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高中数学轻松搞定排列组合难)
含答案(题二十一种方法．




高考数学轻松搞定 排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系
实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排
列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排
列与组 合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的
方法来处理。
教学目标

能运用解题策

1.进一 步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
略解决简单的综合应用掌握解决排列组合问题的常用策略; 2. 题。
提高学生解决问题分析问题的能力. 学会应用数学思想和方法解决
排列组合问题3. 复习巩固)
加法原理1.分类计数原理( 2种不同的方法，在第完成一件事，有类
办法，在第1类办法中有
mn
1
种不 同的方法，类办法中有类办法中有
种不同的方法，…，在第
mmn
n2
那么完成这件事共有
2
种不同的方
法． 分步计数原理（乘法原理）2.2种不同的 方法，做第个步骤，
做第1步有完成一件事，需要分成
mn
1
种不同的方法， 那么完成这件
步有步有种不同的方法，…，做第
mmn
n2
事共有
2
种不同的方法． 分
类计数原理分步计数原理区别3. 分类计数原理方法相互独立，任何

一种方法都可以独立地完成这件事。
不能完每步中的方法完成事件的一个阶段，分步计数原理各步相互依
存， 成整个事件．: 解决排列组合综合性问题的一般过程如下 1.
认真审题弄清要做什么事或是分步与分类同时即采取分步 还是分
类,2.怎样做才能完成所要做的事, ,确定分多少步及多少类。进行元
素总数是,无 序)问题确定每一步或每一类是排列问题3.(有序)还是
组合(.
多少及取出多少个元素 因此必须掌握一些常用的解往往类与步交叉，
4.解决排列组合综合性问题， 题策略 .特殊元素和特殊位置优先策
略一.
可以组成多少个没有重复数字五位奇数1.例由0,1 ,2,3,4,5以免不
合要求的元素占了这应该优先安排,,解:由于末位和首位有特殊要求

2

131

CAC

344．


.
两个位置 先排末位共有
1
C
3
然后排首位共有
1
C
4
最后排其
它位置共有
3
A
4
由分步计数原理得
311
C288CA?
434

位置分析法和元素分析法是解决排列组合
问题
需若以元素分析为常用也是最基本的方


若两种葵花不种在中间，也不种不同的花种在排成一列的花盆里,练
习题:7 种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？相邻元素捆绑策
略 二.例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种
不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体 并看成一个复合元素，同时丙丁也
看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进< br>行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法
225
480AAA?
22

要求某几个元素必须排在一起的问可以


练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的
情形的不同种数为 20

三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个 独唱,舞蹈节目不能
连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个 相声和3个独唱共有种，第二步将4舞
蹈插
5
A
5
入第一步排好的6 个元素中间包含首尾两个空位共有种不同
的方法,
4
A
6
由分步计数 原理,节目的不同顺序共有 种
54
AA
65

元
素相离问题可先把没有位置要求的元素

练习题：某班新年联欢会原定的 5个节目已排成节目单，开演前又增
加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节
目不相邻，那么不同插法的种数为 30
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

3


可先把这几个元素与其:(解倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列
问题,然后用 总排列数除以这几个元素之间的他元素一起进行排列,
全排列数,则共有不同排法种数是：
73
AA
37
种方法，其7把椅子让除甲
乙丙以外的四人就坐共有空位法)设 想有 (
4
A
7
种方法。 1余的三

个位置甲乙丙共有种坐法，则共有
4
A
7


?
: 思考可以先让甲乙丙就坐吗四人依次插入共再把其余4
共有)先排甲乙丙三个人,1种排法, （插入法

方法有
定


要求从左至右身高逐渐,排成前后排，每排5人,:10练习题人身高各
不相等 增加，共有多少排法？
5
C
10
重排问题求幂策略五. ,
共有多少种不同的分法7例5.把6名实习生分配到个车间实习把第
二名.:解:完成此事共 分六步把第一名实习生分配到车间有 7 种分
法种不同种分依此类推实习生分配到车间也有7,由分步计数原理共

有
6
7
的排法
允许重复的排列问题的特点是以元
素为研究对象，

元素不受位置的约束，可以
逐一安排各个元素的位

练习题：开演前又增加了两个个节目已排成节目单， 某班新年联欢
会原定的5．1 42 新节目. 如果将这两个节目插入原节目单中，那
么不同插法的种数为下电梯,,某8层大楼一楼电梯上来8名乘客 人他
们到各自的一层下电梯2.
的方法
8
7
环排问题线排策略六.?
共有多少种坐法人围桌而坐,例6. 8解：围桌而坐与坐成一排的不同
点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定）！！种排法即一人 并 从
此位置把圆形展成直线其余人共有（8-17
4
7A
4
CDBAE CADHEFGABFHG

