师德师风学习材料-两汤一面

一、小球放盒子问题（分组问题）
（1）6个不同的小球放到6个不同的盒子里。
解析：分步乘法计数原理，
每个小球都有六种放法
答案：6
6
。

（2）6个不同的小球放到6个不同的盒子里，要求每个盒子只能放一个小球。
解析：思路一：分步乘法计数原理，
第一个小球有6种放法
第二个小球有5种放法
……
第六个小球有1种放法
即6*5*4*3*2*1；
思路二：将小球按顺序摆放后，与不同的盒子相对应即可，即A
6
6
。
答案：720。

（3）6个不同的小球平均放到3个相同的盒子里。
解析：平均分组的问题
因为盒子相同，相当于把小球等分成三堆，设想6个小球编号为ABCDEF，
首先从6个球中选出2个，为C
2
6
；
然后从剩下的4个球中选出2个，为C
2
4
；
最后剩下2个球，为C
2
2
；
2
但是：C
2
6
取出AB球、C
4
取出CD球、剩EF球；
2
C
2
6
取出AB球、C
4
取出EF球、剩CD球；
2
C
2
6
取出CD球、C
4
取出AB球、剩EF球；
2
C
2
6
取出CD球、C
4
取出EF球、剩AB球；
2
C
2
6
取出EF球、C
4
取出AB球、剩CD球；
2
C
2
6
取出EF球、C
4
取出CD球、剩AB球；
2 2 3
得到的结果是一样的，故按照C
2
6
C
4
C
2
组合完成后还应除去A
3
，
2 2 3
答案：C
2
6
C
4
C
2
A
3


（4）6个不同的小球平均放到3个不同的盒子里。
解析：平均分组后再分配的问题
2 2 3
平均分组得到的结果为C
2
6
C
4
C
2
A
3
，分完组后三堆小球还要放到不同的 盒
子里，即再进行一个A
3
3
的排列
2 2
答案：C
2
6
C
4
C
2


（5）6个不同的小球按1、2、3的数量，分别放到3个相同的盒子里。
解析：非平均分组的问题
因为盒子相同，相当于把小球分成数量不等的三堆，
首先从6个球中选出1个，为C
1
6
；
然后从剩下的5个球中选出2个，为C
2
5
；
最后剩下3个球，为C
3
3
；
注意：因为这个问题是非平均分组，故不存在（3）中出现的重复的情况，

2 3 3
因此C
1
6
C
5
C
3
即为最后结果，不需要再除以A
3

2 3
答案：C
1
6
C
5
C
3


（6）6个不同的小球按1、2、3的数量，分别放到3个不同的盒子里。
解析：非平均分组再分配的问题
2 3
3
非平均分组得到的结果为C
1
6
C
5
C
3
A3
，分完组后三堆小球还要放到不同的
盒子里，即再进行一个A
3
3
的排列
2 3 3
答案：C
1
6
C
5
C
3
A
3


（7）6个不同的小球按1、1、1、3的数量，分别放到4个相同的盒子里。
解析：部分平均分组的问题
分成的四堆中，有三堆数量一样，设想6个小球编号为ABCDEF，
首先从6个球中选出3个，为C
3
6
；
然后从剩下的3个球中选出1个，为C
1
3
；
再从剩下的2个球中选出1个，为C
1
2
；
最后剩下1个球，为C
1
1
；
1 1
但是：C
3
6
取出ABC球、C
3
取出D球、C
2
取出E球、剩F球；
1 1
C
3
6
取出ABC球、C
3
取出D球、C
2
取出F球、剩E球；
1 1
C
3
6
取出ABC球、C
3
取出E球、C
2
取出D球、剩F球；
1 1
C
3
6
取出ABC球、C
3
取出E球、C
2
取出F球、剩D球；
1 1
C
3
6
取出ABC球、C
3
取出F球、C
2
取出D球、剩E球；
1 1
C
3
6
取出ABC球、C
3
取出F球、C
2
取出E球、剩D球；
1 1 1 3
得到的结果是一样的，故按照C
3
6
C
3
C
2
C
1
组合完成后还应除去A
3
，
1 1 1 3
答案：C
3
6
C
3
C
2
C
1
A
3


