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排列组合专题训练试题


一．选择题（共23小题）
1．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其
中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种

2．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要 求甲、乙两名同学至少有一
人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种 数为（ ）
A．360 B．520 C．600 D．720

3．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（ ）
A．24对 B．30对 C．48对 D．60对

4．航空母舰“辽宁舰”在 某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼﹣15飞机准备着舰．如果甲、
乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两 机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）
A．12种 B．16种 C．24种 D．36种

5．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有
（ ）
A．192种 B．216种 C．240种 D．288种

6．有6名男 医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不
同的选法共有（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种

7．记者要为4名志愿者 和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排
在两端，则不同的排法有（ ）
A．72种 B．144种 C．240种 D．480种

8．某人设计一项单 人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3
个单位）的顶点A处，然后通过 掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，
如果掷出的点数为i（i=1，2，…6）， 则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则
某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所 有不同走法共有（ ）

A．22种 B．24种 C．25种 D．36种

9．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻），
那么不同的排法共有（ ）

A．24种 B．60种 C．90种 D．120种

10．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张， 要
求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ）
A．232 B．252 C．472 D．484

11．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有
（ ）
A．30种 B．60种 C．90种 D．150种

12．将标号为1， 2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中．若每个盒子放2个，
其中标号为1，2的小球放 入同一盒子中，则不同的方法共有（ ）
A．12种 B．16种 C．18种 D．36种

13．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序有
（ ）
A．240种 B．360种 C．480种 D．720种

14．将5名 同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同
的分配方案的种数为（ ）
A．80 B．120 C．140 D．50

15．我国第一艘航母“辽 宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼﹣15飞机准备着舰．如
果甲、乙两机必须相邻着舰，而 丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）
A．12 B．18 C．24 D．48

16．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选 法
共有（ ）
A．6种 B．12种 C．30种 D．36种

1 7．两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人
输赢局次的不 同视为不同情形）共有（ ）
A．10种 B．15种 C．20种 D．30种

18．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ）
A．72 B．96 C．108 D．144

19．2名医生和4名护士被分 配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不
同的分配方法共（ ）
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种

20．某校在高二年级开设选 修课，其中数学选修课开了三个班．选课结束后，有四名选修英
语的同学要求改修数学，但数学选修每班 至多可再接收两名同学，那么安排好这四名同学的
方案有（ ）

A．72种 B．54种 C．36种 D．18种

21．甲和乙等五名志愿者被随机地分到A、B、 C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少
有一名志愿者，则甲和乙不在同一岗位服务的概率为（ ）
A． B． C． D．

22．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班， 每个班至少分到一名学生，且甲、乙两
名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36

23．用数字0，1，2，3组成数 字可以重复的四位数，其中有且只有一个数字出现两次的四
位数的个数为（ ）
A．144 B．120 C．108 D．72

二．填空题（共7小题）
24 ．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，
每人2张，不同 的获奖情况有 种（用数字作答）．

25．把5件不同产品摆成一排，若产品 A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不
同的摆法有 种．

26．某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类
课程中各至少 选一门，则不同的选法共有 种．（用数字作答）

27．10名运动员中有2 名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员
至多1人入选且新队员甲不能入选的选 法有 种．

28．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4 人，每人至少1张，如果分给同
一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．

29．从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同 学
又有女同学的不同选法共有 种（用数字作答）

30．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种．（用数字作
答）






















排列组合专题训练试题

参考答案与试题解析


一．选择题（共23小题） 1．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其
中 标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
【考点】排列、组合的实际应用．
【专题】计算题．
【分析】本题是 一个分步计数问题，首先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，
再从剩下的4个数中选两个放 一个信封有C
4
2
，余下放入最后一个信封，根据分步计数原理
得到结果．
【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数问题，
∵先从3个信封中选一个放1，2，有= 3种不同的选法；根据分组公式，其他四封信放入
两个信封，每个信封两个有=6种放法，
∴共有3×6×1=18．
故选：B．
【点评】本题考查分步计数原理，考查平均 分组问题，是一个易错题，解题的关键是注意到
第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包 含两个步骤，先平均分组，再排列．