一般
地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种


排法.如果从n个不同元素中取出m个元素
作圆形
4





120 6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈练习题： .多排问题
直排策略七 共有多少排法每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,例
7.8人排成前后两排,

个8人坐8可以把椅子排成一排.把椅子,解:8人排 前后两排,相当于
其余的,再排后4个位置上的特殊元素丙有种种特殊元素有,
12
A A
44
种
种个位置上任意排列有,则共有55人在
5215
AAA
A
544
后 排前 排


元素分成多排的排列问一般地,


2人就座规12练习题：有两排座位 ，前排个座位，现安排11个座位，
后排定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不
同排法的种数是 346
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共
有多少不同的装法.

解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法.再把4个 元
2
C
5
素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有种方法，根据分4
A
4
步
计数原理装球的方法共有
42
AC
4
先选后排是最基本解决
排列组合混合问
练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成
四种不同的任务,每人完成一种 任务,且正副班长有且只有1人参加,
则不同的选法有 192 种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数 其中恰有两个偶数夹
1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？
解：把１,５,２, ４当作一个小集团与３排队共有种排法，再排小
2
A
2
集团内部共有种排法， 由分步计数原理共有种排法.
22222
AAA
AA
22222

1

小集团排列问题中，先整体后局
5


练习题：排成一５幅国画, ,1幅水彩画４幅油画,.１计划展出10
幅不同的画,其中品 种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，
要求同一行陈列,
那么共有陈列方式的种数为
245
AAA
452
男生相邻,女生也相邻的排法有
种2. 5男生和５女生站成一排照像,
255
AAA

525
元素相同问题隔板策略十. ,有多少种分配方案？有例10.10个< br>运动员名额，分给7个班，每班至少一个个名额没有差别，把它们排
成一排。相邻名额之间形成９ 个10 解：因为空隙。在９个空档中
选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对 种分法。应地 分给７
个班级，每一种插板方法对应一种分法共有
6
C
9


mn个相同的元素分成，m为正整
数）,将（n


块隔板，m-1,可以用插入n每份至少一个元
素

七一六二班班班班

份
练习题： 每盒至少一有多少装法？ 个相同的球装5个盒
中,1． 10
4
C
9
2 .求这个方程组的自然数解的组数
3
100?w?x?y?z
C
103
十

一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5 ,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为
不小于10的偶数,不同的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。
这十 个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取
法有,只含有1个偶数的取法有,和为偶 数的取法共有
321
CCC
555
。再淘汰
和小于10的偶数共9种 ，符合条件的取法共有
312
CC?C
555

321
9??CCC
555

正
面直接考虑比较复,有些排列组合问题



正、副班长、团支部书记至,5,43练习题：我们班里有位同学从中任
抽人
6


少有一人在内的?
抽法有多少种 平均分组问题除法策略十二. 例12. 6本不同的书平
均分成3堆,每堆2本共有多少分法？6 解: 分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记
222
CCC
264
该分法记ABC DEF本书为，
若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF

有为(AB,CD,EF),则中还
222
CCC
26 4
有共
(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD, AB),(EF,AB,CD)有
(AB,CD,EF)一种分法,故共取种法 ,而这些分法仅是
3
A
3
种分法。
都是一种情不管它们的顺序如何,平
均分成的组,


况为均分的组数),所以分组后要一定要除
以(

2322
ACCC
3642


练习题：,一组5个队,其它两组3组4个队, 有多少分法？1 将
13个球队分成（）
2445
CCAC
24138
2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另
两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的

分组方法 （1540）
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到
该年级的两个班级且每班安
） 排2名，则不同的安排方案种数为_ _____（
2222
ACC?A90
6242
十三. 合
理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳 舞,
现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上
唱歌人员为标准进行研究
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有种,只会唱的5人
22
CC
33
种,只会唱的5人中只有2人选上中只有1人选上唱歌人员
211
CCC
543
唱
歌人员有种，由分类计数原理共有
22
CC
55
种。
2222211
?CCCCC?CC
5355343


解含有约束条件的排列组合问题，可按元素
的性




7


练习题：人中必须4人参加某个座 谈会，若这1.从4名男生和
3名女生中选出434
既有男生又有女生，则不同的选法共有号船只,3人, 2号船最多乘
22. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人人共3但小孩不能单独
乘一只船, 这能乘1人,他们任选2只船或3只船, （27）有多少乘

船方法.



