒子非空，
C
18
816

(4)不能用“挡板法”，因为元素有差别.
24
(法1)必有一个盒子有2个球，
C
5
A
4
240
；
(法2)先选3个球，分别排到4个盒子中的3个里，剩下的盒子自然放2个球.
33
C
5
A
4
240
；
41
(法3)
A
5
C
4
480
，会重！需要除2！
重复原因：1号盒子放1、5号球，先放1后放5与先放5、后放1是一样的！
(5)(法1)每个球都有2种选择，共有
2
10
种方法；
(法2)奇数号的球有1、3、5、7、9，共5个，可以在1、3号两个盒子中选一个放入，
5310
共有：
C
5
C
5
4
C
5< br>C
5
2
C
5
C
5
2
5种放法，
同理放偶数号的球也有
2
种方法，综上共有
2
10
种方法.
5
同类题一
题面：
某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任 务．要求甲、乙两车必须参加，且甲
车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字) ．

答案：120.
详解：

先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有 C
2
5
种选法，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，先从4
2
个位置 中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有C
2
4
种，最后，安排其他两辆车共有A2
种方
2
法，故不同的调度方法为C
2
C
2
A
2
＝120种．
5
·
4
·

同类题二
题面：
我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有
5
架舰载机准备着舰,如
果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有（ ）
A．
12
B．
18
C．
24
D．
48

答案：C.
详解：
分三步:把甲、乙捆绑为一个元素
A
,有
A
2
种方法;
A
与戊机形成三个“空”,把 丙、
2

2
丁两机插入空中有
A
3
种方法; 考虑
A
与戊机的排法有
A
2
种方法.由乘法原理可知共有
2
22
A
2
24
种不同的着舰方法.故应选C．
A
3
2
A
2

5. 题5(相同与不同，三星)
题面：某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋
友1 本，则不同的赠送方法共有( )


A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
同类题一
题面：
(2013·北京高考)将序 号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如
果分给同一人的2张参观券 连号，那么不同的分法种数是________．

答案：96.
详解：
按照要求要把序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券分成4组，然后再分配给4人，连号的
情况是 1和2,2和3,3和4,4和5，故其方法数是4A
4
4
＝96.


同类题二
题面：
3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不 站两端，3位女生中有且只有两位女
生相邻，则不同排法的种数是 （ ）
A. 360 B. 288 C. 216 D. 96

答案：288种.
详解：
分析排列组合的问题第一要遵循特 殊元素优先考虑的原则，先考虑女生的问题，先从3
2
个女生中选两位，有
C
3
2
种方法，然后再考虑顺序，即先选后排，有
A
2
种方法；这样选 出两
名女生后，再考虑男生的问题，先把三个男生任意排列，有
A
3
2
中不同的排法，
然后把两个女生看成一个整体，和另一个女生看成两个元素插入4个位置中。有A
4
种
2232
不同的排法，共有
A
2
C3
A
3
A
4
种不同的排法。然后再考虑把男生甲站两端的情况排 除掉。
2
甲可能站左端，也可能是右端，有
C
2
种不同的方法，然 后其他两个男生排列有
A
2
种排
222122
法，最后把女生在剩余 的三个位置中排列，有
A
3
种不同的排法。共
A
2
C
3
C
2
A
2
A
3
种不同
12
的 排法， 故总的排法为
A
2
C
3
A
3
A
4
—
A
2
C
3
C
2
A
2
A
3
=288种不同的方法。
223222122

.题6(组合数的性质，二星)
题面：5个男生3个女生，分别满足下列条件，各有多少种方法？
(1)选出3人参加A活动；
(2)选出5人参加B活动；
(3)选出4人参加一项活动，女生甲必须参加；
(4)选出4人参加一项活动，女生甲不能参加.


答案：
同类题一
题面：
从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要 求其中男、女医生都
有，则不同的组队方案共有 （ ）
A. 70 种 B. 80种 C. 100 种 D. 140 种
答案：A.
详解：
2112
分为2男1女，和1男2女两大类，共有
C
5
=70种
C
4
C
5
C
4

同类题二
题面：
男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形 中各有
多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有1名女运动员；
（3）队长中至少有1人参加；
（4）既要有队长，又要有女运动员.
答案：（1）120种
（2） 246种.
详解：
（1）第一步：选3名男运动员，有C
3
6
种选法.
第二步：选2名女运动员，有C
2
4
种选法.
共有C
3
C
2
4
=120种选法.
6
·
（2） 至少1名女运动员包括以下几种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.
由分类加法计数原理可得总选法数为
42324
31
C
1
4
C
6
+C
4
C
6
+C
4
C
6
+C
4
C
6< br>=246种.

