季羡林散文-erge

计数问题·排列组合试题与解答
1.【题目】从1～2004这2004个自然数中，共有多少个数与四位数8866
相加时，至少 发生一次进位。

【解答】这个题如果顺向思考，就特别复杂，我们逆向思考，把不能进
位的个数找出来，我们再从2004个数中减少这么多个，就是满足条件
的了。

8 866加一个数，如果不发生进位，千位上只能是0和1，百位上也只能
是0和1，十位上只能是0～3 ，个位也是0～3，所有不进位的情况共有
2×2×4×4－1＝63种，为什么减去1呢，因为四位数 字都选0时的0000
这个数不存在。

所以至少发生一次进位的数有2004－63＝1941个数。
2. 【题目】五位同学扮成 奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎
和妮妮，排成一排表演节目。如果贝贝和妮妮不相邻，共有多 少种不同
的排法。

【解答】这个题的基本思想是从总的排列中去掉相邻的排列就行了。

五个同学共有5×4×3×2×1＝120种排法

其中两人相邻的共有4×3×2×1＝24种排法

则其中两人不相邻的排法共有120－24＝96种。

3.
【题目】甲乙丙丁四个同学排成一排，从左到右数，如果甲不排第
一个位置上，乙不排第二个位置上，丙 不排第三个位置上，丁不排第四
个位置上，那么不同的排法共有多少种？

【解答】此题方法很多，谈谈分类讨论。

甲不排第一个位置，则第一个位置可以是乙、丙、丁

当乙排第一个位置时有以下3种排法：乙甲丁丙，乙丙丁甲，乙丁甲丙

当丙和丁排第一个位置时同样分别有3种排法，因此共有3×3＝9种不
同的排法。

4.
【题目】高速公路入口处的收费站有1号、2号、3号、4号共四个
收费窗口， 有A、B、C三辆轿车要通过收费窗口购票进入高速公路。那
么三辆轿车共有多少种不同的购票次序？< br>
【解答】

A轿车进入高速公路时，有4种情况；

B轿车 进入时，除了每个入口有一种外，和A同进一个入口时，有在A
前和A后两种情况，因此B轿车进入时， 对应有5种情况；

C轿车进入时，分成两类来分析：

如果A和B分别从不 同的入口进入的，则C进入时，可以从两个入口和
A前A后，B前B后，共6种进入方式。
< /p>

如果A和B进入同一个入口通过时，C除了从另外3个入口进入外，还
可以从A和 B的排列中选择三个位置通过，则还是有6种进入的可能。

因此C轿车的通过对应有6种进入的方式。

所以，根据乘法原理，三辆轿车通过的所有次序是4×5×6＝120种

5.
【题目】在21世纪中，有些年的年份数是由四个不同的数字组成的，
这样的年份共有多少个？

【解答】21世纪的年份数就像20□□这样的形式。十位数字有8种选
择，个位数字对应有7 种选择。因此四位数字不同的年份共有8×7＝56
个。

6.
【题目】上下两册书的页码共有687个数字，且上册比下册多5页，
则上册书有多少页？
< br>【解答】根据页码问题的基本思想，页码从1～99共有189页，两本书
的页码687＞189 ×2＋5×3，说明两本书的页数都是三位数。

因为要求的是页数多的上册的，所以我们把下 册页数增加5页，总的页
码数字增加5×3＝15个，则上下册的页码数就相同了。上册的页码数
字就该有（687＋15）÷2＝351个。

那么上册的页数该有（351－189）÷3＋99＝153页。

7.
【题目】在1000到1999这些自然数中，个位数大于百位数的有多
少个？

【解 答】实际上是判断000～999这1000个数中有多少个个位数字大于
百位数字的。解答这题的办法 是先去掉百位数字和个位数字相等的。剩
下的数中不是个位数字比百位数字大的，就是比百位数字小的， 并且各
占一半。

百位数字和个位数字相等的数有：当0□0，1□1，2□2，„， 8□8，9□9
这10类时，对于每一类，□内都可以天0～9这10种情况，因此共有
10× 10＝100个数。

000～999共1000个数，去掉百位数字和个位数字相同的数10 0个，还
剩下1000－100＝900个数，这900个数中有一半的数是个位数字比百
位数 字大的，则满足条件的数有900÷2＝450个。