2．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学 生发言，要求甲、乙两名同学至少有一
人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的 发言顺序种数为（ ）
A．360 B．520 C．600 D．720
【考点】排列、组合的实际应用．
【专题】计算题．
【分析】根据题意，分2种情 况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由
排列、组合计算可得其符合条件的情况数目， 由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，
若只有甲乙其中一人 参加，有C
2
1
•C
5
3
•A
4
4
=480种情况；
若甲乙两人都参加，有C
2
2
•C
5
2
•A
4
4
=240种情况，
其中甲乙相邻的有C
22
•C
5
2
•A
3
3
•A
2
2
=120种情况；
则不同的发言顺序种数480+240﹣120=600种，
故选C．
【点评】本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法．

3．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（ ）
A．24对 B．30对 C．48对 D．60对
【考点】排列、组合及简单计数问题；异面直线及其所成的角．
【专题】排列组合．
【分析】利用正方体的面对角线形成的对数，减去不满足题意的对数即可得到结果．
【解答】解：正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有=66条，

同 一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满
足题意的直线对 数，
不满足题意的共有：3×6=18．
从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有：66﹣18=48．
故选：C．
【点评】本题考查排列组合的综合应用，逆向思维是解题本题的关键．

4．航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼﹣15飞机准备着舰．如果甲、
乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）
A．12种 B．16种 C．24种 D．36种
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【专题】计算题；排列组合．
【分析】先考虑甲、乙两机是12、23、34、45位置，再 考虑甲、乙两机，位置交换，即可
得出结论．
【解答】解：先考虑甲、乙两机，若甲、乙两机是12位置，则其余3架飞机有
法；
甲、乙两机是23位置，则丁有，其余2架飞机有种方法，共有=4种方法；
=6种方
同理，甲、乙两机是34、45位置，均分别有4种方法，
若乙、甲两机是 12位置，则其余3架飞机有
乙、甲两机是23位置，则丁有
=4种方法；
种方法，共有=4种方法； ，其余2架飞机有
同理，乙、甲两机是34位置，有4种方法
乙、甲是45位置，则其余3架飞机有=6种方法
故共有2（6+4+4+4）=36种不同的着舰方法．
故选：D．
【点评】本题 考查排列、组合知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，
属于基础题．

5．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有
（ ）
A．192种 B．216种 C．240种 D．288种
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【专题】应用题；排列组合．
【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．
【解答】解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96
种，
根据加法原理可得，共有120+96=216种．
故选：B．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．

6．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一 个医疗小组，则不
同的选法共有（ ）
A．60种 B．70种 C．75种 D．150种
【考点】排列、组合及简单计数问题；排列、组合的实际应用．
【专题】排列组合．
【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女 医生中选出1人，
由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C
6
2
=15种选法，
再从5名女医生中选出1人，有C
5
1
=5种选法，
则不同的选法共有15×5=75种；
故选C．
【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．

7．记者 要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排
在两端，则不同的排法 有（ ）
A．72种 B．144种 C．240种 D．480种
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【专题】计算题．
【分析】本题是一个分步 问题，采用插空法，首先将4名志愿者排成一列，再将2位老人看
成一个整体插到4名志愿者形成的三个 空中，然后2位老人内部还有一个排列，根据分步计
数原理得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个分步问题，采用插空法，
先将4名志愿者排成一列，
再将2位老人看成一个整体插到4名志愿者形成的三个空中（除去两端的），
然后将2位老人排列，
则不同的排法有A
4
4
C
3
1
A
2
2
=144种．
故选B．
【点评】本题考查分 步计数原理，是一个基础题，题目中要求两个元素相邻的问题，一般把
这两个元素看成一个元素进行排列 ，注意这两个元素内部还有一个排列．

8．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋 子放在如图所示正方形ABCD（边长为3
个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的 边按逆时针方向行走的单位，
如果掷出的点数为i（i=1，2，…6），则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去．则
某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（ ）

