高二数学排列组合问题的常见题型与解题策略
田垄的拼音-妈富隆说明书
排列组合问题的常见题型与解题策略
解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，
弄清楚是排列(有序)还是组合
(无序)，还是排列与组合混合问题。其次，要抓住问题的本质特征，准
确合理地利用两
个基本原则进行“分类与分步”。加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个<
br>条件：①类与类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步
解决问
题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。分类与分步是解决
排列组合问题的最基本的
思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结
合，可以是类中有步，也可以是步中有类。
以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，
防漏
防重；周密思考，用准加乘；直接间接，思路可循；先选后排，有条不紊；元素位置，
特殊先行；一题多
解，检验真伪。
（一）.两个原则：
（1）特殊元素（特殊位置）的“优先安排法” <
br>对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。多数情况下，
其特
征是某一个或几个位置不能放置某一个或某几个特殊元素。针对实际问题， 可采用“元
素优先”或
“位置优先”。
例1-1
0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？
11
解
法一：(元素优先)分两类：第一类，含0，0在个位有
A
2
4
种，0在十位
有
A
2
A
3
种；
221112
第二类，不含0，
有
A
1
2
A
3
种。 故共有（
A
4＋
A
2
A
3
）＋
A
2
A
3<
br>＝３０种。
注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。
解法二：(位置优先)分
两类：第一类，0在个位有
A
2
4
种；第二类，0不在个位，先从两
个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有
共有
种。
故
（2）排列组合混合问题------先选后排
例1-2:
有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装
法.
解:
第一步 从5个球中选出2个组成复合元共有
C
2
种方法.再把
5个元素(包含一个
4
5
A
4
复合元素)装入4个不同的盒内有
种方法
2
4
C
根据分步计数原理装球的方法共有
5
A<
br>4
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?
（二）．合理分类与准确分步
解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性
质（约束条件）进行分类，事情
的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分布层次清楚，不重不漏．
分类是高中
数学中一种重要的思想方法
例2-1 已知集合A=｛1，2，3，4，5，6
，7，8，9｝，求含有5个元素，且其中至少有两
个是偶数的子集的个数．
233241<
br>解法1：
C
4
C
5
C
4
C
5C
4
C
5
105
解题思路是：从正面考虑分类，将含5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集分为
三类：
3个奇数
2个偶数，
2个奇数
3
个偶数，
4个偶数，1个奇数
5541
解法2：
C9
C
5
C
5
C
4
105
5
解题思路是：从反面考虑，全部子集个数为
C
9
，减去不符合条件的两
类：
全部5个都是奇数
1个偶数
4个奇数
，
直接法、间接法是两类很重要的思考方法和解题方法．
23
错解：
C
4
C
7
2105
解题思路是：先由4个偶数选2个偶数，再由剩下的7个数（2个偶数，5个奇数）选
3个数，组成含
有5个元素的集合且满足至少有2
例2-2：（与上面例2是完全相同的题目）由12人组成文娱小组
，其中5人只会唱歌，5
人只会跳舞，2人又会唱歌又会跳舞。现从这12人中选派4人会唱歌4人会跳
舞的去排
练节目，共有多少种选法？2C
5
2
C
5
4
+2C
2
1
C
5
3
C
5
4
+2
C
5
3
C
5
3
+C
5
4
C
5
4
=525
例2-3：1到100的自然数中，取两个数，使这两个数的乘积能被6整除，共有多少种选
法
分析：100个数分四类：①只能被2整除34个元素 ②只能被3整除17个元素 ③
既
能被2整除也能被3整除（能被6整除）16个元素
④既不能被2整除也不能被3整
除33个元素
解：
C
16
C34
C
17
C
16
C
33
1346
例2-4：５个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有
21111
解法1：直接法
可先安排
甲
，并按
甲
进行分类讨论：
（1）若
甲
在第二个位置上，则剩下的私四人可自由安排，有
A
4
4
种方法；
13
（2）若
甲
