计算机网络管理技术-关于新学期的作文

竞赛讲座19
-排列、组合、二项式定理

基础知识
1．排列组合题的求解策略
（1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条 件的所有情况排除，这是解决排
列组合题的常用策略．
（2）分类与分步
有些 问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各类的并集是全
集；有些问题 的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理．
（3）对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数．
（4）插 空：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法．即先安排好没有限制条
件的元素，然后将 有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间．
（5）捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一 个“大元素”，然后与其它“普通元素”全排列，
然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列 ．
（6）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型．如将12
个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔
3
C
，这也就是方程个
不同的盒子中的方法数应为板，把球分成4堆，分别装入4
11
a bcd12
的正整数解的个数．
2．圆排列

A{a,a, a,,a}nr
个元素排在一个圆环上，的个元素中，每次取出）由（1
n231
叫 做一个圆排列（或
叫环状排列）．
（2）圆排列有三个特点：（i）无头无尾；（ii）按 照同一方向转换后仍是同一排列；（iii）两个
圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间 的顺序不同，才是不同的圆排列．

A{a,a,a,,a}nr
个不同的元素 进行的（3）定理：在个元素中，每次取出
n312r
P
n
圆排列，圆排列< br>数为．

r
3．可重排列
允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列．

mn
个元素，元素可以重 复出现，按照一定的顺序那在个不同的元素中，每次取出
nmm
个不同
的元素中，么第 一、第二、…、第位是的选取元素的方法都是种，所以从
n
mn
．个元素的可重
复的排列数为每次取出
4．不尽相异元素的全排列

pp pn
个元素相同如果个元素相同，又有个元素中，有个元素相同，…，又有
s21
p ppnnn
个元素的全排个元素全部取的排列叫做不尽相异的（），这
s12
n!
列，它的排列数是

p!p!p!
s12
．可重组 合5
p
np,,2,1
次的组合个元素，每次取出允许所取
的元素重复出现 个元素，（1）从
p
n
个有重复的组合．个元素取出叫从
pr
CH
n
p
）定理：从个< br>元素每次取出．个元素有重复的组合数为：（2
)n(pn1
6．二项式定理

n

knknk*
bC(ab)aNn
）（1） 二项式定理（．
n0k
n1
项． （2）二项开展式共有
rnrr< br>TCab
0rnr1
）

叫做二项开展式的通项，这是开 展式的第）（（3
n1r
项．
（4）二项开展式中首末两端等距离的两项的二项式系数相等．

n
nn
C
2
是（5）如果二项式的幂指数最大；如果是偶数，则中间一项的二项式系 数
nn1n1

CC
22
最大． 奇数，则中间两项的二项式 系数与
nn
（6）二项式开展式中奇数项的二项式系数之
和等于偶数项系数之和，即

024135
CCCCCC

nnnnnn
7．数学竞赛中涉及二项式定理的题型及解决问题的方法
二项式定理 ，由于结构复杂，多年来在高考中未能充分展示应有的知识地位，而数学竞赛的命题
者却对其情有独钟．
（1）利用二项式定理判断整除问题：往往需要构造对偶式；
（2）处理整除性问题：构造对偶式或利用与递推式的结合；
（3）求证不等式：通过二项式展开，取展开式中的若干项进行放缩；
（4）综合其他知识 解决某些综合问题：有些较复杂的问题看似与二项式定理无关，其实通过观
察、分析题目的特征，联想构 造合适的二项式模型，便可使问题迅速解决．
例题分析
例1．数1447,1005,1231有某些共同点，即每个数都是首位为1的四位数，且每个四 位数中恰
有两个数字相同，这样的四位数共有多少个？
整除而又含有数字36的五位数？例 2．有多少个能被
n2
个人参加收发电报培训，每两人结为
一对互发互收，有多少种不 同的结．有例3 对方式？
n
1n
个不同的盒子中，要使每个盒子都不
空， 共有多．将个不同的小球放入例4 少种放法？个6个面的中心及正方体的中心共275．在正
方体的8个顶点，12条棱的中点，例 点中，共线的三点组的个数是多少个？ ，9,9可以组成不
同的四位数有多少个？1,1，7,7，8 ,8例6．用8个数字
E,D,A,B,C
并使相邻面必须涂不同的颜
五种颜色给正方 体的各个面涂色，7．用例 色，共有多少种不同的涂色方式？，每次取一只测试，
直到6只正品（每只 产品可区分）例8．某种产品有4只次品和 4只次品全部测出为止．求最后
一只次品在第五次测试时被 发现的不同情形有多少种？个点，连结这些点的直线互不平行，互不
重合，也互不垂直，．在平面上给出 5例9 过每点向其余四点的连线作垂线，求这此垂线的交点
最多能有多少个？位政治家举行圆桌会议， 两位互为政敌的政治家不愿相邻，其入坐方法有。.8
例10 多少种？条东西走向的街道．如果有人从 城南北角条南北走向的街道，5例11．某城市有
6
BA
（图点最短的走法有多少种？点）走到东南角中 9位的奖，共有多少种可能的码？2个3
球摇出一个． 用4个1球，3个2球，例12
nr
nr
．例13．将）个相同的小球，放入个不同的
盒子（ ）有多少种不同的放法？（1 ）如果不允许空盒 应有多少种不同的放法？（2（只个男孩
围成一圈，任意两个女孩之间至少站着两个男孩．．8个女孩和 25例14 要把圆旋转一下就重合
的排列认为是相同的）
1
224
)CC 33C3(13C3C
0919n
的求15．设，例
值．
*< br>)7(3Nn
时，16．当的整数部分是奇数还是偶数？证明你的结
论．例
)3,1,2,a,aa,a2a(ia,a,0a
．已知数列（）满足：例17
i31i2i0110
n
，求证：对于任意
正整数
1nnnnn1n101
xaCx)xaC(11C1Cxp()a (x)ax(x)
是一次
nn1nn1n0n
多项式或零次多项
式．
*12r
1,0Nr,ma(52am)a(ma)1
．，求证：．若18例）（．