8.
【题目】在1，2，3， „，100这100个自然数中，取两个不同的数，
使得它们的和是7的倍数，共有多少种不同的取法？

【解答】一个数除以7的余数分别是0～6，要使两个数的和是7的倍数，
则余数是 （1，6），（2，5），（3，4）的进行配对，能被7整除的数
两两配对。

因为 100÷7＝14„„2，说明余数是1、2的各有15个，3，4，5，6的
各有14个，能被7整除 的有14个。

则（1，6），（2，5）搭配共有15×14×2＝420种 ，（3，4）搭配有
14×14＝196种。能被7整除的搭配有14×13÷2＝91种。

因此总共有420＋196＋91＝707种。

9.
【题目】从1～10 这10个自然数中，每次取出两个不同的数，使它们
的和是3的倍数，共有多少种不同的取法？

【解答】一个数除以3后，余数有0，1，2三种情况，把除以3的余数
是1和2的搭配就是3 的倍数，还可以都选3的倍数的。因为10÷3＝
3„„1，余数是1的有4个，余数是2的有3个，3 的倍数有3个。

则余数是1和2的搭配有4×3＝12种情况

都选3的倍数的情况有（3，6）（6，9）（3，9）三种

则一共有12＋3＝15种。
10. 【题目】有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字 都恰好是它
前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共
有多少 个？

【解答】因为直至不能再写为止，所以前面两位数字的每种情况将对应
一个数。 并且前面两位数字之和不能超过9。因此有以下几类：

当最高位是1时，前面 两位数字可以是10，11，12，13，14，15，16，
17，18

当最高为 是2时，前面两位数字可以是20，21，22，23，24，25，26，
27

当最高位是3时，前面两位数字可以是30，31，32，33，34，35，36

„„

当最高位是7时，前面两位数字可以是70，71，72

当最高位是8时，前面两位数字可以是80，81

当最高位是9时，前面两位数字可以是90

因此共有9＋8＋7＋6＋„＋3＋2＋1＝45个数。

11.
【题目】 1995的数字和是1＋9＋9＋5＝24。问小于2000的四位数
中数字和等于24的数共有多少个 ？

【解答】分类枚举，小于2000的四位数千位数字是1，其他三位的数字
和是2 3。因为十位和个位的数字和最多为9＋9＝18，因此百位数字至
少是5。

百位是5时，只有1599一个；

百位是6时，有1689，1698两个；

百位是7时，有1779，1788，1797三个；

百位是8时，有1869，1878，1887，1896四个；

百位是9时，有1959，1968，1977，1986，1995五个；

总共共计1＋2＋3＋4＋5＝15个。

12.
【题目】各数位上数码之和是15的三位数共有多少个？

【解答】分类计数。
当百位是1时，右边两位数的和是14。十位数是5，6，7，8，9，个位
就对应9，8，7，6 ，5，符合条件的数有5个。

同理，当百位数是2，3，4，5，6，7，8，9时，依次有 6，7，8，9，
10，9，8，7个，共有69个。

13.
【题目】有 八张卡片，上面分别写着自然数1～8，从中取出3张，
要使这三张卡片上的数字之和是9，有多少种不 同的取法？

【解答】先确定三张卡片中数字最大的卡片。

8、7都不用考虑，因为最小的两张卡片（1和2）与之相加都超过9。

最大的数字为6时，配1和2；

最大的数字是5时，配1和3；

最大的数字是4时，配2和3；

如果最大的数字不超过3，三张卡片数字之和都小于9。

所以只有3种不同的取法。

14.
【题目】从54至199的整数中，各位数字互不相同的数有多少个？

【解答】分段进行思考。

从54至99的整数中，各位数字互不相同的数有46个数 ，其中有55、
66、77、88、99的数字是相同的，则有46－5＝41个。

从100～199的整数中，十位有9种情况，个位就对应8种情况了。则
共有9×8＝72种情况了。

所以一 共有41＋72＝113个数。

15.
【题目】11 个人围坐圆桌旁做传花游戏。坐定后按顺时针方向，每
人分别标上1，2，3，„，10，11号码，传 花前1号手中的花比2号多
手中的花多1朵，2号手中的花比3号手中的花多1朵„„10号手中的花比11号手中的花多1朵，且此时11号手中的花有4朵。

传花的规则：开始时，1号 传给2号1朵后，2号传给3号2朵，然后3
号传给4号3朵„„然后10号传给11号10朵，然后1 1号传给1号11
朵，然后1号再传给2号12朵，然后2号再传给3号13朵„„这样继