A．22种 B．24种 C．25种 D．36种
【考点】排列、组合的实际应用．
【专题】计算题；压轴题．

【分 析】抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在
点数中三个数字能 够使得和为12的1，5，6；2，4，6；3，3，6；5，5，2；4，4，4，共
有4种组合，前 四种组合又可以排列出A
3
3
种结果，由此利用分类计数原理能得到结果．
【解答】解：由题意知正方形ABCD（边长为3个单位）的周长是12，
抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，
列举出在点数中三个 数字能够使得和为12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，
5，2；4，4， 4；共有6种组合，
前三种组合1，5，6；2，4，6；3，4，5；又可以排列出A
3< br>3
=6种结果，
3，3，6；5，5，2；有6种结果，4，4，4；有1种结果．
根据分类计数原理知共有24+1=25种结果，
故选C．
【点评】排列与组合问 题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到
不重不漏，有些题目带有一定的约束 条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．

9．A，B，C，D，E五人并排站成一排， 如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻），
那么不同的排法共有（ ）
A．24种 B．60种 C．90种 D．120种
【考点】排列、组合的实际应用．
【专题】转化思想．
【分析】根据题意，首先计算五人并排站成一排的情况数目，进而分析可 得，B站在A的
左边与B站在A的右边是等可能的，使用倍分法，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，使用倍分法，
五人并排站成一排，有A
5
5
种情况，
而其中B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，
则其情况数目是相等的，
则B站在A的右边的情况数目为×A
5
5
=60，
故选B． 【点评】本题考查排列、组合的应用，注意使用倍分法时，注意必须保证其各种情况是等可
能的．

10．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张， 要
求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（ ）
A．232 B．252 C．472 D．484
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【专题】排列组合．
【分析】不考虑特殊情况，共有
种红色卡片，共有
种取 法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两
种取法，由此可得结论．
种取法，其中每一种卡 片各取三张，有【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有
种取法，两种红色卡片，共有种取法，

故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472
故选C．
【点评】本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．

11．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有
（ ）
A．30种 B．60种 C．90种 D．150种
【考点】排列、组合的实际应用．
【专题】计算题．
【分析】根据题意，分两种情况讨论：①将5名教师分成三组，一组1人， 另两组都是2
人，②将5名教师分成三组，一组3人，另两组都是1人，由组合数公式计算可得每种情< br>况下的分配方案数目，由分类计数原理计算可得答案．
【解答】解：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，有2种情况：
① 将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有
再将3组分到3个班，共有15•A
3< br>3
=90种不同的分配方案，
②将5名教师分成三组，一组3人，另两组都是1人，有=10种分组方法，
=15种分组方法，
再将3组分到3个班，共有10•A
3
3
=60种不同的分配方案，
共有90+60=150种不同的分配方案，
故选：D．
【点评】本题考查排列、 组合的运用，注意先要根据题意要求，进行分类讨论，其次要正确
运用分组公式．

12．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中．若每个盒子放2个，
其中 标号为1，2的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有（ ）
A．12种 B．16种 C．18种 D．36种
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【专题】计算题．
【分析】根据题意，分3步分析：首先从3个盒子中选一个放标号为1，2的小球，再从剩
下的4个小 球中选两个放一个盒子，余下的2个放入最后一个盒子，由组合数公式计算每一
步的情况数目，进而由分 步计数原理得到结果．
【解答】解：先从3个盒子中选一个放标号为1，2的小球，有3种不同的选法，
再从剩下的4个小球中选两个，放一个盒子有C
4
2
=6种放法，
余下放入最后一个盒子，
∴共有3C
4
2
=18
故选C．
【点评】本题考查分步计数原理，考查平均分组问题，是一个易错题，解题的关键是 注意到
第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中，这里包含两个步骤，先平均分组，再排列．

13．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则 不同的演讲次序有
（ ）
A．240种 B．360种 C．480种 D．720种
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【专题】计算题．
【分析】直接从中间的4个演讲的位置，选1个给甲，其余全排列即可．
【解答】解：因为6 位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，甲先安
排在除开始与结尾的位置还有个选 择，剩余的元素与位置进行全排列有
=480种．
，所以甲只能
在中间的4个位置，所以不同的演讲次序有
故选C．
【点评】本题考查排列、组合以及简单的计数原理的应用，考查计算能力．