（8）6个不同的小球按1、1、1、3的数量，分别放到4个不同的盒子里。
解析：部分平均分组再分配的问题
1 1 1 3
部分平均分组得到的结果为C
3
6
C
3
C
2
C< br>1
A
3
，分完组后四堆小球还要放到不
同的盒子里，即再进行一个A
4
4
的排列
1 1 1 3 4
答案：(C
3
6
C
3
C
2
C
1
A
3
)A
4


（9）6个不同的小球按1、1、2、2的数量，分别放到4个相同的盒子里。
解析：部分平均分组再分配的问题
2 1 2 2
答案：C
2
6
C
4
C
2
（A
2
A
2
）

（10）6个不同的小球按1、1、2、2的数量，分别放到4个不同的盒子里。
解析：部分平均分组再分配的问题
2 1 2 2 4
答案：[C
2
6
C
4
C
2
（A
2
A
2
）]A
4


（11）6个不同的小球放到5个不同的盒子里，要求每个盒子至少放一个。
解析：分类讨论分组再分配的问题，首先应该确定小球个数的分配方案，5个盒
子6个球，满足每盒至少一个，那么有且只有一个盒子放2个，其他盒子
放一个；即小球按照2、1、1、1、1的数量，分别放到5个不同的盒子中。
1 1 1 1 4 6
答案：（C
2
6
C
4
C
3
C
2
C
1
A
4
）A
6

（12）6个不同的小球放到3个不同的盒子里，要求每个盒子至少放一个。
解析：分类讨论分组再分配的问题，首先应该确定小球个数的分配方案：
1 4 2 3
1 1 4，部分平均分组再分配的问题：（C
1
6
C
5
C
4
A
2
)A
3

2 3 3
1 2 3，非平均分组再分配的问题的问题：C
1
6
C
5
C
3
A
3

2 2
2 2 2，完全平均分组再分配的问题：C
2
6
C
4
C
2

1 4 2 3 1 2 3 3 2 2 2
答案：（C
1
6
C
5
C
4
A
2
)A
3
+C
6
C
5
C
3
A
3
+C
6
C
4
C
2

（13）6个相同的小球放到3个不同的盒子里，要求每个盒子至少放一个。
解析：思路一：首先应该确定小球个数的分配方案，再分类讨论：
1 1 4，小球相同小盒不同，只需选出一个盒子装4个小球：C
1
3

1 2 3，3堆不同数量的小球，排序后往3个不同的盒子里装：A
3
3

2 2 2，每个盒子装2个小球，只有一种方案：1
思路二：隔板法
__ __ __ __ __
相当于在6个小球之间放2个板儿
第一个板儿左侧的球放第一个盒子里
两个板儿中间的球放第二个盒子里
第二个板儿右侧的球放第三个盒子里
3
答案：C
1
3
+A
3
+1

（14）6个不同的小球放到3个相同的盒子里，要求每个盒子至少放一个。
解析：分类讨论分组的问题，首先应该确定小球个数的分配方案：
1 4 2
1 1 4，部分平均分组的问题：C
1
6
C
5
C
4
A
2

2 3
1 2 3，非平均分组的问题：C
1
6
C
5
C
3

2 2 3
2 2 2，平均分组的问题：C
2
6
C
4
C
2
A
3

1 4 2 1 2 3 2 2 2 3
答案：C
1
6
C
5
C
4
A
2
+C
6
C
5
C3
+C
6
C
4
C
2
A
3


（15）6个相同的小球放到3个相同的盒子里，要求每个盒子至少放一个。
解析：首先应该确定小球个数的分配方案：
1 1 4 1 2 3 2 2 2
因为盒子没有区别，随便放，则小球的分配方案就是最后的方案
答案：3

