六年级上册语文作文-来源

排列组合问题，常见解题策略
曹永玉

排列组合问题是高考的必考内 容，也是高考题中正确率最低的题目之一。
究其原因，是因为其思维方式独特，解题思路新颖，如果对题 意认识出现偏差
的话，极易出现计数中的“重复”和“遗漏”。教学中，提高学生解排列组合
题 的有效途径是将一些常见题型进行方法归类，构造模型解题， 这样有利于
学生认识模式，进而熟练应用 。本文列举了几种常见的排列组合问题的解题策
略，以期对大家有所帮助。
一、排列问题
1.某个（或某几个）元素要排在指定位置——特殊元素“优先法”。
例1. 乒乓球队的10 名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名
主力要排在第一、三、五位置，其余 7队员中选2名排在第二、四位置，那么
不同的出场安排共有多少种？

解析：3名主 力的位置确定在第一、三、五位中选，将他们优先安排，有
A
7
2
A
3
3
种可能，然后从其他队员中选2 人安排在第二、四位置，有A
7
2种排法，
因此结果有A
3
3
种。
点评：先排特殊（特殊元素或特殊位置）是解决排列问题的基本方法。
2.某个元素不排在指定位置——排除法。
例2． 5个人排队，其中甲不在排头的排法有多少？
解析1：（排除法）5人的全排列数A
5
5
，其中甲在排头的排列数A
4
4
，故甲
不在排头的排列数A5
5
--A
4
4
=96种
解析2：（特殊元素优先 法）：先从余下的4个位置中选一位置排上，甲有

A
4
1
种方 法，然后其他4个元素排在余下的四个位置A
4
4
，所以总计A
4
4
A
4
1
种排法。
解析3：（特殊元素优先法）：先从甲以外的4人 中选出一人排在特殊位置
——排头A
4
1
，然后其他四个元素排在余下的4 个位置A
4
4
，所以总计A
4
1
A
4
4< br>种
排法。
3. 相邻问题——捆绑法
例3． 4名男生和4名女生排成一排照相，要求4名女生必须相邻，有多
少种排法？
解析：4名女生 看作一个整体（捆绑），与4名男生共五个元素全排列A
5
5
，
但这4名女生 内部又有顺序A
4
4
，故A
4
4
A
5
5< br>种不同排法。
4. 小团体问题——捆绑法
例4．5人站一排，其中甲、乙之间有且只有一人的站法有多少？
解析：先从甲、乙之外的3 人中选一人，然后将甲、乙排在他的两边有
C
3
1
A
2
2< br>种方式，3人形成一个小团体，看作一个元素再与余下的2人排列有A
3
3
种。 因此共A
3
1
A
2
2
A
3
3
种不 同站法。
5. 不相邻问题——插空法
例5．要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目单， 如果舞蹈节目不排在
开头，并且任意两个舞蹈节目不排在一起，则不同的排法有多少？
解析：先将5个独唱节目排列A
5
5
，形成的6个空挡中， 从后面5个空挡
中选3个排在舞蹈节目A
5
3
，故有A
5
5
A5
3
种不同排法。
6. 定序排列问题——缩短法
例6．书架上有6本书，新买了3本书插进去，保持原来6本书的顺序不
变，有多少种排法？
解析：9本书作全排列A
9
9
，考虑到原来6本书的顺序不变，原来的每一种

