有关排队问题的排列组合题解法举例
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有关排队问题的排列组合题解法举例
例1:三个女生和五个男生排成一排
(1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法?
(2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法?
(3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法?
(4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法?
解:(1)(捆绑法)
因
为三个女生必须排在一起,所以可以先把她们看成一个整体,这样同五
个男生合一起共有六个元素,然成
一排有种不同排法.对于其中的每一种排
法,三个女生之间又都有对种不同的排法,因此共有种不同的排
法.
(2)(插空法)
要保证女生全分开,可先把五个男生排好,每两个相邻的男生之间留
出一
个空档.这样共有4个空档,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有六个位
置,再把三个
女生插入这六个位置中,只要保证每个位置至多插入一个女生,
就能保证任意两个女生都不相邻.由于五
个男生排成一排有种不同排法,对于
其中任意一种排法,从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都
有种方
法,因此共有种不同的排法.
(3)解法1:(位置分析法)
因为两端不能
排女生,所以两端只能挑选5个男生中的2个,有种不同的
排法,对于其中的任意一种排法,其余六位都
有种排法,所以共有种不同的排
法.
解法2:(间接法)
3个女生和5个男生排成
一排共有种不同的排法,从中扣除女生排在首位的
种排法和女生排在末位的种排法,但这样两端都是女生
的排法在扣除女生排在
1 9
首位的情况时被扣去
一次,在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次,所以
还需加一次回来,由于两端都是女生有种不同的
排法,所以共有种不同的排
法.
解法3:(元素分析法)
从中间6个位置中挑选出
3个来让3个女生排入,有种不同的排法,对于
其中的任意一种排活,其余5个位置又都有种不同的排法
,所以共有种不同的
排法,
(4)解法1:
因为只要求两端不都排女生,所以如果首位排了男生,则未位就不再受条
件限制了,
这样可有种不同的排法;如果首位排女生,有种排法,这时末位就只能排
男生,有种排法,首末两端任意
排定一种情况后,其余6位都有种不同的排
法,这样可有种不同排法.因此共有种不同的排法.
解法2:
3个女生和5个男生排成一排有种排法,从中扣去两端都是女生排法种,就
能得到两端不都是女生的排法种数.
因此共有种不同的排法.
说明:解决排列、组合应用问
题最常用也是最基本的方法是位置分析法和
元素分析法.若以位置为主,需先满足特殊位置的要求,再处
理其它位置,有
两个以上约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件.
若以元素为主,需先满足特殊元素要求再处理其它的元素.
间接法有的也称做排除法或排异法
,有时用这种方法解决问题来得简单、
明快.捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法,要认真搞
清在什么条
件下使用.例27名同学排队照相.
(1)若分成两排照,前排3人,后排4人,有多少种不同的排法?
2 9
(2)若排成两排照,前排3人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在
后排,有多少种不同的排法?
(3)若排成一排照,甲、乙、丙三人必须相邻,有多少种不同的排法?
3名女生,
(4)若排成一排照,7人中有4名男生,女生不能相邻,有多少种不面的排
法?
3
分析:(1)可分两步完成:第一步,从7人中选出3人排在前排,有A
7种排法;第二步,347
剩下的4人排在后排,有A
4种排法,故一共有A
7种排法.事实上排两排与排成
4A
7
7
一排一样,只不过把第4~7个位子看成第二排而已,排法总数都是A
7,相当于7个人的4
全排列.(2)优先安排甲、乙.(3)用“捆绑法”.(4)用“插空法”.
解:(1)A
7A
4A
75040种.
3 9
A
1
(2)第一步安排甲,有A
3种排法;第二步安排乙,有A
4种排法;第三步余下的5人排在5
剩下的5个位置上,有A
5种排法,由分步计数原理得,符合要求的排法共有115
A
3A
4A
51440种.1
347
(3)第一步,将甲、乙、丙视为一个元素,有其余4个元素排成一排,即看
成5个元素的53
全排列问题,有A
5种排法;第二步,甲、乙、丙三人内部全排列,有A
3种排法.由分步计53
数原理得,共有A
5A
3720种排法.