续下去。到了某一时刻，11号如果再传给1号后，手中便没有花了。那
这时11号手中有多 少朵花。

【解答】根据传花的规则可知，每人每接传一次花，这个人手中的花就
比这 次接花前少1朵。由于原来11号手中有4朵花，因此至11号手中
无花时，11号共接传花4次。如果 11号最后一次不传给1号，则每个
人都少了4朵花，11个人就一共少了11×4＝44朵花，这44 朵花也就
是此时11号手中有的花。

16.
【题目】用两个1，一个2，一个3可以组成种种不同的四位数，
这些四位数一共有多少个？

【解答】可以用枚举法把这些数从小到大一个一个的写出来。

1123，1132，1213，1231，1312，1321；

2113，2131，2311，3112，3121，3211。

一共个组成12个不同的四位数。

【附录】当然也可这样计算：从四个位置里面选两 个位置写2和3，然
后这两个位置的2和3可以交换。则是C（4，2）×2＝12个不同的四
位数。
17.【题目】在自然数中，恰好有4个约数的两位数共有多少个？

【解答】有四个约数的数有两种情况：设a、b是质数，一种情况是a×b，
另外一种情况是a ×a×a。则分类计数就行了。

第一种情况：a×b

2和（5，7，11 ，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47）相乘有
13个

3和（5，7，11，13，17，19，23，29，31）相乘有9个

5和（7，11，13，17，19）相乘有5

7和（11，13）相乘有2个

第二种情况是a×a×a

有3×3×3一种。

因此共有1＋2＋5＋9＋13＝30个。

18.
【题目】从1，3，5，7，9中去出三个数字组成没有重复数字的三
位数， 在这些三位数中两两相减（大减小），其差为198的两个三位数
称为“一对”，那么共有多少对？
【解答】根据题意，每对数，个位相差2，十位相同，百位相差2。

第一类：形如1□3和3□1，百位和个位交换的情况。

当3□1－1□3时，□可以填5，7，9三种情况

分成4类，3□ 1－1□3，5□3－3□5，7□5－5□7，9□7－7□9，

所以有3×4＝12种。

第二类：形如1□9和3□7，百位和个位的其他情况。

则有357－159，39 5－197，517－319，791－593，913－715，951－753。

所以共有12＋6＝18种。

19.
【题目】有一楼梯共10级，规定每 次只能跨上2级或3级，要登
上第10级，共有多少种不同的走法？

【解答】与大家共享几种常见方法。

解法一：枚举法

①5个2：2＋2＋2＋2＋2

②2个3，2个2：2＋2＋3＋3；2＋3＋2＋3；2＋3＋3＋2；

3＋2＋2＋3；3＋2＋3＋2；3＋3＋2＋2。

所以，共有7种走法。

解法二：计算法

①5个2，一种情况。

②2个3，2个2。从4个位置里面选2个位置填3，则C（4，2）＝6，

所以共有1＋6＝7种走法。

解法三：标注法

0，1，1，1，2，2，3，4，5，7。

上10级台阶共有7种走法。

20.
【题目】如图1所示，用水平线或竖直线连接相邻汉字，沿着这些
线读下去， 正好可以读成“祖国明天更美好”，那么可读成“祖国明天
更美好”的路线有多少条？








解答】如图2所
示。利用加法原
理，将读到各个
字的路线数写在
每个字下方，共有不同的路线2^7－ 1＝127条

21.
【题目】华杯赛口试，每个代表队要从小学、初一、初二年级各 两
名选手中选派3人。规定小学生至少1人，初二学生最多派1名。问一
个口试队按年级组成方 式有多少种？

【解答】由所派3名选手中，“初二学生最多派1人”，初二学生可派
1人或0人。“小学生至少出1人”，小学生可出1人或2人。派人方
案可利用树型图表示，如下图所示 ，所以一个口试队按年级的组成方式
有4种。

22. 【 题目】如左图，为一幅街道图，从A出发经过十字路口B，但不
经过C走到D的不同的最短的路径有多少 条？

23. 【题目】美术馆的门票是10元一张，每人限购一张。在刚开始售
票的 某个时间段里，有10位参观者先后前来购票，可是其中有5位参
观者身上只带了10元面值的钞票，另 外5人身上只带了20元的钞票，
而粗心的营业员偏偏任何零钱都没准备。幸运的是他每次总能找得开零
钱。售票员总能找得开零钱的情况共有多少种？