14 ．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同
的分配方案的种 数为（ ）
A．80 B．120 C．140 D．50
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【专题】计算题．
【分析】本题是一个分步 计数问题，首先选2个放到甲组，共有C
5
2
种结果，再把剩下的3
个人放到 乙和丙两个位置，每组至少一人，共有C
3
2
A
2
2
，相乘 得到结果，再表示出甲组含
有3个人时，选出三个人，剩下的两个人在两个位置排列．
【解答】解：由题意知本题是一个分步分类计数问题，
首先选2个放到甲组，共有C
5
2
=10种结果，
再把剩下的3个 人放到乙和丙两个位置，每组至少一人，共有C
3
2
A
2
2
=6种结果，
∴根据分步计数原理知共有10×6=60，
当甲中有三个人时，有C
5
3
A
2
2
=20种结果
∴共有60+20=80种结果
故选A．
【点评】本题考查排列组合及简单计数问 题，本题是一个基础题，解题时注意对于三个小组
的人数限制，先排有限制条件的位置或元素．

15．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼﹣15飞机准备 着舰．如
果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）
A．12 B．18 C．24 D．48
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【专题】计算题．
【分析】分两大步：把甲、乙看作1个元素和戊全排列，调整甲、乙，共有
再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位种，有
可得答案．
【解答】解：把甲、乙看作1个元素和戊全排列，调整甲、乙，共有种方法，
种方法，
种方法，由分步计算原理

再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位种， 有
由分步计算原理可得总的方法种数为：=24
种方法，
故选C
【点评】本题考查简单的排列组合问题，捆绑法和插空法结合是解决问题的关键，属中档题．

16．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法
共 有（ ）
A．6种 B．12种 C．30种 D．36种
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】“ 至少1门不同”包括两种情况，两门均不同和有且只有1门相同，再利用分步计数
原理，即可求得结论．
【解答】解：甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：
1、甲、乙所选的 课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有C
4
2
C
2
2
=6
种．
2、甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：① 从4门中先任选一门作为相同的
课程，有C
4
1
=4种选法；②甲从剩余的3 门中任选1门乙从最后剩余的2门中任选1门有
C
3
1
C
2
1
=6种选法，由分步计数原理此时共有C
4
1
C
3
1C
2
1
=24种．
综上，由分类计数原理，甲、所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种．
故选C．
【点评】本题考查排列组合知识，合理分类、正确分步是解题的关键．

17．两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人
输 赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）
A．10种 B．15种 C．20种 D．30种
【考点】排列、组合及简单计数问题；计数原理的应用．
【专题】计算题．
【分析 】根据分类计数原理，所有可能情形可分为三类，在每一类中可利用组合数公式计数，
最后三类求和即可 得结果
【解答】解：第一类：三局为止，共有2种情形；
第二类：四局为止，共有2×
第三类：五局为止，共有2×
=6种情形；
=12种情形；
故所有可能出现的情形共有2+6+12=20种情形
故选C < br>【点评】本题主要考查了分类和分步计数原理的运用，组合数公式的运用，分类讨论的思想
方法， 属基础题

18．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ）
A．72 B．96 C．108 D．144
【考点】排列、组合的实际应用．

【专题】计算题．
【分析】本题是一个分步计数原理，先选一个偶数字排个位 ，有3种选法，对于5要求比较
多，需要分类，若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，若5排 在百位、千位或万
位，则1、3只有两个位置可排，根据分步计数原理得到结果．
【解答】解：由题意知，本题是一个分步计数原理，
先选一个偶数字排个位，有3种选法，
①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，有A
3
2
种，然后剩下的 两个位置全排列，
共有2A
3
2
A
2
2
=24个；
②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，有A
2
2
种，然 后剩下的两个位
置全排列，共3A
2
2
A
2
2
=1 2个
根据分步计数原理知共计3（24+12）=108个
故选C
【点评】本题 考查分步计数原理，考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个数
字问题，这种问题的限制条 件比较多，注意做到不重不漏．