二、排列的捆绑法
（1）6个座位坐6个人，要求甲乙丙3个人必须相邻；
解析：将甲乙丙三个人捆绑为一个元素，与另外三个人进行排列A
4
4
，然后对甲乙
丙松绑A
3
3
。

甲 乙 丙
人
人
人

3
答案：A
4
4
A
3

（2）6个座位坐甲乙丙3个人，要求3个人必须相邻；
解析：将甲乙丙三个人捆绑为一个元素，与三个空位进行排列A
1
4
，然后对甲乙丙
松绑A
3
3
。

甲 乙 丙
空位 空位
空位

3
答案：A
1
4
A
3


（3）6个座位坐3个人，要求3个空位相邻；
解析：将三个空位捆绑为一个元素，与三个人进行排列A
4
4
。


人
空位 空位 空位
人
人

注意：空位不用进行松绑。
答案：A
4
4


三、排列的插空法
（1）6个座位坐6个人，要求甲乙丙3个人不相邻；
3 3 3
解析：先排另外的三个人A
3
。
3
，再将甲乙丙进行插空排列A
4
（C
4
A
3
）

人 人 人
________ ________ ________ ________
3
答案：A
3
3
A
4


（2）6个座位坐甲乙丙3个人，要求这3个人都不相邻；
解析：只需将空座位摆上，甲乙丙进行插空排列A
3
4
即可

空位

空位
________
空位
________ ________ ________
答案：A
3
4


（3）6个座位坐3个人，要求这3个空位都不相邻；
3
解析：先排三个人A
3
3
，再将空位进行插空C
4


人 人
人
________ ________ ________ ________
注意：空位插空时只选不排，因此不是A
3
4

3
答案：A
3
3
C
4


四、捆绑法和插空法相结合
（1）6个座位坐6个人，甲乙相邻，丙与甲乙都不相邻；
2 2
解析：先排三个人A
3
3
，甲乙整体捆绑后和丙进行插空A
4
，再将甲乙松绑A
2


人 人 人
________ ________ ________ ________
2 2
答案：A
3
3
A
4
A
2


（2）6个座位坐3个人，要求甲乙相邻，丙与甲乙都不相邻；
2
解析：需将空座位摆上，甲乙整体捆绑后和丙进行插空A
2
4
，再将甲乙松绑A
2


空位

空位
________
空位
________ ________ ________
2
答案：A
2
4
A
2


（3）6个座位坐3个人，要求两个空位相邻，另一个空位不相邻；

2
解析：先排三个人A
3
3
，再将空位进行插空A
4


人 人
人
________ ________ ________ ________
注意：空位不用松绑
2
答案：A
3
3
A
4


五、两类人和多面手的问题
（1）11个人中5人会唱，6人会跳，从中选出6个人去参加晚会。
解析：选出去6个人没有任何限制，从11个人中任意选择即可
0 6 1 5 2 4 3 3 4 2 5 1
C
6
11
=C
5C
6
+C
5
C
6
+C
5
C
6
+C
5
C
6
+C
5
C
6
+C5
C
6

答案：C
6
11


（2）11个人中5人会唱，6人会跳，从中选出6个人去参加晚会，会唱和会跳的都不少
于两个人。
解析：分类讨论，确定会唱和会跳的人数的可能情况
2人唱4人跳 3人唱3人跳 4人唱2人跳
4 3 3 4 2
C
2
5
C
6
+C
5
C
6
+C< br>5
C
6

4 3 3 4 2
答案：C
2
5
C
6
+C
5
C
6
+C
5
C
6


（3）11个人中4人会唱，5人会跳，还有2个既会唱又会跳，从中选出3个会唱3个会
跳的去参加晚会。
解析：有多面手参与，分类讨论
3
没有多面手参与的情况：C
3
4
C
5

