个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，
有多少种排法。

4.由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个 位数字小于十位数字的共
有（ ）
A、210种 B、300种 C、464种 D、600种

七：“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:
1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不
同的取法共有 （ ） A、140种 B、80种 C、70种 D、35种

2.如从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有_______种

八：多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分< br>别计数再相加。
1.某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、 乙两种原料不
能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有
_______种；


2.某公司新招聘进8名 员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能
同给一个部门；另三名电脑编程人员 也不能同给一个部门，则不同的分配方案有_____种；


九：阁板法，名额分 配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法，（每组至少一份），（每组
至少一份，分成n份，需要n- 1个隔板，当不是每组至少一份时，先转化为每组至少一份后
再做）
1. 某校准备组建一个 由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，
名额分配方案共 种 。

个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案

个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发每人至少两个呢

4.有2 0个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少

编 号数，问有多少种不同的方法（
C
16
）

十.（不同物品）分组 问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别
忘除以n！。

1.本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法

2.把6个不同苹果平均分成三堆，一共有 种分法.

3.把6个不同苹果平均分成3份给3个小朋友，一共有 种分法.

4.把6个不同的苹果分成4堆，一共有 种分法.

5.把6个不同苹果分给4个小朋友，每个小朋友至少1个，一共有 种分法.

本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法

名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种

本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
A、480种 B、240种 C、120种 D、96种

9． 某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法
的种数。


名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有
（ ）
44
C
12
C
8
4
C
4
44 444
3
C
12
C
8
4
C
4
3C
12
C
8
4
C
4
C
12
C
8
4
A
3
3
A
3
A、种 B、种 C、种 D、种
2


11.有甲乙丙三项任务，甲需2人承担 ，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项
任务，不同的选法种数是（ ）
A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种
12.如4 名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每

所学校 需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_______种（答：37440）；


十一：选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，
可 用先取后排法.
1.如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只 测试，
直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是
_ _。

2.四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种

名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方
法


十二：标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入 ，第二步
再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
1.将数字1，2，3，4填入标 号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的
标号与所填数字均不相同的填法有（ ）
A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
2.同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的
分配方 式有 种；

3.设有编号为1、2、3、 4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖，将五个杯盖
盖在五个茶杯上，至少有两个杯 盖和茶杯的编号相同的盖法有______ ___种

4.设有编号为1，2 ，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5
个盒子要求每个盒子放一 个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同
的方法


十三：多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
1.如若2n个学生排成一排的排法数为x，这2 n个学生排成前后两排，每排各n个学生的
排法数为y，则x,y的大小关系为_____；

2. 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种

个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某 1个元素排在
后排，有多少种不同排法






十四：圆排问题单排法:把
n
个不同元素放在圆周
n
个无 编号位置上的排列，顺序（例如按
顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以 重合）的排法认为是
相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列
n个普通排列：
a
1
,a
2
,a
3
L
,a
n
;a
2
,a
3
,a
4
,
L
,a
n
,
L
;a
n
,a
1
,L
,a
n1
在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，
故认
为相同，
n
个元素的圆排列数有
n!
种.因此可将某个元素固定展成单排， 其它的
n1
元素全
n
排列.

1.有5个人站成一圈，一共有多少种站法

1.有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法


十五 ：排除法，部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数
中减去不符合条件 数，即为所求.
1.以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）
A、70种 B、64种 C、58种 D、52种

2.四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）
A、150种 B、147种 C、144种 D、141种

3. 如在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2 ,－1)
可以确定三角形的个数为_____。

3. 有五张卡片，它的正反面分 别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三
张并排放在一起组成三位数，共可组成多 少个不同的三维书

十六：已排好元素中新增元素增位排列法

1. 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少
中插入方法

2.某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这
两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为___ __。

3.如（1）书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上2本不同的书，
有 种不同的放法；










二项式定理：
0n1n112n22knkknn
(a b)
n
C
n
aC
n
abC
n
ab ...C
n
ab...C
n
b(nN

).
例：1.
(xy)
的展开式为
2.
(xy)
的展开式为
3.
(x2y)
的展开式为
12233nn
4.设
n
N*，化简
17C
n
7C
n
7C
n
7C
n