.题7 (选和排，二星)
题 面：从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中有且只有
1名女生，则选 派方案共有多少种？
123
法一：先选后排，
C
3
C
4< br>A
3

法二：边选边排，
112
(C
3
A
3
)A
4
同类题一
题面：
将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有( )
A．12种
C．36种

答案：C.
详解：
3
先分组再排列：将4名教师分成3组有C
2
4
种分法，再将这三组分配到三所学校有A
3
种
B．24种
D．48种 分法，由分步乘法计数原理，知一共有C
2
A
3
4
·
3
＝36种不同分配方案．


同类题二
题面：
甲、乙 、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不
区分站的位置，则不同的 站法种数是( )
A．258
C．336
B．306
D．296
答案：C.
详解：
根据题意，每级台阶最多站2人，所以， 分两类：第一类，有2人站在同一级台阶，共
23
有C
2
3
A
7
种不同的站法；第二类，一级台阶站1人，共有A
7
种不同的站法．根据分类加法 计
23
数原理，得共有C
2
3
A
7
＋A
7
＝336(种)不同的站法．

3．题一(合理分类，二星)
题面：若从 1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取
法共有( )

A．60种 B．63种 C．65种 D．66种
同类题一
题面：

只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用 ，且同一数字不能相邻出
现，这样的四位数有( )
A．6个
答案：C.
详解：
注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四 个数字
22
共有C
1
C
3
＝6(种)排法，所以共有3×6
3
＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A
2
×
B．9个 C．18个 D．36个

＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．


同类题二
题面：
由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )
A．72
答案：C.
详解：
122
分两类：若1与3相 邻，有A
2
C
3
A
2
A
3
＝72(个)， 若1与3不相邻有A
3
A
3
2
·
3
·
3< br>＝36(个)
B．96 C．108 D．144

故共有72＋36＝108个．
题8
题面：5个男生3个女生，分别满足下列条件，各有多少种方法？
(1)选出4人参加一项活动，女生甲必须参加；
(2)选3人参加数学竞赛，至少有一名男生.
1213
(法1)分类：1名、2名 、3名男生：
C
5
C
3
C
5
2
C
3
C
5
55
；
333
(法2)间接法——
C
8
C
3
C
8
155
.
12< br>(法3)[1]先取1名男生；[2]再在剩下的7人中取3人；
C
5
C
7
5
76
105
？
2

同类题一
题面：
将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两 名学
生不能分到同一个班，则不同分法的种数为
A.18

B.24

C.30

D.36

答案：C.
详解：

用间接法解答： 四名学生中有两名学生分在一个班的种数是
C
4
2
，顺序有
A
3
3
种，而甲乙被分
233
在同一个班的有
A
3
3
种，所以种数是
C
4
A
3
A
3
30


同类题二
题面：
甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有
（ ）
A. 6 B. 12 C. 30 D. 36
答案：C.
详解：
22
可以先让甲、乙任意选择两门，有C
4
种选择方法，然后再把两个人全不相同的情况去
C
4
22
掉，两个人全不相同，可以让甲选两门有
C
4
种选法，然后乙从剩余的两门 选，有
C
2
种不
2
同的选法，全不相同的选法是
C
4
C
2
2
种方法，所以至少有一门不相同的选法为
222
—
C
4
C
4
C
4
C
2
2
=30种不同的选法。
题9 (组合数性质，三星)某班分成五个小组，分别有5,6,7,8,9名 同学，现从该班挑选2名同
学参加比赛，且这两名同学必须来自同一小组，共有多少种不同的方案？

同类题一
题面：
将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班 至少分到一名学生，且甲、乙两名学
生不能分到同一个班，则不同分法的总数为 （ ）
A. 18 B. 24 C. 30 D. 30
答案：C.
详解：
将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组，则共有< br>C
4
种不同的分法，然后三组进行全排列共
A
3
3
2 3
种不同的方法；然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉，共
A
3
种不同的 排法。所以总的
排法为
C
4
A
3
A
3
= 30种不同的排法。

233

同类题二
题面：
将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方
案有
（A）30种 （B）90种 （C）180种 （D）270种

答案：B.
详解：
将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习， 每班至少1名，最多2名，则将5名教师分
12
C
5
C
4
15
种方法，再将3组分到3个班，共有成三组，一组1人，另两组都是2人，有
2
A
2
3
15A
3
90
种不同的分配方案，选B.


题10 (组合的识别，四星)
题面：(1)“渐升数”是指每个数 字比它左边的数字大的正整数(如1458),则四位“渐升数”共有
多少个？
(2)5个男 生3个女生排成一排，自左至右，男、女生分别都从高到矮排(任意两人身高不同)，
有多少种不同排法 ？

53
(法1)8个位置中选5个排男生，剩下3个位置排女生，
C8
，
C
8
注意：男生位置选定以后，女生顺序一定，只对应一种排法.
A8
8
5
(法2——除序)
53
C
8
. A
5
A
3
324
(3)3,3,3,4,4,5,5,5,5能 组多少个不同的九位数？多重排列除序
C
9
C
6
C
4

9!

3!2!4!


答案：150
同类题一
题面： 形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻
的数字大，则由1 ,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为________．
答案：16.
详解：
由题意可得，十位和千位只能是4,5或者3,5.若十位和千位排4,5，则其他 位置任
23
意排1,2,3，则这样的数有A
2
A
3
＝12 (个)；若十位和千位排5,3，这时4只能排在
22
5的一边且不能和其他数字相邻，1,2 在其余位置上任意排列，则这样的数有A
2
A
2
＝4(个)，综上，共有16 个．


同类题二
题面：

4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.
（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？
（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？
答案：
（1）144种.
（2）144种.
（3）6种.
详解：
（1）为保证“恰有1个盒不放 球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，
3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几 种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然
后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另 外2个盒子内，由分步乘法计数
2
1
原理，共有C
1
A
2< br>4
C
4
C
3
×
2
=144种.
（ 2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也
即另外3个盒子 中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”
是同一件事，所以共有14 4种放法.
（3）确定2个空盒有C
2
4
种方法.