4
(4)第一步,4名男生全排列,有A
4 9
4种排法;第二步,女生插空,即将3名女生插入4名3
男生之间的5个空位,这样可保证女生不相邻,易知有A
5种插入方法.由分步计数原理得,43
符合条件的排法共有:A
4A
51440种.
说明:
(1)相邻问题用“捆绑法”,即把若干个相邻的特殊元素
“捆绑”为一个“大元
素”,与其他普通元素全排列;最后再“松绑”,将这些特殊元素进行全排列.
(2)不相邻问题用“插空法”,即先安排好没有限制条件的元素,然后再将有
限制条件的元素
按要求插入排好的元素之间.
例3八个人分两排坐,每排四人,限定甲必须坐在前排,乙、丙必须坐在
同一排,共有多少种安排办法?
解法1:可分为“乙、丙坐在前排,甲坐在前排的八人坐法”
和“乙、丙在后
排,甲坐在前排的八人坐法”两类情况.应当使用加法原理,在每类情况下,划
分“乙丙坐下”、“甲坐下”;“其他五人坐下”三个步骤,又要用到分步计数原理,
这样可有如下算法
:215215
A
4A
2A
5A
4A
4A
5 9
58640(种).
解法2:采取“总方法数减去不命题意的所有方法数”的算法.把“甲坐在第
一排的八
17
人坐法数”看成“总方法数”,这个数目是A
4.在这种前提下,不合题意的方法是“甲
7
11115
坐第一排,且乙、丙坐两排的八人坐法.”这个数目是A
4.其中第一个因数
2A
3A
4A
5
111
表示甲坐在第一排的方法数,C
2表示从乙、丙中任选出一人的办法数,A
3表示把选出A
4
的这个人安排在第一排的方法数,下一个A
4则表示乙、丙中沿未安排的那个人坐在第二排5
C
A
6 9
的方法数,A
5就是其他五人的坐法数,于是总的方法数为
1711115
A
4A
7A
4C
2A
3A
4A
5
1
例4一条长椅上有7个座位,4人坐,要求3个空位中,有2个空位相邻,
另一个空位与2个相邻空位不
相邻,共有几种坐法?
分析:对于空位,我们可以当成特殊元素对待,设空座梯形依次编号为1、2、3、4、5、6、7.先选定两个空位,可以在1、2号位,也可以在2、3号位„
共有六种2
号,则另一空位可以在4、可能,再安排另一空位,此时需看到,如
果空位在1、5、6、7号7号位,
亦如此.如果相邻空位在2、3号位,另一空
位可位,有4种可能,相邻空位在6、
4号,4
、5号,5、6号亦如此,所以必以在5、6、7号位,只有3种可
能,相邻空位在3、
须就
两相邻空位的位置进行分类.本题的另一考虑是,对于两相邻空位可
以用合并法看成一个元素与另一空位
插入已坐人的4个座位之间,用插空法处
理它们的不相邻.
8640(种).
7
9
解答一:就两相邻空位的位置分类:
4
2或6、7,共有24A
4
若两相邻空位在1、
4
3,3、4,4、5或5、6,共有43A
4
若两相邻空位在2、
192288480(种).
解答二:先排好4个人,然后把两空位与另一空位插入坐好的4人之间,
共有42
A
4A
5480(种)不同坐法.
288(种)不同坐法,所以所有坐法总数为
192(种)坐法.
解答三:本题还可采用间接法,逆向考虑在所有坐法中去掉3个空位全不
相邻或全部相4
邻的情况,4个人任意坐到7个座位上,共有A
7种坐法,三个空位全相邻可以用合并法,
5
直接将三个空位看成一个元素与其它座位一起排列,共有A
8 9
5种不同方法.三个空位全不相邻仍用插空法,但三个空位不须排
列,直接
插入4个人的5个间隔中,有A
410种不同方454
法,所以,所有满足条件的不同坐法种数为A
7A
510A
4480(种).
4
9 9