19．2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检 ，每校分配1名医生和2名护士．不
同的分配方法共（ ）
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【专题】分析法．
【分析】首先要分析2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生
和2名护士 ．考虑到先把一所学校分好，剩下的一所学校的人就确定了，然后求出结果即可．
【解答】解：2所学 校，每校分配1名医生和2名护士，考虑先把一所分好，剩下的一所学
校的人就确定了，
所以有2×C
4
2
=12种分法．
故选B．
【点评】此 题主要考查排列，组合简单计数问题的求法，在做此类题目要注意分析题中要求，
再作答，属于中档题目 ．

20．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开了三个班．选课结束后，有四名 选修英
语的同学要求改修数学，但数学选修每班至多可再接收两名同学，那么安排好这四名同学的
方案有（ ）
A．72种 B．54种 C．36种 D．18种
【考点】排列、组合的实际应用．
【专题】计算题．
【分析】由题意知，安排四名 同学到三个班里，每班至多可再接收两名同学，需要分类来解，
将四名同学分成三组：1，1，2；和2 ，2两种情况，首先要分组，再把分好的组排列到三个
班里．
【解答】解：由题意知有四名选修英语的同学要求改修数学，
但数学选修每班至多可再接收两名同学，需要分类来解，
将四名同学分成三组：1，1，2；和2，2两种情况
分成1，1，2安排在三个数学班中：有=36；

分成两组2，2．安排在两个班里，有=18．
∴一共有36+18=54种安排方案
故选B．
【点评】本题考查分类计数原理， 考查排列组合的实际应用，本题是一个易错题，在分组时，
本题是一个平均分组，注意不要重复出现相同 的情况．

21．甲和乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务， 每个岗位至少
有一名志愿者，则甲和乙不在同一岗位服务的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】排列、组合及简单计数问题；古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】所有的结果共有C
5
2
A
4
4
种，不满足条件的事件数A
4
4
，可得不满足条件的概率，
用1减去此概率即得所求．
【解答】解：5个人分到4个 岗位，每个岗位至少有一名志愿者共有C
5
2
A
4
4
种结果 ，
不满足条件的事件数A
4
4
，
则甲和乙不在同一岗位服务的概率为 1﹣=，
故选B．
【点评】本题主要考查古 典概型和排列组合，排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的
顺序则是排列问题，排列问题要做到不 重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先
考虑有限制条件的元素，属于中档题．

22．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两
名 学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
【考点】排列、组合的实际应用．
【专题】计算题．
【分析】由题意知本题可以先 做出所有情况再减去不合题意的结果，用间接法解四名学生中
有两名学生分在一个班的种数是C
4
2
，顺序有A
3
3
种，而甲乙被分在同一个班的有A
3< br>3
种，
两个相减得到结果．
【解答】解：∵每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班
用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C
4
2
，
元素还有一个排列，有A
3
3
种，
而甲乙被分在同一个班的有A
3
3
种，
∴满足条件的种数是C4
2
A
3
3
﹣A
3
3
=30
故选C．
【点评】本题考查排列组合的实际应用，考查利用排列组合解决实际问题，是一个基 础题，
这种题目是排列组合中经常出现的一个问题．

23．用数 字0，1，2，3组成数字可以重复的四位数，其中有且只有一个数字出现两次的四
位数的个数为（ ）
A．144 B．120 C．108 D．72
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【专题】概率与统计．
【分析】如果重复数字为0，则须要从1，2，3中选出两个，然后根 据首位不能放0，得到
个数为••
+
个，如果重复数字不为0，则根据首位不能为0， 得到个数为
，综合两个情况可得答案．
【解答】解：用数字0，1，2，3组成数字可以重复的四位数，
①如果重复数字为0，
则需要从1，2，3中再选取两个不同的数字，且0不能放在首位，
故首位应从两个非零数字 中选择一个，而另一个非零数字可从剩余的三个数位中选择一位进
行放置，
则共有：••=3×2×3=18个
②如果重复数字不为0，但抽取的数字含0，
则需要从1，2，3中先选取一个数字重复，再选取一个不重复，从后三位中选择一位放置0，
再从剩余 的三位中选择一位放置非重复数字，
故有=54种
③如果重复数字不为0，但抽取的数字不含0，
则需要从1，2，3中先选取一个数字用做重复，再选取两个用做不重复，
放置时，应先从四位中先后选择二位放置非重复数字，
故有=36种
故有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为108个
故选C
【点评】本题考查 的知识点是排列组合及简单计数问题，本题解答中一定要注意所组成的四
位数不能是0