在第三个或第四个位置上，则根据分布计数原理不同的站法有
A
1
3
A
3
A
3
种站法；
11
3
再根据分类计数原理，不同的站法共有：
A
4
4
＋
A3
A
3
A
3
＝７８种．
543
解法2：间接法
A
5
2A
4
A
3
78
例
2-5：从１到１００的自然数中，每次取出不同的两个数，使他们的和大于１００，则不
同的取法种数
有 种。
解：此题的数字较多，情况也不一样，需要分析摸索其规律。为方便，两个加数中较小的为
101有１种； 10２有２种；
……149有49种，150有50种，151有49种……199有
1种
故不同的区法有：（１＋２＋……５０）＋（４９＋４８＋……＋１）＝２５００种。
（三）.相邻问题：捆绑法
对于某些元素要求相邻排列的问题，先将相邻元素捆绑成整体并看
作一个元素（同时对
相邻元素内部进行自排），再与其它元素进行排列，。
例3-1：
5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？
解：先把3个女生捆绑为一个整体
再与其他5个男生全排列。同时，3个女生自身也应
3
全排列。由乘法原理共有
A6
6
A
5
种。
例3-2: 对于某些排列问题中的某些元素
要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组
团”并视为一个元素再与其它元素排列。四名男歌手与两名
女歌手联合举行一场演唱会，
演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种？
解：“小团体”排列，先“团体”后整体，先从四名男歌手中选2人排入两女歌手之
2
间进行“组团”有
A
2
4
A
2
种（捆绑），把这个“女男男
女”小团体视为1人再与其余2
223
男进行排列有
A
3
3
种，由乘法原理，共有
A
4
A
2
A
3
种．
（四）不相邻问题用“插空法”
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排
好，再将不相邻的元素在已排好
的元素之间及两端的空隙之间插入即可（注意有时候两端的空隙的插法是
不符合题意的）.
（先做空再插空）
例4-1：
5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？
3
解：先排无
限制条件的男生，女生插在5个男生间的4个空隙，由乘法原理共有
A
5
A
54
种。
注意：①分清“谁插入谁”的问题。要先排无限制条件的元素，再插入必须
间隔的元素；
②数清可插的位置数；③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。
例4-2：马路上
有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同
时关掉相邻的两盏或三盏，也
不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？
解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗
，故可在6盏亮的5个间隙中插入3个
暗的即可，有
C
3
5
种。
（五）顺序固定问题（或选位不排或先定后插）用“除法”
对于某几个元素顺序一定的排列问
题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然
后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。或先
在总位置中选出顺序一定元素的位置而
不参加排列，然后对其它元素进行排列。也可先放好顺序一定元素
，再一一插入其它元素。
例5-1：
5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？
2
解法一：先5人
全排有
A
5
种，由于全排中有甲、乙的全排种数
A
52
，而
这里只有1种是
52
符合要求的，故要除以定序元素的全排列
A
2
2
种，所以有
A
5
A
2
=60种。
2
解法二：先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲、乙)有
C
5
种，再排
列其它3人有
A
3
3
，
2
由乘法原理得共有
C
5
A
3
3
=60种。
解法三：先固定甲、乙，再插入另三个中的第一人有3种方法，接着插入第二人有4种
方法，最后插入第三人有5种方法。由乘法原理得共有
例5-2：单词banana拼写错误的方式有几种？
6
A
6
12
解：
32
60
，
60-1＝59 另解：
C
6
C
5
60
60-1＝59
A
3
A
2
=60种。
例5-3：在一次
文艺演出时，原计划有7个节目，演出前有增加了3个节目，现要把这3
个节目插入到原有的7个节目中
去，有多少种方法？
10
A
10
3
解：
7
120
，
另解：
C
10
120
A
7
（六）分排问题用“直排法”
把n个元素排成若干排的问题，若没其他的特殊要求，可用统一排成一排的方法来处理．
例6：７个人坐两排座位，第一排坐３人，第二排坐４人，则有 种排法．
解：７个人，可以在前后两排随意就座，没有其他的限制条件，故两排可以看成一排来处理，
所以不同的坐法有
A
7
7
．
（七）“住店”问题―――映射
解决“允许重复排列”的问题要注意区分两类元素：象（店）元素可重复，原象（客人）
元素不能重复。把不能重复的元素看着“客”，能重复的元素看着“店”，再利用分步计数
