海明威的老人与海-老乡见老乡

教师1对1 高中数学教研组 黄林 时间：2011年9月23日

第十二章 排列组合二项式定理、概率统计难题荟萃
例1、某电子表以6个数字显示时间，例如09:20:18表示9点20分18秒．则在0点到
10点之间，此电子表出现6个各不相同数字来表示时间的有______次．
【分析】分步来确定电子表中的六个数字如下：
第一步：确定第一个数字，只能为0，只有1种方法；
第二步：确定第三位数字，只能为0至 5中的一个数(又不能与首位相同)，所以只有5
种方法；
第三步：确定第五位数字，也只能 为0至5中的一个数(又不能与首位，第三位相同)，
所以只有4种方法；
第四步：确定剩下 三位数字，0至9共10个数字已用了3个，剩下的7个数字排列在2，
4，6位共有
A
3
7
种排法．
由分步计数原理得：1×5×4×
A
3
7
＝4200种．
【评述】做一件事情分多步完成时，我们一般先做限制条件较大的一步，如本题中，首
位受限条件最大， 其次为三、五位，所以我们先排首位，再排三、五位，最后排其他位．

例2 在给出的下 图中，用水平或垂直的线段连结相邻的字母，按这些线段行走时，正
好拼出“竞赛”即“CONTEST ”的路线共有多少条?

【分析】“CONTEST”的路线的条数与“TSETNOC”路 线的条数相同，如下右图，从
左下角的T走到边上的C共有6步，每一步都有2种选择，由分步计数原理 ，所以下图中，
“TSETNOC”路线共有2
6
＝64条．
所以本题的答案为64×2－1＝127．
【评述】例9的这种计数的方法常称之为对应法计 数，它的理论基础为：如果两个集合
之间可以建立一对一的对应关系，那么这两个集合的元素的个数相同 ．借助这个原理，如果
一个集合元素的个数不好计算时，我们将其转化为求另一个集合元素的个数不失为 一种较好
的方法．

例3：在正方形
ABCD
中，
E,F ,G,H
分别为各边的中点，
O
为正
方形中心，在此图中的九个点中，以其中 三个点为顶点作三角形，在
D

G

这些三角形中，互不全等的三角形共有多少个？
[思路分析] 根据三角形的类型分为三类：直角三角形有
RtHAE,RtDAE,Rt DAB
共
3
种；以边
AB
为底的三角形
O
OAB,GAB
共
2
种；过中点和中心的三角形有
H
HG B,DGB,GBO
共
3
种。由加法原理得，共有
3238种
D
不同类型的三角形。
[简要评述] 本题体现了“转化化归数学思想”的应用，属于排列组
A

E


1
C
F
B

教师1对1 高中数学教研组 黄林 时间：2011年9月23日

合中的几何问题，在具体方法上是运用了“穷举法（将所有的情形全部列出）”。
65
3
(1x)(1x)
例4：在多项式的展开式中，含
x
项的系数为多少 ？
652323
(1x)(1x)(16x15x20x)(15x10 x10x)
，所以含
x
3
解1
项的系数为
1060515205
。
65251224
(1x)(1 x)(1x)(1x)(1CxCx)(1x)
，所以含
x
3项的系
55
解2
1
C15
。
5
数为

CC(1)CC(1)CC(1)CC(1)5
。
65656565
解3 由组合原理
[简要评述] 本题重点考查对二项式定理的本质的理解和运算能力。

例5：从数字
0,1,2, 3,4,5
中，随机抽取
3
个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数
字 之和等于
6
的概率为多少？
[思路分析] 本题的基本事件是由
6
个不同的数字允许重复而且含
0
的条件下组成三位数，
根据乘法原理可知基本事件的全 体共有
566180
个。设三个数字之和等于
6
的事件为
A< br>，则
A
分为六类：数码
(5,1,0)
组成不同的三位数有
A
2
C
2
个；数码
(4,2,0)
组成不同的三
21 1
ACC
(4,1,1)
223
位数有个；数码组成不同的三位数有个；数码
(3,3,0)
组成不同的三位数有
13
C
2
A
( 3,2,1)
个；数码组成不同的三位数有
3
个；数码
(2,2,2)
组成不同的三位数有
1
个，根
21
据加法原理，事件
A
共 有个。故
[简要评述] 本题考查等可能性事件的概率和互斥事件的概率，重点在于利用排列组合知识
求各个基本事件的总数。

1002
(12x)ee(1x)e(1x)
012
例6：若
ACACCCA120
2
2
1
2
2
2
1
2
1
3
1
2
3
3
P (A)
201

1809
。
e
100
(1 x)
100
,e
i
R,i1,2,3,,
则
e
0
e
1
e
2

[思路分析] 将条件等式的左右两边比较，可知变形
e
100

，
e
0
e
1
e
2
e
100
。
100
(12x)
100


3(2)(1x)

。
ee
1
e< br>2

利用赋值法，令
(1x)1
，则有
0
令(1x)1
，则有
e
100
(321)
100< br>1
；
100
。
[简要评述] 本题考查二项展开式系数的性质，在具体方法上是运用了通法“赋值法”。

例7：鱼塘中共 有
N
条鱼，从中捕得
t
条，加上标志后立即放回塘中，经过一段时间，再从< br>塘中捕出
n
条鱼，发现其中有
s
条标志鱼。（1）问其中有
s
条标志鱼的概率是多少？（2）
由此可推测塘中共有多少条鱼（即用
t,n,s
表示
N
）？
n
C
N
[思路分析] （1）由题意可知， 基本事件总数为。鱼塘中的鱼分为两类：有标志的鱼
t
条，
e
0
e
1
e
2
e
100


