主持与播音-树木图片

有关排列组合的常用解题技巧

排列组合问题是高考必考题，它联系实际 生动有趣，但题型多样，思路灵活，不
易掌握，实践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、 熟练运用，本文介绍
十二类典型排列组合题的解答策略．
1．相邻问题捆绑法
题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．
【例1】A、B、C、D 、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右
边，那么不同的排法种数有[ ]
A．60种 B．48种 C．36种 D．24种
分析 把A 、B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于
4
人全排列，P
4
＝24 种，故选D．

2．不相邻问题插空法
元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要 求的几个元素全排列，再把规定相离的
几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．
【例2】七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是
[ ]
A．1440 B．3600
C．4820 D．4800
分析 除甲、乙外， 其余5个排列数为P
5
种，再用甲、乙去插
6个空位有P
6
种，不同 排法种数是P
5
P
6
＝3600种，故选B．
252
54

3．多排问题单排法
把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理．
【例3】6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是[ ]
A．36 B．120
C．720 D．1440．
分析 前后两排可看成一排 的两段，因此本题可视为6个不同元素
排成一排，共P
6
＝720种，故选C．

6
【例4】8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前
排，某 1个元素要排在后排，有多少种排法？
分析 看成一排，某2个元素在前半段四个位置中 选排2个，有P
4
1
2
种；某1个元素在后半段四个位置中选一个，有P4
种；其余5个元素任

排在剩余的5个位置上有P
5
种，故共 有P
4
P
4
P
5
＝5760种排法．
51254．定序问题倍缩法（标号排位问题分步法）
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．
（把元素排到指定号 码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个
元素，如此继续下去，依次即可完成．）
【例5】A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果 B必须站A的右边(A、B可
不相邻)，那么不同的排法种数有[ ]

A．24种 B．60种
C．90种 D．120种
分析 B在A右边与B在A左边排法数相同，所以题设的排法只是

【例6】将数字1，2，3，4填 入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，
则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 [ ]
A．6种 B．9种
C．11种 D．23种
分析 先把1填入 方格，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字
填入其它三个方格，又有三种方法；第三 步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3
×3×1＝9种填法，故选B．
5．定位问题优先法
某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素．
【例7】1 名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同
的排法有________种．
分析 老师在中间三个位置上选一个位置，有P
3
种；然后4名同学
在其余 4个位置上有P
4
种，共P
3
P
4
＝72种．
41 4
1
5个元素全排列数的一半，即
1
2
P
5
＝60 种，故选B．
5

6．有序分配问题分步法
有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法．
【例8】有甲、乙、丙三 项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中
选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有[ ]
A．1260种 B．2025种
C．2520种 D．5040种
分析 先从10人中选出2个承担甲项任务，再从剩下8个中选1人承担乙项任务，
第三步从另外7人中选1个 承担两项任务，不同的选
法共有C
10
C
8
C
7
＝ 2520种，故选C．

111
7．多元问题分类法
元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，
最后总计．
【例9】由数字 0，1，2，3，4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字
小于十位数字的共有[ ]
A．210个 B．300个
C．464个 D．600个
分析 按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，
分别有P
5
个，P4
P
3
P
3
个、P
3
P
3
P
3
个、P
2
P
3
P
3
个、P
3< br>P
3
个，合并总计得300
个，故选B．
5

【例1 0】从1，2，3，„100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整
除，这两个数的取法 (不计顺序)共有多少种？
分析 被取的两个数中至少有一个能被7整除时，它们的乘积就能被7整 除，将这
100个数组成的集合视为全集Ⅰ，能被7整除的数的集合记作A，则A＝｛7，14，„98 ｝

共有14个元素，不能被7整除
的数的集合A{1，2，„99，100 }共有86个元素．由此可知，从A中任
取两数的取法，共有C
14
种；从A中任取一 个数又从A中任取一个数的取

法，共有C
14
C
86
种， 两种情形共得符合要求的取法有C
14
C
14
C
86
1 295
11211
2
【例11】从1，2，„100这100个数中，任取两个数，使 其和能被4整除的取法(不
计顺序)有多少？
分析 将Ⅰ＝｛1，2，„，100｝分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A＝
｛4，8，„， 100 ｝；被4除余1的数集B＝｛1，5，„，97｝；被4除余2的数集为C
＝｛2，6，„98｝；被4 除余3的数集为D＝｛3，7，„99｝，易见这四个集合，每一个
都含25个元素；从A中任取两个数 符合要求；从B、D中各取一个数的取法也符合要
求；从C中任取两个数的取法同样符合要求；此外其它 取法都
不符合要求．由此即可得符合要求的取法共有C
2
25
+C
1
25
C
1
25
+C
2
25
(种)．
8．交叉问题集合法
某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式 n(A∪B)＝n(A)
＋n(B)－n(A∩B)
【例 12】从6名运动员中选出4个参 加4×100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙
不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？
分析 设全集Ⅰ＝｛6人中任取4人参赛的排列｝，A＝｛甲第一棒的排列｝，B＝｛乙
跑第四棒的排列｝，根 据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：
n(Ⅰ)－n(A)－ n(B)＋n(A∩B)＝P6
P
5
P
5
P
4
＝252(种)．
4332
9．至少（多）问题间接法
关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便．
【例13】从4台甲型和5台乙型电视机中任 取出3台，其中至少要甲型和乙型电
视机各一台，则不同取法共有[ ]
A．140种 B．80种
C．70种 D．35种
分析 逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取
另一种型号的电视机，故不同取法共有C< br>3
9
C
3
4
C
5
＝70种．故选C．< br>
3
10．选排问题先取后排法
从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法．
【例14】 四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放
法共有________种
分析 先取四个球中的二个为一组，另二组各一个球的方法有C
4
种；再排：在四个 盒中每次排三个有P
4
种，故共有C
4
C
4
＝144种．< br>323
2

【例15】9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混 合双打训练，有
多少种不同分组法？
分析 先取男、女运动员各二名，有C
5C
4
种；这四名运动员混双练
习有P
2
种排法，故共有C
5
C
4
P
2
种分组法．
2
222
22< br>

11．局部与整体问题排除法
在选取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求．
【例16】以一个正方体顶点为顶点的四面体共有[ ]
A．70个 B．64个
C．58个 D．52个
分析 正方体8个顶点，从中每次取四点，理论上可构成C
8
个四
4
面
体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体 ，所
以四面体实际共有C
8
－12＝58个，故选 C．

4
【例17】正六边形中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有________
个．
分析 7个点中取三点的取法有C
7
种，但有三组三点共线不能构成三
角形 ，故所求三角形C
7
－3＝32个．
3
3

12．复杂问题转化法
对于一些生疏问题或直接求解较为复杂或较为困难问题，从正面入手情 况较多，不易解
决，这时可从反面入手，将其转化为一个简单问题来处理。
【例18】马路上 有8只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关
掉，但不能同时关掉相邻的两只或三 只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共
有多少种？
分析： 关掉第1只灯的 方法有6种，关第二只，第三只时需分类讨论，十分复杂。若
从反面入手考虑，每一种关灯的方法对应着 一种满足题设条件的亮灯与关灯的排列，于是问
题转化为“在5只亮灯的6个空中插入3只暗灯”的问题 。故关灯方法种数为
C
6
。

3