_______ ______；
1232nn1
5.设
n
N*，化简
C
n
C
n
6C
n
6C
n
6
_ ______________；
012n
C
n
C
n
 C
n
...C
n
2
n

5
7
7
例：1.
(xy)
的展开式中，每项的系数和为
2.
(xy)
的展开式中，每项的二项式系数和为
3.
(x2y)
的展开式中，每项的二项式系数和为
4.
(x2y)
的展开式中，每项的系数和为
7
7
7
7

k
二项式的题型一：（求
x或
xy
的系数）
2
nm
1．（重庆3）
(x)的展开式中
x
的系数是（ ）
A．16 B．70
5
2
x
8
4
C．560 D．1120

2

2
2．(2008天津理)

的二项展开式中，的系数是 （用数字作答）.
x
x

x

3．（全国113）
(xy)
的展开式中，< br>xy
的系数与
xy
的系数之和等于
4．（全国213）
xyyx

5．(2008全国Ⅱ卷理)
(1
A．
4
B．
3

107337

的展开式中
xy
的系数为
4
33
x)
6
(1x)
4
的展开式中
x
的系数是（ ）
C．3 D．4
6．(2008四川理)

12x

1x

展开式中
x
2< br>的系数为______________。

7．（2008浙江文、理）在
(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)
的展开式中，含
x
的项的系数
是（ ）
（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274
8
8. (2008广东理)已知
(1 kx)
(k是正整数)的展开式中，
x
的系数小于120，则k=_____.
26
34
4
题型二：求常数项

1．（四川13）
(2x
1
6
)
的展开式的常数项是 （用数字作答）
2x
1
3
2．(2008山东理)（
X
-
x
）展开式中的常数项为（

）
12
（A）-1320

（B）1320

（C）-220

(D)220
3．（全国Ⅰ卷理科第 10题）
(x)
的展开式中，常数项为15，则
n
= （ ）
B．4 C．5 D．6
2
1
x
n

3
1

4．(安徽理科第12题 )若

3x

的展开式中含有常数项,则最小的正整数
n
等于
x

n

2

5． （湖北理科第1题）如果

3x
2

3

的展开式 中含有非零常数项，则正整数
n
的最小值为
x

n
（ ）
Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6
2
Ｄ．10
8
1

的展开式中常数项为 ．6．（全国Ⅱ卷理科第1 3题）
(12x)

（用数字作
x

x

答）
7．(2008江西理) (1＋
3
x
)(1＋
6< br>1
4
x
)展开式中的常数项为（ ）
10
A．1 B．46 C．4245 D．4246


题型三：求展开式的系数或二项式系数
1．(2008福建理)若(
x
-2 )=
a
3
x
+
ax
+
a
3
x+
a
2
x
+
a
1
x
+
a0
,则
a
1
+
a
2
+
a
3< br>+
a
4
+
a
5
=_______.(用数字作
答)

2．（重庆理科第4题）若
(x)
展开式的二项式系数之和为6 4，则展开式的常数项为（ ）
A．10 .20 C

555432
1
x
n
1

3．（20 08北京理）若

x
2

3

展开式的各项系数之 和为32，则
n
______，其展开式中
x

的常数项为__ ___（用数字作答）

n
3

4．（江西理科第4题）已知

x
3

展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和
x

之比为
64
，则
n
等于（ ）
Ａ．
4


5．（湖南10）在
(1x)
3(1x)
3
(1
3
x)
3
的展开式中，
x
的系数为_____(用数字作答)

88
6．（2008安徽文、 理）设
(1x)a
0
a
1
xLa
8
x,
则
a
0,
a
1
,L,a
8
中奇数的个数为 （ ）
n
Ｂ．
5
Ｃ．
6
Ｄ．
7

A．2

B．3 C．4 D．5
7．已知（
a
1
)
n
的展开式的第三项与第二项 的系数的比为11∶2，则
n
是 （ ）
3
a
2
8 .设
(x)

a

a

xa


xLa

x

，则
a
10a
11
= .

题型四：
1、
41
41
被7除所得的余数是___________；
2、
8
99
1
被9除的余数为………………………………………………………… …（
（A）7 （B）－2 （C）8 （D）－1
3、
91
91
除以100的余数是……………………………………………………………（
（A）1 （B）90 （C）91 （D）9

）
）