一个像夏天一个像秋天伴奏-雅诗兰黛护肤系列

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解决排列组合问题的常用方法
1.特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑
例1：六人站成一排，求 甲不在排头，乙不在排尾的排列数 （）
.520 C
答案：A
分析：法1:先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。
第一类：乙在排头，有A种站法。
第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，这时候有4 种选择即C，还剩5个
位置，甲不能再排头所以只有4种选择C，剩下的全排列，即有CCA种站法。
2.反面考虑法
法2: 全排列减掉甲在排头的、乙在排尾的、再加上他们多减的部分（正好甲在
排头，乙在排尾） A-A*2+A =504
例2：某单位邀请10名教师中的6位参加一个会议，其中甲乙两位不能同 时参
加，则邀请的不同方法有多少种（）
.98 C
答案：D
解析：法1:①甲参加，乙不参加，有C=56种
②乙参加，甲不参加，有C=56种
③甲，乙都不参加，有C=28种
则邀请的不同方法有56+56+28=140种
法2:从反面考虑，甲乙都参加，有C=70种
C -C=140
3.捆绑法
例3：A、B、C、D、E五人排成一排，其中A、B两人必须站在一起，共有（）种
排法。
.72 C D24
答案：C
11

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2
4
A2
A242
4
解析:将A、B捆绑一起，与C、D、E一起排，共有种排法，A、B又有
种 排法，共有
24248
种排法。
例4：从单词“equation”选5个不同 的字母排成一排，且含有qu（其中qu相
连且顺序不变），共有（）种排法。
.480 C D840
答案：B
解析：①从剩下的6个字母里选3个，有C(6，3)=20，
②再将这3个字母和qu全排列A=24
所以共有20×24=480种排法
4.错位排列
错位排列问题：有
n
封信和
n
个信封，每封 信都不装在自己的信封里，
比如： 2封信就有1种装法；
3封信的具体装法 1→2,2→3,3→1和1→3,2→1,3→2就有2种装法；
随着信封数目的增多，这种问题也随之复杂多了。
应用集合中的容斥原理，我们就可得到“装错信封问题”的数学模型的求解公式，
请牢记： < br>设这
n
个数的错位排列数为
D
n
，当
n1,2,3 ,4,5
时，
D
1
0
，
D
2
1
，
D
3
2
，
D
4
9
，
D
5
44
…，经过枚举我们可以得到：
D
n
(n1)( D
n1
D
n2
)

例5：甲乙丙丁四个同学站成一队 ，从左到右数，如果甲不排在第一个位置，乙
不排在第二个位置，丙不排在第三个位置，丁不排在第四个 位置，那不同的排法
有几种
.11 C D24
答案：A
5.间接计数法.(排除法)
例6： 三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形
B.71 C72 D76
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答案：D
分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。
所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数，C-8

例7：正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体
分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，
∴ 共C-12=70-12=58个。
6.分配插板
什么时候使用插板法呢有两个前提：1）相同的东西进行分配；2)每人至少分一
个；
例8：（河南政法2010A-41）把9个苹果分给5 个人，每人至少分一个苹果，那
么不同的分法有多少种（）
.40 C D60
答案：A
分析: 9个苹果排成一排，形成8个空，插4个挡板，就可以把这9个苹果分成< br>5份，并且每份至少1个，
C
8
4
70

例9：10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法
分析：把 10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七
7
36
种。个 位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共
C
9

例10：５个教师分配到３个班参加活动，每班至少１人，有几种不同的分法？
错解： 把 ５个老师排成一排，中间投入四块挡板：０|０|０|０|０，只要在
４块挡板中任取２块，一共有＝６ 种不同的方法.
错因： ５个教师是互不相同的，而用挡板时，要求这些元素必须相同.即把问
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题改为：把５个名额分配给３个班，每班至少有１人 .问有几种不同的分法５个
名额是没有区别顺序的.可用挡板法解决.
正解：先把５位老师 分成三堆，有两类：１、１、３和１、2、2分别有
和种，再分到三个班里，共有＝１５０种.
7.等价转换
当考试题目和实际问题比较接近时。我们一定要将其转换成我们呢熟悉的等价数
学模型
例11：马路上有编号为1,2,3,4,5,6,的6只路灯，为了节约用电，现要求把其
中的两只 灯关掉，但不能关掉相邻的两只，也不关掉两端的路灯，则满足条件的
关灯方法共有几种（）
.3 C D5
答案：B
分析：等价转换，假设有4个白球排成一排（中间3个空，不 包括端点2个空），
将2个黑球插入到白球构成的空中，最后得到的6个球就相当于6只路灯，白球代表亮的，黑球代表关掉的
C
3
2
3
.
8.分组法
例12. 6本不同的书
(1) 分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法
(2) 分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法
(3) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法
(4) 甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法
(5) 分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的
分法
分析 (1) 分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法 CC
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(2) 分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法 CCA
(3) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法 CC
(4) 甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法 CC
(5) 分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的
分法 CCA
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