nnnnnn
2

)220)220(15x(15x
的个数数字．．设的整数部分，求例19
100
b2)(12aNba,
ab
（的个
位数字．例20）求．已知
1nn2
)(13
2Nn
整除（．试证大于．）例21的最小整数能被
nnn
)1(2n(2n1)(2n)n
，不等式．例22．求证：对任意的正整数
11

R,ba1
Nn
．求证对于
每个23．设，都有，且例

ba
12nnnnn
2(ab)a2b

8219

训练题 ）种3次，其中愉有2次连续命中的情形共有（ 1．8次射击，命中60
） （D30（B） （C）48（A）15
名选手各比赛32．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有名选手之间
比赛3了 2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述 ）的场数是（
3
（D） 2 （B）1 （C）（A）0

2000210002
xaaaaxx)x1x(
的展开式为，则3．若
2000201
aaaaa
的值为
3333
（ （B）） （A） （CD））级，不同的走法有（ 4．某人从楼
199863666
下到楼上要走11级楼梯，每步可走1级或2 种81
）（ D64 ） A（）144 （B121 （C）名进行男女混合双打，不同的5名男乒乓球队员，名
女乒乓球队员中选出45．从7 ）种分组方法有（

22222222
CC4CCCCPP2
D）（C （） （A（） B）
55777575
）有0枚、3张、9张，可组成的不
同币值（非26．有5分、1角、5角的人民币各 ）种（
89
）D）88 （C B （A）79 （）80 （的偶数，不同个数中取出这103个数，使其和为不
小于1 0．从70,1,2,3,4,5,6,7,8,9 的取法有________种
6
N1N)(76
NN
＝ 写成 8．把的形式，
为自然数，则 ．


个不同的元素，31,0,1,2, 3}中的3,2,c=0中的a,b,c是取自集合{9．已知直线ax+by+ ．并且该
直线 的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是______处，它每次可随意地跳到相邻AABCDEF
为正六边形，一只青蛙开始在顶点10．设点，则跳完D5次之内不能到达5次之内跳到D点，
则停止跳 动；若两顶点之一．若在 种． 5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，
可能出现的 不同跳法共
都属于{1,2,3,4}
(3)a是a；（2）ab,bc,cd,db1 1．如果：（1）a,,c,d

中的最,d,b,ca；

_________．小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是abcd．在一



62000
101991

个正六边形的六个区域种植观赏植物，要求同一块中种同一种植物，相邻12 种载种方案． 的
两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则有
种坐法． ．10人围圆桌而，如果甲、乙二人中间相隔4人，有 13
除以．的余数是 14．
12n


(527)
FI
记它的小数部分．求证：的 展开中，用15记它的整数部分，．设
(IF)F
是一定值．

a,a, a,aaa29,,1,1,23
中，，四个数，使得从16．按从小到大的顺序选取
4 31212
aa3aa4
．问
符合上要求的不同取法有多少种？ ，
2334
CBBA
两人以必须相邻的不两人不得相邻，而17．8
人围张一张圆桌，其 中、、同围坐方式有多少种？
18．4对夫妇去看电影，8人坐成一排．若每位女性的邻座只能丈夫 或另外的女性，共有多少种
坐法？

n1n12
．求证：19
nnnn1nnn
)baa(2b)(
bn2na0baN
．求证：，．设20，，．

2nCCC
2
．