【解答】利用标注法可以知道共有42种情况。

24. 【题目】从1开始依次把自然数一一写下去得到
„„，从第12个数字起，首次出现3个连排
的 1，那么从第几个数字起将首次出现5个连排的2。

【解答】在222和223之间第一次出 现5个2连续出现的。1～221共有
1×9＋2×90＋3×122＝555个数码，所以从第556 个数码起，将首次出现
5个连排的2。
25. 【题目】某人射击8枪，命中4枪，命中4枪中恰好有3枪连在一
起的情况的种数是多少？

【解答】分两种情况进行分析

第一，连三在两端。

这样去掉4个位置，另外有4个位置可以任选1枪。则有4×2＝8种

第二，连三的在中间。

这样需要去掉5个位置，另外有3个位置可以任选1枪。则有3×4＝12
种

因此一共有12＋8＝20种不同的情况。
26. 【题目】爸爸、妈妈、客人和我四人围着 圆桌喝茶，若只考虑每人
左邻的情况，问共有多少种不同的入座方法？

【解答】相当 于以一个人为基础，其他三人进行排列。因此共有3×2×1

＝6种不同的入座方法。
27. 【题目】ABC三个小朋友互相传球，先从A开始发球（作为第一次
传球），这样经过 了5次传球后，球恰巧又回到了A手中，那么不同的
传球方式共有多少种？

【解答】第一次传球传给B，有五种方式可以传回A如下：

A→B→A→B→C→A；

A→B→A→C→B→A；

A→B→C→A→B→A；

A→B→C→A→C→A；

A→B→C→B→C→A。

同理，A第一次传给C也有5种不同方式。所以不同的传球方式共有5×2
＝10种。

28. 【题目】有10对夫妇共20人参加一次圣诞晚会，其中每位男宾与
其他每一个人握一 次手（他的夫人除外），女宾与女宾都不握手，晚会
上这20人之间一共互相握了多少次手？

【解答】

第一种思考方法：每位男宾握手后都离开。

第一个男宾和18个人握手，第二个男宾和17个人握手，第三个男宾和
16个人握手，„„，因此 握手次数一共是18＋17＋16＋„＋9＝135次。

第二种思考方法：男宾先和女宾握手，然后男宾和男宾握手。

10个男宾都和9个女 宾握手，共握手10×9＝90次。10个男宾相互握
手10×9÷2＝45次。因此一共握手90＋4 5＝135次。

第三种方法：每对夫妻完成握手后离开。

第一对夫妻握手 次数是18＋9＝27次，第二对夫妻握手次数是16＋8＝
24次，第三对夫妻握手次数是14＋7＝ 21次，„„，因此握手总次数是
27＋24＋21＋„＋3＝135次。

29. 【题目】用0，1，2，3，4五个数字组成四位数，每个四位数中均
没有重复数字（如1023，23 41），求全体这样的四位数之和

【解答】将5个数字选出4个进行全排，每个数字在每一位 上都出现
4×3×2＝24次，得到总和是11110×24＝266640。

由于 在计数时，多计算了首位是0的，就得从中扣除。首位是0的，共
24个，其他三位上每个数字均出现2 4÷4＝6次，这样的数的和是6×1110
＝6660

由此最终满足条件的四位数的和是266640－6660＝259980。

30. 【题目】5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共
有多少种不同的方法?
< br>【解答】先将男生按照从高到低的顺序排列起来，然后女生分别有6，7，
8，9个位置，则有6 ×7×8×9×2＝6048种。
31. 【题目】有10种不同的书，甲分到5本，乙分到3本，丙分到2
本。有多少种可能的分配方案

【解答】丙从10本里面先选2本就是10×9÷2＝45种选法，然后乙从剩
下的8本里面选 3本有8×7×6÷3÷2＝56种选法，总的方案就有45×56
＝2520种。
32. 【题目】当将写有数码的纸倒过来看时，数码0，1，8不变，数码
6和9互变，其他数码倒过来看时都 没有意义，求将写有九位数的纸倒
过来看时不变的九位数的个数。

【解答】此题是1959年第22届莫斯科数学奥林匹克试题。

当把写有九位数的纸 倒过来时，首位数字变成末位数字，第二位变成第
八位，„„，第五位数字不动，故，可将九位数字分成 五组：首位与末
位一组，第二位与第八位一组，第三位与第七位一组，第四位与第六位
一组，第 五位单独一组。