原理
直接求解的方法称为“住店法”，也可称“邮信问题”，“车站问题”。
例7：７名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能种数是 种。
解：应同一学生可同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将７名学生看着７家“店”，
五项冠军看着５名“客”，每个客有７种住宿方法，由分步计数原理得Ｎ＝
7
种。
（八）相同元素进盒，档板分隔
例8-1：
10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？
解：这里只是票数而已，与顺序无
关，故可把10张票看成10个相同的小球放入5个不
同的盒内，每盒至少1球，可先把10球排成一列
，再在其中9个间隔中选4个位置插入
4块“档板”分成5格(构成5个盒子)有 种方法。
5
例8-2： 10张参观公园的门票分给5个班，有几种选法？
4
解：
10个空位加4个挡板位，共有14个放挡板的位置，有
C
14
1001
种
方法。
例8-3：个数不少于盒子编号数，先填满再分隔
15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种
不同的放法？
解：先用6个球按编号数“填满”各盒(符合起码要求),再把9个球放入3个盒内即可,
可用
2块档板与9个球空一起排列(即为两类元素的排列问题),有 种。
注：档板分隔模型专门用来解答同种元素（所有的元素都是相同的）的分配问题。
（九）不同元素进盒，先分组再排列
对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不小
于2个元素时，不可分
批进入，必须先分组再排入。 通常分为两步：（一） 分组 （二 ）排列
分组有两种：（1）平均分组 （2）非平均分组
例9-1：6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？
1 平均分给甲乙丙三人
C
6
C
4
C
2
90
222
C
6
C
4
C
2
2平均分成三堆
15
3
A
3
222
3一堆1本，一堆2本，一堆3本
C
6
C
5
C
3
60
4
一人得1本，一人得2本，一人得3本
C
6
C
5
C
3
A
3
360
1233
123
123
5甲得1本，乙得2本，丙得3本
C
6
C
5
C
3
60
114<
br>C
6
C
5
C
4
6一堆1本，一堆1本，一堆4本
15
2
A
2
114
7甲得1本，乙得1本，丙得4本
C
6
C
5
C
4
30
114<
br>C
6
C
5
C
4
3
8一人得1本，一人得1本
，一人得4本
A
3
90
2
A
2
9-1全部分给3个人
3
（映射）
9-2全部分给10个人
10
（映射）
222
11
C
6
C
4C
2
3
C
2
C
1
321
10
全部分给3个人，每人至少一本。
(CCCC)A
3
486
631
23
A
2
A
3
4
6
6
6<
br>3
11 6本相同的书全部分给3个人每人至少1本（挡板1）
A
5
2
12 6本相同的书全部分给3个人（挡板2）
C
8
6
13 6本相同的书全部分给10个人每人至多1本
C
10
（选6人即可，每人一本）
14 6本相同的书全部分给10个人
（挡板3）
个板位）
先选定人数，再根据人数定挡板数目。
6554432110
C
10
C
5
C
10
C
5
C
10
C
5
...C<
br>10
C
5
C
10
C
5
C
1016
（6本书6个空，10个板，取10
法二：
C
6
16
（6本书10个板，其中有6个位置是书）
例9-2：
5个老师分配到3个班搞活动，每班至少一个，有几种不同的分法？
解：先把5位老师分3堆，有两类：3、1、1分布有 种和1、2、2分布有
种，
再排列到3个班里有 种，故共有 。
注意：不同的老师不可分批进入同一个班，须一
次到位(否则有重复计数)。即“同一
盒内的元素必须一次进入”。
（十）两类元素的排列，组合“选位法”
例10-1：
10级楼梯，要求7步走完，每步可跨一级，也可跨两级，问有几种不同的
跨法？
解：分两类：第一类：跨单级，有4步 第二类：跨两级，有3步
所以只要在7步中任意选3步跨两级即可。故有
注意：两类元素的排列问题涉及面很广，应予重视。
例10-2：
沿图中的网格线从顶点A到顶点B，最短的路线有几条？
解：每一种最短走法，都要走三段“|”线和四段“—”线，
这是两类元素不分顺序的排列问题。故有 或 种走法。
种跨法。
例10-3：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为
（
）
解：4次没有命中，则有5个空，故
C
A
5
2
2
2
注意：怎样把问题等价转化为“两类元素的排列”问题是解题的关键。
（十一）环排问题线排
例11-1. 5人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌
而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从此位
置把圆形展成直线其余
4人共有____24种排法即（5-1)！
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种
排法.如果从n个不同元素中取出m个元素
1
m
A
n
作圆形排列共有
m
例11-2.