有一个多面手参与的情况：先用C
1
2
选出被选中的多面手，
2 3
多面手唱：C
1
2
C
4
C
5

3 2
多面手跳：C
1
2
C
4
C
5

有两个多面手参与的情况
3
两个多面手都唱：C
1
4
C
5

1
两个多面手都跳：C
3
4
C
5

2 2
多面手一个唱一个跳：C
2
4
C
5
A
2

3 1 2 3 1 3 2 1 3 3 1 2 2 2
答案：C
3
4
C
5
+（C
2
C
4C
5
+C
2
C
4
C
5
）+（C
4
C
5
+C
4
C
5
+C
4
C< br>5
A
2
）

（4）将8名医护人员（3医生、5护士）分配到甲乙两所医院，有多少种方案？
解析：思路一：每个人都有两种分配方法，用分步乘法计数原理：2
8

1 2 3 4 5 6 7 8
思路二：用分组的思想：C
0
8
+C
8
+C
8
+C
8
+C
8
+C
8
+C
8
+C
8
+C
8

C
0
8
代表将0个人分配到医院甲，8个人分配到医院乙；
C
1
8
代表将1个人分配到医院甲，7个人分配到医院乙；
C
2
8
代表将2个人分配到医院甲，6个人分配到医院乙；
C
3
8
代表将3个人分配到医院甲，5个人分配到医院乙；
C
4
8
代表将4个人分配到医院甲，4个人分配到医院乙；
C
5
8
代表将5个人分配到医院甲，3个人分配到医院乙；
C
6
8
代表将6个人分配到医院甲，2个人分配到医院乙；
C
7
8
代表将7个人分配到医院甲，1个人分配到医院乙；
C
8
8
代表将8个人分配到医院甲，0个人分配到医院乙；

注意：连接思路一和思路二的桥梁正是二项式定理，而思路而又能拆解成如下形
式，想一想为什么。
8
1 2 3 4 5 6 7 8
2
8
=（1+1）=C
0
8
+C< br>8
+C
8
+C
8
+C
8
+C
8+C
8
+C
8
+C
8
。
0 0
C
0
8
=C
3
C
5
；
0 1 1 0
C
1
8
=C
3
C
5
+C
3
C
5
；
0 2 1 1 2 0
C
2
8
=C
3
C
5
+C
3
C< br>5
+C
3
C
5
；
0 3 1 2 2 1 3 0
C
3
8
=C
3
C
5
+C
3
C
5
+C
3
C
5
+C
3
C
5
；
0 4 1 3 2 2 3 1
C
4
8
=C
3
C
5
+C
3
C< br>5
+C
3
C
5
+C
3
C
5
；
0 5 1 4 2 3 3 2
C
5 8
=C
3
C
5
+C
3
C
5
+ C
3
C
5
+C
3
C
5
；
1 5 2 4 3 3
C
6
8
=C3
C
5
+C
3
C
5
+C
3
C
5
；
2 5 3 4
C
7
8
=C
3
C
5
+C
3
C
5
；
3 5
C
8
8
=C
3
C
5
。
答案：2
8

六、隔板法
（1）6本相同的书放到4个不同的盒子中，每个盒子至少放一本书
解析：先把6本书并排成一排，它们之间有5个空，在5个空中选出3个空放3
个板。6本书自动被隔成了四组，对应着四个盒子放入即可。
注意：经典隔板法的条件是：对相同元素进行分组；每组至少含有一个元素。
答案：C
3
5


（2）10本相同的书放到4个不同的盒子中，每个盒子至少放两本书
解析：思路一：10本书拿出4本来，分别放到4个盒子中，就变成了问题（1）
思路二：分类讨论，首先确定书的数量的分法
2 2 2 4 C
1
4
选出一个盒子放4本书
2 3 3 2 C
2
4
选出两个盒子放3本书
2 1
答案：C
3
5
=C
4
+C
4


（3）X+Y+Z=10，X、Y、Z属于正整数
（4）X+Y+Z=10，X、Y、Z属于正整数，且X≥2，Y≥2，Z≥2。
（5）X+Y+Z=10，X、Y、Z属于非负整数