容易得到，第一组有数字（1，1），（8，8），（6，9 ），（9，6）；
第二三四组各有（0，0）（1，1）（8，8）（6，9）（9，6）；第五组有0，1，8。

故知满足题中要求的九位数的个数有4×5×5×5×3＝1500个。
33. 【题目】如果一个至少有两位的十进制正整数中，它的每一位数都
比右边位置的数小， 则称之为“上升数”。求上升数的总个数。

【解答】首位不能为0，最多有1～9九位，每个 数都可能出现，也可能
不出现，有2的9次方个，其中不算一位数9个和全部都不选的1个，
因 此共有512－10＝502个。

【附】这题是1992年美国第10届数学邀请赛试题。
34. 【题目】从0到9十个数字中选出3个奇数，2个偶数，组成五位
数，其中偶数字不相 邻的有多少个？

【解答】按照偶数有0和没有0分情况讨论，

情况一：如果偶数中有0。

奇数5选3，偶数4选1，有C（5，3）×C（4，1 ）＝40种情况。假设
选出0，1，2，3，5。先写出1，3，5，然后插入0，有3个位置可以放；
再插入2，也有3个位置可以放，因此有3×3×6＝54个。那么含有0
的五位数有40×5 4＝2160个。

情况二：如果偶数中没有0。

奇数5选 3，偶数4选2，有C（5，3）×C（4，2）＝60种情况。假设
选出1，2，3，4，5。先写出 1，3，5，然后插入2，有4个位置可以放；
再插入4，有3个位置可以放，因此有4×3×6＝72 个。那么不含0的
五位数有72×60＝4320个。

综上所述，符合条件的五位数共有2160＋4320＝6480个。

35.
【题目】赵、钱、孙、李、周五人中，每两人之间都通过电话，且
通话次数刚 好等于这两人的年龄之差。已知周和李相差4岁，赵和孙也
相差4岁，周和孙相差1岁，李和赵也相差1 岁，钱和赵相差3岁，钱
和周相差6岁。那么这五人之间共通话多少次？

【解答】画 图直观观察到每两人之间的年龄关系，因此可以得出通话次
数是36次。通话次数的计算方法是每段乘前 面的点数再乘后面的点数，

即1×1×4＋3×2×3＋1×3×2＋2×4×1＝4＋18＋6＋8＝36次。

36.
【题目】有6个木箱，编号为1、2、3、„、6，每个箱子有一把钥
匙，6 把钥匙各不相同，每个箱子放进一把钥匙锁好：先挖开1、2号箱
子，可以取出钥匙去开箱子上的锁，如 果最终能把6把锁都打开，则说
这是一种放钥匙的“好”的方法，那么“好”的方法共多少种。

【解答】1号和2号箱子不能同时放1号和2号钥匙，那就有两种情况：

1.其中有一个。有4×2×2＝16种情况，并且是循环排列，例如，1号
箱是1，2号箱是3， 接下来3号箱子就只能是4，5，6，不能是2。当
3号箱是4时，4号箱就只能是5，6，因此每种情 况就有3×2＝6种“好”
方法，则共有16×6＝96种。

2.一个也没有。有4 ×3＝12种情况，每种情况有8种“好”方法，例
如前面是3，4，如果3号箱是5，那么6就可以在 4号箱和5号箱，有
2×2＝4种；如果3号箱是6，那么5就可以在4号箱和6号箱，有2×2
＝4；如果3号箱是1或2，也4种，即共4×3＝12种。则共有12×12
＝144种。

综合起来就共有96＋144＝240种“好”方法。
37. 【题目】数91623845 7是一个包含1至9每个数字恰好各一次的9
位数的例子。它还具有性质：数字1至5以正常的顺序出现 在其中，但
1至6不以正常的顺序出现。问这样的数有多少个。

【解答】先写好1～ 5，6有5个位置可以写，接下来的7，8，9分别有
7，8，9个位置可以写。因此共有5×7×8× 9＝2520个数。

38.
【题目】A先生和A太太以及三对夫妻举行了一次家庭 晚会，规定
每两人最多握一次手，但不和自己的妻子握手完毕后，A先生问了每个
人（包括他妻 子）握手几次令他惊讶的是每人答复的数字各不相同。那
么，A太太握了几次手？