熊去氧胆酸片-富士康总裁语录

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排列组合问题的求解策略
杨昌叶

求解排列组合的综合问题，一般是先选 元素（组合），后排列，按元素的性质“分类”和
按事件发生连续性过程“分步”，在计数时注意不重复 ，不遗漏。常见的解题策略有以下几种：
1. 特殊位置（或元素）优先安排
例1. 从6 人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有
一人游览，每人只游览一个 城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方
案共有（ ）
A. 300种
C. 144种






B. 240种
D. 96种
（05年福建卷）
1
解析：因为 甲、乙不去巴黎，故从其余4人选1人去巴黎有
C
4
种方法，再从剩余5人中
313
选3人去其余3市，有
A
5
种方法，所以共有方案
C
4
，故选（B）。
A
5
240
（种）

2. 合理分类与准确分步
例2. 从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7， 8，9}中各任取2个元素排
成一排（字母和数字均不能重复），每排中字母P、Q和数字0至多只出现 一个的不同排法种
数是____________（用数字作答）。
（05年浙江卷） 解析：（1）每排中只有数字0的排法有
C
9
C
3
A
4
；
（2）每排中只有字母P或Q的排法都有
C
3
C
9A
4
；
（3）每排中无数字0，字母P、Q的排法有
C
3C
9
A
4
。
所以不同的排法种数共有：
12122 24
(C
9
C
3
2C
3
C
9
 C
3
C
9
)A
4
8424

224
124
124

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3. 排列、组合混合问题先选元（组合）后排列
例3. 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共
_ ________________种（用数字作答）。
（全国高考）
2
解析：先 将4个球分成3组，每组至少1个（即必有一组为2个），分法有
C
4
种，然后
23
再将这3组球放入4个盒子中每盒最多装一组，则恰有一个空盒的放法种数为
C
4
A
4
144
（种）。

4. 正难则反、等价转化
例4. 在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的
数共有_____________个。
（05年全国卷）
解析：用排除法解决。
13
（1）总的四位数有
C
5
A
5
；
3
（2）个位数字为0的四位数有
A
5
；
12
（3）个位数字为5的四位数有
C
4
A
4
。
所以符合条件的四位数个数共有：
1312
C
5
A
5A
5
3
C
4
A
4
3006048 192

另解：直接求有
44A
4
法（想一想，为什么？）

5. 相邻问题捆绑处理
例5. 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公 共顶点的两条棱代表的化工产品放
在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一 仓库是安全的，现打
算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同放 法种数
为（ ）
2

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A. 96
C. 24










B. 48
D. 0
（05年江苏卷）
解析：在四棱锥
SABCD
中
（1）先把安全的产品捆绑在一起有2种方法
①
(SA，CD)，(SB，AD)，(SC，AB)，(SD，BC)
；
②
(SA，BC)，(SB，CD)，(SC，AD)，(SD，AB)
。
4
（2）四组产品放在4个编号不同的仓库里有
A
4
种，所以安全存放的方法 共有：
4
。
2A
4
22448
（种）
故选（B）。

6. 不相邻问题插空处理
例6. 用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的 八位数，要求1与2相邻，3与4
相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有______ __________个（用数字作答）。
（05年辽宁卷）
解析：此题是捆绑法和插空法 的综合应用问题。把相邻的两个数捆成一捆，分成四个空，
223
然后再将7与8插进空中有< br>A
4
种插法；而相邻的三捆都有
A
2
种排法，再它们之间又有
A
3
种
排序方法。
故这样的八位数共有：
22232< br>A
2
A
2
A
2
A
3
A
4< br>8612576
（个）

7. 定序问题排除处理
例7. 在7名运动员中选4名运动员组成接力队，参加
4100
接力赛，那么甲、乙两人
都 不跑中间两棒的安排方法共有多少种？
解析：先从7人中任选4人接力有
A
7
种方法，排除甲和乙跑中间棒的
2A
2
A
6
种方法，
41 3

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22
但甲、乙二人都跑中间的减了两次，故再加上二人都跑中间棒的
A
2
A
5
种方法，即
41322
A
7
2A
2
A6
A
2
A
5
400
（种）
22
另解：直接求有
A
5
A
5
法（想一想，为什么？）

8. 分排问题直接处理
例8. 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2 人就座，规定前排中间的
3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（ ）
A. 234
C. 350






B. 346
D. 363
（04年辽宁卷）
解析：在排列 问题中，站若干排与站一排一样，故一共可坐的位子有20个，2个人就座
2
方法数为
A
20
，还需排除两人左右相邻的情况，把可坐的20座位排成连续一行（一排末位B
12
与二排首位C相接），任两个座位看成一个整体，即相邻的坐法有
A
19
，但这其中包括B、
A
2
C相邻与E、F（前排中间3座的左E、右F）相邻，而这种 相邻在实际中是不相邻的，还应
2
再加上
2A
2
。
所以不同排法的种数为：
2122
A
20
A
19
A
2
2A
2
346

故选B。

9. 构造模型
例9. 6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种方法？
（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本；
（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；
（3）一人得一本，一人得二本，一人得三本；
（4）平均分给甲、乙、丙三人；

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（5）平均分成三堆。
解析：本问题中的每一小题都提出了一种类型问题，要搞清类型的归属。
1
（1）属 非均匀分组问题，先在6本书中任取一本，作为一堆，有
C
6
种取法，再从余下
23
的5本书中任取2本作为一堆，有
C
5
种取法，最后余下的3本作为一 堆有
C
3
种取法，故共
有分法：
123
C
6C
5
C
3
60
（种）
（2）属非均匀定向分配问题 ，与（1）同解，因每种分组方法仅对应一种分配方法，故
也共有分法60种。
3
（ 3）属非均匀不定向分配问题，由（1）知分成三堆有60种，但每一种分组方法又有
A
33
种不同的分配方案，故共有分法
60A
3
。
360
（种）
22
（4）属均匀定向分配问题，3个人一个一个地来取书，甲取有
C
6
种，乙再去取有
C
4
种，
2
最后余下的归丙有
C
2
种，故共有
222
C
6
C
4
C2
90
（种）
（5）属均匀分组问题，把6本不同的书分成三堆，每堆2本与 把6本不同的书分给甲、
乙、丙三，每人2本的区别在于后者相当于把6本不同的书，平均分成三堆后再 把分得的三
堆书分给甲、乙、丙三个人，因此设把6本不同的书平均分成三堆的方法有x种，由（4）知
222
把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有
C
6
C
4
C
2
种。
所以
xA
3
C
6
C
4
C
2

则x=15（种）

10. 用“树型”图处理
例10. 设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处 ，它每次可随意地跳到相邻两
个顶点之一，若在5次之内跳到D点，则停止跳动，若在5次之内不能到达 D点，则跳完5
次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法的种数是（ ）
A. 6 B. 8
3222

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C. 16 D. 26
（05年贵州）
解析：青蛙从A点开始，往相邻两个顶点B和F跳到D点的次数是相同的，又青蛙第一
次往B方向跳的跳 法可用“树型”图表示如下：

由图知有13种跳法，所以共有跳法2×13=26（种）， 故选（D），此种方法是解决数量较
小排列问题的常用方法之一，优点是把抽象变为直观。