6根稻草，首首连接，尾尾连接，则使其连接后成为一个圆环的连接方法有多少种？
解：连首：
CCC
64
222
连尾：
2
CC
4
11
2
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
如图：若连首：1 ，2连接，3
，4连接，5，6连接，则连尾：取1（或2）可连3，4，5，6，
共有
C
1
种连法，若连3，则4只能连5或6，共有
4
C
1
2
种连法。
（十二）几何问题
P
Q
例12-1：
把圆9等分，以这些分点为顶点，作出的钝角三角形有多
A B
R
少个？
解：顺次查找，一个点作为钝角顶点有6个，
共有
6
C
1
9
例12-2：把半圆9等分，以这些分点及半圆的直径
的两个端点为顶点，作出的钝角三
角形有多少个？
21
解：
C
10
C
8
例12-3：正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四面体共有 6
对异面直线,正方体中的8
4
1258
个顶点可连成
共有 6*58=174 对异面直线
8
(十三)逐步试验(穷举法)
如果题中附加条件增多,直接解决困难,用试验法寻找规律有时也是行之有效的方法．
例13
-1：将数字１、２、３、４填入标号为１、２、３、４的四个方格内，每个方格填一
个，
则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有 种。（实际是连线问题）
解：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为复杂，可用试验法逐步解决．
C第一方格内可填２或３或４．
C
1
3
种，如填２，则相应的第二方格内可
填１或３或４，
第二方格内不论填上任何一个数，其余两个只能唯一确定。因而第一方格填２共有３种方
法。
同理，第一格填３或４也各有３种，所以一共有９种方法。
1 2
3 4
1 2 3
4
（十四）图色问题
方法一：确定图几种颜色，根据颜色种数进行分组，再按照颜色
排列。
方法二：顺次图色。
例14-1：给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜<
br>色,则不同的着色方法有____种
法二：涂2：
C
1
4
种
；涂1：
C
1
3
种；涂3：
C
1
2
种；
1
4
3
2
5
C
1
2
涂
5：分两类：若与1同色，则涂4就有3种；若与1不同色，即涂5有1种，则涂4有1
种涂法。所以共
有 4*3*2*（1*2+1*1）=72种
法一：涂4种颜色，故把5个区域分成4组，且相邻的不能同组，则2为一组，1与5 或3
与
4为一组，（若1与5为一组，则剩下的3，4就各为一组，）所以分组方式为涂色
有<
br>A
4
4
种，
涂3种颜色，分3组，只有一种分法：2 , 1和5
, 3和4，涂色共有
A
3
4
种，
故，共有涂色方法 72 种
（十五）化归策略
例15-1:25人排成5×5方队,现从中选3人,要求3人不在同一行
也不在同一列,不同的选法有
多少种？
解：将这个问题退化成9人排成3×3方队,现从中选
3人,要求
3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人
从其中的一行中选取
1人后,把这人所在的行列都划掉，
如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有
3
5
3
5
选法，所以从
3
5
3
5
1
CCC
种。
321
111
再从5×5方队选出3×3方队便可解决问题，从
5×5方队中
选取3行3列有
CC
5×5方队选不在同一行
11
12
也不在同一列的3人有
CCCCC
选法。
3
以上介绍了
排列组合应用题的几种常见求解策略，这些策略不是彼此孤立的,而是相互
依存的，相互为用的。有时解
决某一问题时要综合运用几种求解策略。
排列组合的问题各种各样，千差万别，这里只是列举了一些常
见的题型和方法，更重要
的是要掌握正确的解排列组合的问题的思路，才能举一反三，融会贯通。