32( 1)

5
100
C
无标志的鱼
(Nt)
条，从 而在捕出
n
条鱼中，有标志的
s
条鱼有
t
种可能，同时无标 志的
nssns
(ns)
条鱼有
C
Nt
种可能，则 捕出
n
条鱼中有
s
条鱼共有
C
t
C
Nt
种可能。所以概率为
ns
C
t
s
C
N
s nnt
t
,N
n
C
N
。 （2）由分层抽样可知，
tNs
（条）。
s
[简要评述] 本题考查等可能性事件的概率和统计知识，重点要注意“鱼”的不同的分类以

2

教师1对1 高中数学教研组 黄林 时间：2011年9月23日

及抽样方法中各个元素被抽取概率的相等性。
< br>例8：某宾馆有
6
间客房，现要安排
4
位旅游者，每人可以进住任意一 个房间，且进住各房
间是等可能的，求下列事件各的概率：（1）事件
A
：指定的4
个房间各有
1
人；（2）事件
B
：
恰有
4< br>个房间各有
1
人；（3）事件
C
：指定的某房间中有
2
人；（4）事件
D
：一号房间有
1
人，二号房间有
2
人； （5）事件
E
：至少有
2
人在同一个房间。
[思路分析] 由于每 人可以进住任一房间，进住哪一个房间都有
6
种等可能的方法，根据乘
A
法原 理，
4
个人进住
6
个房间有
6
种方法，则（1）指定的4
个房间中各有
1
人有
4
种方法，
44
4C
6
A
A
4
15
P(A)
4
P( B)
4
4

44
CA
654
。
618< br>。（2）恰有
4
个房间各有
1
人有
64
种方法，（3 ）
4
4
C
从
4
人中选
2
人的方法有
4
种，余下的
2
人每人都可以去另外的
5
个房间中的任一间，有< br>5
2
2
2
C
4
5
2
25
P(C)
1
4
C
6216
4
41
种方法，。（ 4）从人中选人去一号房间的方法有种，从余下
3
2
C
人中选
2人去二号房间的方法有
3
，再余下的
1
人可去
4
个房间 中的任一间，
12
C
4
C
3
4
1
P(D )
6
4
27
。
（5）从正面考虑情形较复杂，正难则反，“至 少有
2
人在同一个房间”的反面是“没有
2
人
在同一个房间，即恰有
4
个房间各有
1
人”，
[简要评述] 本题考查等可能性事件的概率和互斥事件的概率，注意排列组合知识的运用。

（理）例9： 甲、乙、丙三人独立解某一道数学题，已知该题被甲解出而乙解不出的概率为
P(E)P(B)1 P(B)
13
18
。
12
1
4
，被乙解出而丙 解不出的概率为
12
，被甲、丙两人都解出的概率是
9
。
（1）求该题被乙独立解出的概率；
（2）求该题被解出的概率以及解出该题人数

的分布列和数学期望。
[思 路分析]（1）设
A,B,C
分别为甲、乙、丙三人各自独立解某一数学题的事件。由已知则< br>有
1
11


P(A),
P(AB),P (A)(1P(B)),


3
44


111

P(BC),P(B)(1P(C)),P(B),
 
12124

222

P(AC).P(A)P( C).P(C).

993

即

由此方程组解得

所以该题被乙独
P(B)
立解出的概率为
1
4
。
（2）记
D
为该题被解出，它对应着甲、乙、丙三人中至少有一人解出该题，则< br>2315
P(D)1P(D)1(1P(A))(1P(B))(1P(C)) 1
3436
。
11
P(

0)P(A)P( B)P(C)P(

3)P(A)P(B)P(C)
6
，
1 8
，

3

教师1对1 高中数学教研组 黄林 时间：2011年9月23日

17
36
，
11
P(

2)P(A)P(B )P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)
36
。
P(

1)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C )
所以随机变量

的分布列为：
0

1

P

1
17
6

36

1171 115
E

0123
63636184
。 期望为
机变量“

k
”所对应的具体随机试验的结果。



2

11
36

3

1
18

[简要评述] 本题考查相互独立事件的概率和互斥事件的概率，同 时考查函数方程数学思想
和运算能力。理科还考查分布列和数学期望，在解题过程中特别要注意，真正弄 清每一个随
（理）例10：某一汽车前进途中要经过
3
个红绿灯路口。已知汽车在第一 个路口，遇到红
1
灯和遇到绿灯的概率都是
2
；从第二个路口起，若前次遇到 红灯，则下一次遇到红灯的概
123
率是
3
，遇到绿灯的概率是
3< br>；若前一次遇到绿灯，则下一次遇到红灯的概率是
5
，遇到
2
绿灯的概 率是
5
。求：（1）汽车在第二个路口遇到红灯的概率是多少？（2）在三个路口中，
汽车遇到一次红灯，两次绿灯的概率是多少？汽车在经过三个路口过程中，所遇到红灯的次
数的期望是多 少？
[思路分析] 根据相互独立事件同时发生的概率的乘法公式可得，
11137
P
1
232515
。 （1）

P
2

23525325575
。 （2）
要求期望，则必须先求分布列。设汽车所遇到红灯的次数为随机变量

，则有
12221111
P(

0)P(

3) 
25525
，
23318
，

P(

1)
23525325575
，

P(
< br>2)
23323525390
，故得分布列
0



1

2

P

23437
25

75

90

2343 71649
E

0123
25759018450
。 所以
3

1
18

[简要评述] 本题重点考查相互 独立事件的概率乘法公式的本质——同时发生，同时还考查
互斥事件的概率。在具体解题中注意与递推有 关的概率的计算。

4