候卫东官场笔记-别哭了宝贝歌词

排列组合问题的常见模型1
知识内容
1．基本计数原理
⑴加法原理
分类计数原理：做一件事，完成它有
n类办法，在第一类办法中有
m
1
种不同的方法，在第
二类办法中有
m
2
种方法，……，在第
n
类办法中有
m
n
种不 同的方法．那么完成这件事共有
Nm
1
m
2
Lm
n
种不同的方法．又称加法原理．

⑵乘法原理
分步计数原理：做一件事， 完成它需要分成
n
个子步骤，做第一个步骤有
m
1
种不同的方法，< br>做第二个步骤有
m
2
种不同方法，……，做第
n
个步骤有m
n
种不同的方法．那么完成这件事
共有
Nm
1
m
2
Lm
n
种不同的方法．又称乘法原理．

⑶加法原理与乘法原理的综合运用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类

计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事
才告完成，那么 计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．
分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数 公式的理论基础，也是求解排列、
组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确 地灵活加以应用．
2． 排列与组合
⑴排列：一般地，从
n
个不同的元素 中任取
m(m≤n)
个元素，按照一定的顺序排成一列，
叫做从
n
个 不同元素中取出
m
个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）
排列数：从n
个不同的元素中取出
m(m≤n)
个元素的所有排列的个数，叫做从
n
个不同
元素中取出
m
个元素的排列数，用符号
A
m
n
表示．
排列数公式：
A
m
n
n(n1)(n2) L(nm1)
，
m，nN

，并且
m≤n
．
全排列：一般地，
n
个不同元素全部取出的一个排列，叫做
n
个不同元素的 一个全排列．
n
的阶乘：正整数由
1
到
n
的连乘积，叫作
n
的阶乘，用
n!
表示．规定：
0!1
．
⑵组 合：一般地，从
n
个不同元素中，任意取出
m
(m≤n)
个元素并成 一组，叫做从
n
个
元素中任取
m
个元素的一个组合．
组合 数：从
n
个不同元素中，任意取出
m
(m≤n)
个元素的所有组合的 个数，叫做从
n
个
不同元素中，任意取出
m
个元素的组合数，用符号
C
m
n
表示．
n(n1)(n2)
L
(n m1)n!
组合数公式：
C
m
，
m,nN

， 并且
m≤n
．

n

m!m!(nm)!
n mmm1
组合数的两个性质：性质1：
C
m
；性质2：
C
m
．（规定
C
0
n
C
nn1
C
n< br>C
nn
1
）

⑶排列组合综合问题
解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄 清是分类还是
分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：
1．特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
2．分类分步法：对于较复 杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做
到分类明确，层次清楚，不重不漏．
3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．
4．捆绑法：某 些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元
素进行排列，然后再给那“一捆 元素”内部排列．
5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．
6．插板法：
n
个相同元素，分成
m(m≤n)
组，每组至少一个的 分组问题——把
n
个元
1
素排成一排，从
n1
个空中选< br>m1
个空，各插一个隔板，有
C
n
m


1
．
7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一
般地平均分成
n
堆（组），必须除以
n
！，如果有
m
堆（组）元素个数相等，必须除以
m
！
8．错位法：编号为1至
n
的
n
个小球放入编号为1到
n
的
n
个盒子里，每个盒子放 一个
小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当
n2
，3 ，4，5
时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法< br>转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．

1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途
径：
①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组
合数．
求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计
数原理还 是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式
子计算作答．
2．具体的解题策略有：
①对特殊元素进行优先安排；
②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；
③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；
④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；
⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；
⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．
⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．


典例分析

排队问题
【例1】 三个女生和五个男生排成一排
⑴ 如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
⑵ 如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
⑶ 如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？









【例2】
6
个人站成一排：
⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？
⑵其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
⑶其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？
⑷其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？















【例3】 7名同学排队照相．
⑴ 若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？
⑵ 若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，
有多少种不同的排法？
⑶ 若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？
⑷ 若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同
的排法？