二．填空题（共7小题）
24．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这 8张奖券分配给4个人，
每人2张，不同的获奖情况有 60 种（用数字作答）．
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【专题】排列组合．
【分析】分类讨论，一 、二、三等奖，三个人获得；一、二、三等奖，有1人获得2张，1
人获得1张．
【解答】解 ：分类讨论，一、二、三等奖，三个人获得，共有
一、二、三等奖，有1人获得2张，1人获得1张，共 有
共有24+36=60种．
=24种；
=36种，

故答案为：60．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．
25．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不
同的摆法 有 36 种．
【考点】排列、组合的实际应用；排列、组合及简单计数问题．
【专题】排列组合．
【分析】分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②除去A、B相邻又 满足A、C相邻
的情况．
【解答】解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有换位置，所以有2=48种摆法，
=12种摆法，
种方法，而A、B可交
又当 A、B相邻又满足A、C相邻，有2
故满足条件的摆法有48﹣12=36种．
故答案为：36．
【点评】本题考查分步计数原理的应用，要优先分析受到限制的元素，如本题的A、B、C．

26．某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类
课程 中各至少选一门，则不同的选法共有 30 种．（用数字作答）
【考点】组合及组合数公式．
【专题】计算题；压轴题；分类讨论．
【分析】由题意分类：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，确定选法；
（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，确定选法；然后求和即可．
【解答】解：分以 下2种情况：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C
3
1
C
4< br>2
种
不同的选法；
（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C
3
2
C
4
1
种不同的选法．
所以不同的选法共有C3
1
C
4
2
+C
3
2
C
4< br>1
=18+12=30种．
故答案为：30
【点评】本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想．

27．10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员
至多1人入 选且新队员甲不能入选的选法有 77 种．
【考点】排列及排列数公式．
【专题】计算题．
【分析】分两类，第一类，3人中有1名老队员2名新队员，第二类，3人 全部是新队员，
分别计算两类的选法种数，相加可得答案．
【解答】解：分两类，第一类，有 1名老队员2名新队员，共有
第二类，3人全部是新队员，共有=35种选法；
×=42种选法；
∴老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有42+35=77种选法，
故答案是77．

【点评】本题考查了加法计数原理与乘法计数原理，考查了组 合数公式，分类要做到不重不
漏．

28．将序号分别为1，2，3，4，5的5 张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同
一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 96 ．
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【专题】排列组合．
【分析】求 出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号
的组数，然后分给4人排 列即可．
【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，
2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种．
故答案为：96．
【点评】本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的 关键，考查分析
问题解决问题的能力．

29．从10名男同学，6名女同学中选 3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学
又有女同学的不同选法共有 420 种（用数字作答）
【考点】组合及组合数公式．
【专题】计算题；分类讨论．
【 分析】由题意分类：①男同学选1人，女同学中选2人，确定选法；②男同学选2人，
女同学中选1人， 确定选法；然后求和即可．
【解答】解：由题意共有两类不同选法，①男同学选1人，女同学中选2人 ，不同选法
C
10
1
C
6
2
=150；
②男同学选2人，女同学中选1人，不同选法C
10
2
C
6
1
=270；
共有：C
10
1
C
6
2
+C
10
2
C
6
1
=150+270=420
故答案为：420
【点评】本题考查组合及组合数公式，考查分类讨论思想，是基础题．

30．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 480 种．（用数字作答）
【考点】排列、组合及简单计数问题；分步乘法计数原理．
【专题】计算题．
【分析】排列好甲、乙两人外的4人，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可．
【解 答】解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的
4人，有中方法，
种方法， 然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有
所以共有：=480．
故答案为：480．
【点评】本题考查了乘法原理，以及排列的简单应用，插空法解答不相邻问题．