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数学教学论文





题目：
解排列组合题的常用方法




新疆农十师北屯高级中学数学组（836000）




魏振国


电话：


2013年7月2日
注:八月份出刊，评职称用，谢谢！

解排列组合题的常用方法
新疆农十师北屯高级中学数学组 魏振国

摘 要：排列组合在高中是非常重要的知识点，也是难点.本文主要是通过一些简单的例题来归纳总结解决排列组合问题的常用方法与技巧.
关键词： 排列 组合
排列组合是重要的知识点,也是难点之一.学生在解决这类题时常常感到束
手无策或发生“重复 ”、 “遗漏”的错误.本文从一些简单例题出发归纳出解决
这类问题的几种方法.
一、 直接解法
把符合条件的排列数直接列成算式计算.
例1 由1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字且比40000小的五位
数？
分析：据题 意，所求的五位数的首位只能是1，2，3，中的某一个，其他任
一数位上的数字可以是余下的4个数字 中的人一个.
14
A
4
72.


符合条件的排列数为
A
3

二、 排除法
先求出不考虑限制条件的排列，然后减去不符合条件的排列数.
例2 由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位
数.求这种五位数的个数. < br>分析：不考虑限制条件，由1，2，3，4，5可组成没有重复数字的五位数
A
5
5
42
A
2
个；其中1与2相邻的五位数有
A
4
个，

符合条件的五位数有
542
A
5
A
4< br>A
2
72
个.
三、 并一法（捆绑法）
在特定要求的条 件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好
后再考虑它们“内部”的排列.它主要用于解决 相邻或不相邻的问题.
例3 五人站成一排，甲、乙相邻的站法有几种？不相邻的站法又有几种？
分析：把甲、乙二人当作一人看待时，则有排列数
A
4
4
种，二 人“内部”又
有
A
2
2
种站法.
42
A
2
48
种

甲、乙二人相邻的站法有
A
4
542
A
4
A
2
72.
从而，甲、乙不相邻的站法有
A
5
一般地，几个不同元素排成一列，要求其中某< br>m(mn)
个元素两两相临的排

nm1m
列有
A
nm1
A
n
个.
四、 插挡法（插空法）
先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空挡中，
它与并一法有同等作用.
例4 有五位同学站成一排，其中3男3女，3名男生两两不相邻的站法有
几种？
分 析：2名女生先排好，有
A
2
2
种站法，3名男生再站在两名女生之间或两头
的3个空挡中，有
A
3
3
种站法.
23
A
3
12
种.

符合条件的排列有
A
2
五、 特殊元素、位置优先安排法
对问题中的特殊元素或位置首先考虑排列，然后再排列其他一般元素或
位置.
例5 某班星期五上午要上语文、数学、音乐和教育四门课，要求音乐课不
排在第一节，数学课不排在第四节， 那么该星期五上午的课程有几种
不同的安排方法？
分析： 本题中的数学、音乐是两个特殊元 素，第一、四节课是特殊元素.
音乐课不能排在第一节，则可以排在第二、三、四节上，而第四节又是特 殊位置.
若音乐课排在第四节，则数学课便可以和其他二门课随意排列，有
A
3
3
种，若音
乐排在第二或第三节，则数学只能排在第一、第三、或第二节上，其他两门任意< br>111
A
2
A
2
安排，有排法
A
2种.
3111
A
2
A
2
A
2
14
种

共有排法
A
3
六、 分类法
将符合条件的排列分为几类，每一类的排列数较易求出，然后根据加法原
理求出排列总数.
例6 用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字且比240135
大的六位数？
解：符合条件的六位数有三类：
一类：首位是3，4或5的有
3A
5
5
个
二类：前二位是25的有
A
4
4
个
4
1
个 三类：前二位是24的有
A
4

符合条件的六位数共有
544
A
4
A
4
1407
个
3A
5
七、 集合法

将排列作为集合的元素，那么排列数就是集合的基数.
例7 五名同学站成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾的排列有几种？
，
解： 设
I

5名同学的全排列


甲在排头的排列


A

乙在排尾的排列


B

甲在排头且乙在排尾的排列

则
AB

C
I
(AB)C
I
AC
I
B

甲不在排头，乙不在排尾的排列


54
n(I)A
5
,n(A)n(B)A
4
,

3
.

n(AB)A
3

n(C
I
AC
I
B)nC
I
(AB)


n(I)n(AB)


n(I)

n(A)n(B)n(AB)


5 443
(A
4
A
4
A
3
)

A
5

78

即符合条件的排列有78种.
八、隔板法
在排列组合中，对于将不可分辨（元素相同）的球 装入到可以分辨的盒子中从而
求出装入方法数的问题，常用隔板法.
例8 求方程
XYZ10
的正整数解的个数
解：将10个球排成一排，球与球之间 形成9个空隙，将两个隔板插入这些
空隙中（每空至多插一个隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部 分的球数
分别为
X、Y、Z
之值.则隔板与解的个数之间建立了一一对应关系，故解的
个数为
C
9
2
36
个.
结束语 解决排列组 合问题时，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是
组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其 次要抓住问题的本质特征，灵活
运用基本原理和公式进行分析，同时还要注意讲究一些策略和方法技巧.