寻物启事范文-看戏叶君健

分类讨论解决排列组合问题
排列组合问题是历年高考的必考点，求解这类问题往往有多 个不同的思路，若选
择方法得当，求解过程简单，容易让人接受；否则复杂难解且易犯“重复”或“遗漏 ”
等错误．因此，排列组合问题是高中数学的难点之一。本文试图从分类讨论思想方法
出发，给 出解决这些问题的一个有效方法，有效避免出现“重复”和“遗漏”等错解．
一、解决站位问题 1、有5名男生，4名女生排成一排，要求甲男生不站在排头，乙女生不站有排尾，
则不同的排法有 多少种？
8
解析：将排法分成两类：一类是甲站在排尾，其余的可全排，有
A
8
种排法；另
1
一类是甲既不排尾又不站在排头有
A
7
种 站法，乙不站在排尾而站在其它位置，其余的
1178117
可全排，有
A
7
种排法，故不同的排法共有
A
8
＋
A
7
＝2872 80种.
A
7
A
7
A
7
A
7< br>2、（08年辽宁卷）一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、
乙、丙等6 名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中
安排1人，第四道工序只能从甲 、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
解析：按题目要求分成两类解决，①第一道工序安排甲，第四道工序安排丙 ，安
22
排方案有
A
4
②第一道工序安排乙，第四道工序安排甲或丙 ，安排方案有
2A
4
12
；
24
种方案，共计12+2 4=36种不同的安排方案．故应选择B选项．
二、解决染色问题
3．（2003年全国高 考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，
要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4 种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少
种？
解析：依题意至少要用3种颜色,
①当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，区域
3与5必须同色，故有
A
种；
3
4
3
2
1
4
5
4
② 当用四种颜色时，若区域2与4同色，则区域3与5不同色，有
A
4
种；若区
44
域3与5同色，则区域2与4不同色，有
A
4
种，故用四种颜色时共有2
A
4
种．由加法
34
原理可知满足题意的着色方法共有
A< br>4
+2
A
4
=24+2

24=72．

1

4．如图， 6个扇形区域A、B、C、D、E、F，现给这6个区域着色 ，要求同一区
域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有4种不同的颜色可供选
择，则不同的着色方法共有多少种？
解析：（1）当相间区域A、C、E着同一种颜色时，
有4种着色方法，此时，B、D、F各有3种着色方法，
此时，B、D、F各有3种着色方法故有
4333108
种方
法．
2
（2）当相间区域A、C、E着色两不同的颜色时，有
C
3
2A
4
种着色方法，此时B、D、
22
F有
322
种 着色方法，故共有
C
3
A
4
322432
种着色方 法.
3
（3）当相间区域A、C、E着三种不同的颜色时有
A
4
种 着色方法，此时B、D、F
C
D
E
F
B
A 3
各有2种着色方法。此时共有
A
4
222192
种方 法.
故总计有108+432+192=732种方法.
5．将一个四棱锥
SA BCD
的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异
色，如果只有5种颜色可供使用，那 么不同的染色方法的总数是多少？
解析：满足题设条件的染色至少要用三种颜色.
(1) 若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜
12
色中任选两种涂 A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有
C
5
A
460
种方法；
(2) 若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点 S，再从余
2
下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有
A< br>4
种染法；再从余
下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需 染与其相对顶点
1211
同色即可，故有
C
5
A
4
C
2
C
2
240
种方法；
5
(3) 若恰用五种颜色染色，有
A
5
120
种染色法,
综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种.
三、解决“多面手”问题
6．现有翻译8人，其中3人只会英语，2人只会日语，还有3人英 语、日语都会，
现从这8人中选取3名英语、2名日语翻译，有多少种不同的选法？
解析：按选择只会日语的翻译人数进行分类，
23
若从2人中选2名日语翻译，有
C
2
种选法；
C
6

2

113
若从2人中选1名日语翻译，有
C
2
种选法；
C
3
C
5
3
若从2人中不选日语翻译，有
C< br>3
2
C
4
种选法；
231133
故共有
C
2
+
C
2
+
C
3
2
C
4
=92种不同的方法.
C
6
C
3
C
5
四、解决数字问题
7.用 0，1，2，3，4这五个数字可组成多少个没有重复数字且是3的倍数的三位
数？
解析：构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3 的倍数，将0，1，2，3，
4按除以 3的余数分成3类，按照取0和不取0分类：取0，从1和4中取一个数再取
1212
2进行排 列，先填百位
A
2
，其余任意排
A
2
，故有
2A< br>2
A
2
种；不取0，则只能取3，从1
12
33
和4 中再任取一类，再取2，然后进行全排列为
2A
3
，所以共有
2A
2
=8+12=20
A
2
+
2A
3
个三位数.
五、解决几何计数问题
8．四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取
法共有（ ）
A．150种 B．147种 C．144种 D．141种
4
解析：从10个点中任取4个点有
C
10
种取法， 其中4点共面的情况有三类。第一
4
类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有
4 C
6
种；第二类，取任一条棱上的3
个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第 三类，由中位线构成的平行四边形
（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，有 3种．以上三种
44
情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有
C
10
．
4C
6
63141
（种）

3