【例4】
6
个队员排成一排，
⑴共有多少种不同的排法？
⑵若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？
⑶若甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的排法？








【例5】
ABCDE
五个字 母排成一排，若
ABC
的位置关系必须按A在前、B居中、C在后
的原则，共有___ ____种排法（用数字作答）．








【例6】 用1到8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，
5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有_ __个（用数字作答）．






【例7】
记者要为
5
名志愿者和他们帮助的
2
位老人拍照，要求排成一排，
2
位老人相
邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）
A．
1440
种 B．
960
种 C．
720
种



D．
480
种


【例8】
12
名同学合影，站成前排
4
人后排
8
人，现摄影师要从后排
8
人中抽
2
人调整到
前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）
22
A
3
A．
C
8

26
A
6
B．
C
8



22
A
6
C．
C
8

22
A
5
D．
C
8

【例9】 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成 一排，2位老人相邻但
不排在两端，不同的排法共有（ ）
A．1440种 B．960种 C．720种 D．480种






【例10】 在数字
1，2，
任意两个数字都不相邻的全
3
与符号
，
五个元素的所有全排列中，
排列个数是（ ）
A．
6
B．
12
C．
18
D．
24






【例11】 计划 展出10幅不同的画，其中1幅水彩、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，
要求同一品种的画必须连在 一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有
_____种．









【例12】 6人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_________种不同的排法（用数
字作答）．




【例13】 一条长椅上有7个座位，4人坐，要求3个空 位中，有2个空位相邻，另一个空位
与2个相邻位不相邻，共有几种坐法？

【例14】
3
位男生和
3
位女生共
6
位同学站成一排，若男生甲不站两端，< br>3
位女生中有且
只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A．
360
B．
288
C．
216
D．
96






【例15】 古代 “五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，
土克水，水克火，火克金 ．”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性
相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有 种（结果用数值表示）．






【例16】
在
1，
使相邻两数都互质
a
2
，a< br>3
，a
4
，a
5
，a
6
，a
7中，
2，3，4，5，6，7
的任一排列
a
1
，
的排列 方式共有（ ）种．
A．
288
B．
576
C．
864
D．
1152











Q，R，S

与

0，，12，3 ，4，5，6，7，8，9

中各任取2个元素排成一排
【例17】
从集合

P，
（字母和数字均不能重复）．每排中字母
Q
和数字
0
至多只能出现一个的不同排
法种数是_________．（用数字作答）





【例18】
从集合
{O，P，Q，R， S}
与
{0，，12，3，4，5，6，7，8，9}
中各任取
2
个 元素排成
一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母
O，Q
和数字
0
至多只能出现一个

的不同排法种数是_________．（用数字作答）






【例19】
6
个人坐在一排
10
个座位上，问
⑴ 空位不相邻的坐法有多少种?
⑵
4
个空位只有
3
个相邻的坐法有多少种?
⑶
4
个空位至多有
2
个相邻的坐法有多少种?






【例20】
3
位男生和
3
位女生 共
6
位同学站成一排，若男生甲不站两端，
3
位女生中有且
只有两位 女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A．
360
B．
288
C．
216
D．
96














【例21】
12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从 后排8人中抽2人调
整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有（ ）
22262222
A
3
B．
C
8
A
6
C．
C
8
A
6
D．
C
8
A
5
A．
C
8






【例22】
两部不同的长篇小说各由第一、二、 三、四卷组成，每卷
1
本，共
8
本．将它们
任意地排成一排，左边< br>4
本恰好都属于同一部小说的概率是_______．

【例23】
为
2 007
年
12
月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．
了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁
路货运站对
6< br>列电煤货运列车进行编组调度，决定将这
6
列列车编成两组，每
组
3< br>列，且甲与乙两列列车不在同一小组．如果甲所在小组
3
列列车先开出，
那么这
6
列列车先后不同的发车顺序共有（ ）
A．
36
种 B．
108
种 C．
216
种 D．
432
种