本题还有如下分类标准： 以3个全能演员是否选上唱歌人员为标
准* 3个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以 2人是否选上跳舞人
员为标准*以只会跳舞的 都可经得到正确结果 .构造模型策略十四3
现要关掉其中的例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只
路灯,求满足条也不能关掉两端的2盏或3盏,2盏,盏,但不能关掉相
邻的 件的关灯方法有多少种？个不亮的灯解：把此问题当作一个排
队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3 有 种
3
C
5

一些不易理
解的排列组合题如果能转化为非常熟

人就坐，每人左右两边都有空位，那么练习题：某排共有10个座位，
若4 120）不同的坐法有多少种？（ .实际操作穷举策略十五5现将
1,2,3,4,5的五个盒子,例 15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号并
且恰好有两个球的编个球投入这五个盒子内,要求 每个盒子放一个球，
号与盒子的编号相同,有多少投法盒序号不能3种还剩下解：从5个
球中 取出2个与盒子对号有3球
2
C
5
号球3对应，利用实际操作法，
如 果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒号盒1种装法，同理35号球装号
球有只有装4号盒时，则4,5 由分步计数原理有种,,4,5时号球有
也只有1种装法
2
C2
5


435
号盒 5 43号盒号盒
对于条件比较
复杂的排列组合问题，不易用公式进




8


练习题：然后每人各拿一张别人的贺1.同一寝室4人,每人写一张
贺年卡集中起来, (9)
年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？则不同的着要求相邻
区 域不同色,现有4种可选颜色,2.给图中区域涂色, 色方法有 72
种1

4325

分解与合成策略十六.
能被多少个不同的偶数整除例16. 30030× 7 分解成质因数的乘积
形式30030=2×3×5 ×分析：先把3003013
×11个因数中任取若干个5依题意可知偶因数必先取2,再从其余 组
成乘积， 所有的偶因数为：
42135
CC??CC?C?
55555
练习:正方体 的8个顶点可
连成多少对异面直线,解：我们先从8个顶点中任取个顶点构成四体
共有体共4< br>4
58?12C?
8
每个四面体对异面直个顶点可连对异面直正方体
中
1758
分解与合成策略是排列组合问题的一种

最基本的
把一个复杂问题分解成几个小问题解题策,


.化归策略十七25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同
一行也不在同一例17.
列,不同的选法有多少种？
解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要 求3人
不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的
一行中选取1人后, 把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×
3方队中选3人的方法有再从5×5方种。
1 11
CCC
132
阵选出3×3方阵便
可解决问题.从5×5方队中选取3行 3列有选法所以从5×5方阵选
不在同一行也不在同一列的3
33
CC
55< br>选法。 人有
33111
CCCCC
35125


9



处理复杂的排列组合问题时可


以把一个问题退化成一个简要


走从A:某城市的街区由12练习题个全等的矩形区组成其中实线表示
马路，

)
(B的最短路径有多少种？到
3
35?C
7
BA
.数字 排序问题查字典策略十
八3241055六个数字可以组成多少个没有重复的比3，4，18．由0，< br>1，2，例 大的数？ 解:
12543
297??AA?AN?2A??2A
1325
数字排序问题可
用
查字典的法字典


将这些数字从,用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数
练习: 3140 个数是,第71小到大排列起来 树图策略十九.球,,经过
次传求后人相互传球,由甲开 始发球,并作为第一次传球例19．
53

______ ,则不同的传球方式有仍回到甲的手中
10N?
对于条件
比较复杂的排



）号椅号人不坐（，5号码的人与椅，其中: 练习分别编有1，2，3，
4
5,,3,4i?1,2ii
的不同坐法有多少种？
44?N
.复杂分类问题表格策略
二十．有红、黄、兰色的球 各5只,分别标有A、B、C、D20例、E五
个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则 共有多少种不
同的取法
解:
红 1 1 1 2 2 3


黄 1 2 3 1 2 1


兰 3 2 1 2 1 1


取法
2
CCCCCCCCCCCC
253535455445



10




要满足的条件,一些复杂的分类选取题



二十一：住店法策略

另一一类元素可以重复，解决“允许重复排列问题”要注意区分两
类元素：类不能重 复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素
看作“店”，再.
利用乘法原理直接求解 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人
获得，获得冠军的可能例21. . 的种数有
项冠军，故学生可重复排列，将七名学生n分析：因同一学生可以同
时夺得种住宿 法，由名“客”，每个“客”有57看作7家“店”，五
项冠军看作. 7种乘法原理得
5


小结排列组我们对有关排 列组合的几种常见的解题策略
加以复习巩固。本节课，不难发现排列组合题的通过我们平时做的练

习题，合历来是学习中的难点，特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。我们就可以选取同学们只有对
基本的解题策略熟练掌握。根据 它们的条件,我们可以将几种策略结
对于一些比较复杂的问题.,不同的技巧来解决问题合起来应用把复
杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打 下坚实
的基础。
11