排法都重复了A
6
6
次，因此有A
9
9

A
6
6
种插法。
点评：若有n 个元素参加排列， 其中有m个元素顺序是确定的，则排列
数A
n
n
A
m
m
7. 重复排列问题——住店法
例7．8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有多少？
解析：冠军不能重复给多名同学， 但同一同学可以获得多项冠军。把8
名同学看作8家店，3项冠军看作三个客，他们都住进任意一家店， 每个店都
有8种可能，因此共有8
3
种不同结果。
点评：⑴重复排列问题要 区分两类元素，一类可以重复，看作店，另一类
不能重复，看作客。则通过住店法可以顺利解决。 ⑵类似问题很多，信投箱问题，映射问题均可以通过住店法解决。如8
封信投进3个信箱，有多少不 同结果？这里8封信是客，3个信箱是店，故有
3
8
种结果。
8．多排问题——排法
例8. 9个人排3排，每排3人，有多少种不同的排法？
解析：将2、3 排的排头分别接到第1、2排的排尾， 问题转化为9人排
一排，故有A
9
9
种。
9. 标号排位问题——分步法
例9．同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿到一张 别人
的贺卡，则四张卡不同的分配方式有多少种？
解析：先将四个人标号㈠㈡㈢㈣, 各自的卡标号①②③④，转化为卡与人
不对号入座问题。第一步㈠号同学取1张①号之外的卡A
3
1
；第二步由㈠号同
学取出的那张贺卡的供卡人取，有3种取法；第三步由第二步取 出的卡的供卡

人取，只有一种取法；第四步最后1人取卡，也只有1种取法，故有3×3 ×
1=9种分配方法。
点评：从第二步起，每1步由上一步取得卡的供卡人取。
二、组合问题
1、某元素一定选上（或不选上）问题
例10．某乒乓球队9名队员 ，其中2名种子选手，现选5人参赛，种子
选手都必须在内，有多少种不同选法？
略解：C
7
3

2. 至多、至少选上几个问题——分类讨论或排除法
例11. 在200件产品中有3件次品，现从中任取5件，其中至少有2件
次品的取法有多少？
略解一（分类讨论）：C
3
2
C
197
3
+C
3< br>3
C
197
2

略解二（排除法）：C
20 0
5
—C
197
5
—C
197
4
C
3
1

3、分组（分堆）问题
① 均匀分组问题：n 个元素分成m组，每组r个元素，则分法
[C
n
r
C
r
n -- r
-----C
r
r
]A
m
m
（其中mr=n）
例12．6本书分成3堆，每堆2本，有多少分法？
解析：共C
6
2
C
4
2
C
2
2
A
3
3
=15种 分法
② 非均匀分组法
例13．6本不同书分成1本，2本，3本3堆，有多少种不同分法？
解析：先从6本中取出 1本为一堆，再从剩下的5本中取2本为第二堆，
余下的为第3堆时，故共C
6
1C
5
2
C
3
3
=60种分法。
点评：①若只有分堆，而不只是分到某一位置或某个人，则只与组合有关。

③ 要区分是否均匀分堆，均匀分堆要除以排列数A
m
m
（其中m为分成组数）
4、分配问题。
例14．12名同学平均分3组，参加制作航空模型比赛，3个教师各参加< br>一组进行指导，问有多少种分组方法？
解析一：将12名同学平均分3组，共[C12
4
C
8
4
C
4
4
A
3< br>3
]种分法，再对3名教
师按每组一人分配到各组去有A中方式，故共{[C
1 2
4
C
8
4
C
4
4
A
3
3
]}A
3
3
=34650 中分
组方法。
解析 二：先将3名教师各设为1组，再将12名学生按序平均分配到这三
个组中去，共计C
124
C
8
4
C
4
4
=34650 种分配方式。
点评：若分配中，指定分到某个特定位置或某个人，则与排列组合都有关，
一般先组合 ，后排列。即这样的分配问题可按解析一种方式先分堆，再分配。
5、相同元素的分配问题——隔板法
例15．有10个三好学生名额，分配到高三6个班级，每班至少有1个名
额，共有多少种不同 的分配方案？
解析：10个名额看作10个相同元素拍成一排，中间看作9个空档，将5
个隔 板插入9个空档，则每一种插法对应一种分配方案，共C
9
5
=126种不同分
配方案。
(此文发表在省级刊物《教育实践与研究》二零零五年第十期。)