数字问题
【例24】
给定数字
0
、
1
、
2
、
3
、
5
、
9
，每个数字最多用一次，
⑴可能组成多少个四位数？⑵可能组成多少个四位奇数？
⑶可能组成多少个四位偶数？⑷可能组成多少个自然数？









【例25】 用0到9这10个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？






【例26】
在1，3，5，7，9中任取3个数字，在0，2，4，6 ，8中任取两个数字，可组
成多少个不同的五位偶数．

【例27】 用
1，
a< br>2
，a
3
，a
4
，a
5
，满足
2， 3，4，5
排成一个数字不重复的五位数
a
1
，
a
1
a
2
，a
2
a
3
，a
3
a
4
，a
4
a
5
的五位数有多少个？






【例28】 用
0，，12，L，9
这十 个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之
差的绝对值是
2
，则这样的 四位数共有多少个？





【例29】
用 数字
0，1，2，3，4，5，6
组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百
位 上的数字之和为偶数的四位数共有______个（用数学作答）．












【例30】 有
4
张分别标有数字
1，2，3，4
的红色卡片和
4
张分别 标有数字
1，2，3，4
的蓝色卡
片，从这
8
张卡片中取出
4
张卡片排成一行．如果取出的
4
张卡片所标数字之和等
于
10，则不同的排法数一共有 种．
432
；





【例31】 有
8
张卡片分别标有数字
1
，< br>2
，
3
，
4
，
5
，
6
，< br>7
，
8
，从中取出
6
张卡片排成
3
行
2
列，要求
3
行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为
5
，则不 同的排法共有
．．

（ ）
A．
1344
种 B．
1248
种 C．
1056
种 D．
960
种







【例32】 有
4
张分别标有数字
1，2，3，4
的红色卡片和
4
张分别标有数字
1，2，3，4
的 蓝色卡
片，从这
8
张卡片中取出
4
张卡片排成一行．如果取出的4
张卡片所标数字之和等
于
10
，则不同的排法共有____种（用数字 作答）．





【例33】 用1，2，3，4，5 ，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇
偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数 的个数是__________（用数字作答）．






【例34】 用数字
1,2,3,4,5
可以组成没有重复数字，并且比< br>20000
大的五位偶数共有（ ）
A．
48
个 B．
36
个 C．
24
个 D．
18
个




【例35】 从
1 ，2，3，8，9，10
这
6
个数中，取出两个，使其和为偶数，则共可得到
个这样的不同偶数？




【例36】
求无重复数字的六位数中，能被
3
整除的数有______个．

【例37】
用数字
0，1，2，3，4，5，6
组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百
位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数学作答）．






【例38】
从
0，，12，3，4，5
这 六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字
的四位数的个数为（ ）
A．
300
B．
216
C．
180
D．
162







【例39】
从
0，，12，3，4，5
这 六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字
的四位数的个数为（ ）
A．
300
B．
216
C．
180
D．
162











【例40】
从
1
到
9
的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：
⑴能组成多少个没有重复数字的七位数？其中任意两偶数都不相邻的七位数
有几个？
⑵上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？
⑶⑴中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？
⑷⑴其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？






【例41】
用
0
到
9
这九个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？

【例42】 有
4
张分别标有数字
1，2，3，4的红色卡片和
4
张分别标有数字
1，2，3，4
的蓝色卡
片，从 这
8
张卡片中取出
4
张卡片排成一行．如果取出的
4
张卡片 所标数字之和等
于
10
，则不同的排法共有______种（用数字作答）．







【例43】
在 由数字
1，2，3，4，5
组成的所有没有重复数字的
5
位数中，大于
23145
且小于
43521
的数共有（ ）个
A．
56
个 B．
57
个 C．
58
个 D．
60
个










【例44】
由0，1，2 ，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺
序排成一个数列

a
n

，则
a
19

_____．
A．
2014





B．
2034
C．
1432
D．
1430



【例45】
从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组 成多少个不同的一元二
次方程
ax
2
bxc0
，其中有实数根 的有几个？

2，1，0，，12，3，4

中任选三个不同 元素作为二次函数
yax
2
bxc
【例46】 从

3，
的系数，问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?