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排列组合问题的常见模型
一、相异元素不许重复的排列组合问题
这类问题有 两个条件限制，一是给出的元素是不同的，即不允许有相同的元素；二是取出的元素也是
不同的，即不允 许重复使用元素。这类问题有如下一些常见的模型。
模型１：从
n
个不同的元素中每 次取出
m
个不同元素作排列或组合，规定某
k
个元素都包含在内，则：
mkmmk
组合数：
N
1
C
nk
排列数：
N
2
A
m
C
nk

例１．全 组有
12
个同学，其中有３个女同学，现要选出５个，如果３个女同学都必须当选，试问在下< br>列情形中，各有多种不同的选法？
（１）组成一个文娱小组；（２）分别担任不同的工作．
解：（１）由于要选出的５人中，３个女同学 都必须当选，因此还需要选２人．这可从９个男同学中
53
选出，故不同的选法有：
N
1
C
123
36(种)

（２）在上述组合的基础上，因为还需要考虑选出５人的顺序关系，故不同的选法有：
55352< br>N
2
A
5
C
123
A
5
C< br>9
120364320(种)

模型２．从
n
个不同的 元素中每次取出
m
个不同元素作排列或组合，规定某
k
个元素都不包含在内，
mmmm
则： 组合数：
N
1
C
nk
排列数：
N
2
A
m
C
nk
A
nk

例２．某青年突击队有
15
名成员，其中有５名女队员，现在选出７人 ，如果５名女队员都不当选，试
问下列情形中，各有多少种不同的选法？
(1)组成一个抢修小组；（２）分别但任不同的抢修工作．
解：（１）由于５名女队员都不当选，因此只能从
10
名男同学选出，故不同的选法有：
773

N
1
C
155
C10
C
10
120
（种）
（２）由于还需考虑选出的７个人的顺序问题，故不同的选法有：
77
N
2
A
155
A
10
10987654604800（种）
模型３．从
n
个不同的元素中每次取出
m
个不同元素作 排列或组合，规定每一个排列或组合，都只包
msmms
含某
k
个元素中 的某
s
个元素。则组合数：
N
1
C
nk
排列数：
N
2
A
m
C
nk

例3．全 组
12
个同学，其中有
3
个女同学，现要选出
5
人，如果< br>3
个女同学中，只有甲当选，试问在
下列情形中，各有多少种不同的选法？
（１）组成一个数学小组；（２）分别担任不同的工作．
解：（１）由于女同学中只有甲当选，所以还需４人，这４人要从男同学中选，因此不同选法有：
514

N
1
C
123
C
9
126(种)

55154
（２）由于选出的人要分别担任不同的工作，所以不同的选法有：
N2
A
5
C
123
A
5
C
915120(种)
．
模型４．从
n
个不同的元素中每次取出
k
个不同元素作排列或组合，规定每一个排列或组合，都只包
sksksks
含某
r
个元素中的
s
个元素。则：组合数：
N
1
C< br>r
C
nr
排列数：
N
2
A
k
C
r
C
nr

例４．全组
12
个同学，其中有
3
个女同学，现要选出
5
人，如果
3
个女同学中，只有１人 当选，试问
在下列情形中，各有多少种不同的选法？
（１）组成一个数学小组；（２）分别担任不同的工作．

解：（１）由于女同学中只有 １人当选，所以从３个女同学中选１人，从９个男同学中选４人，不同
15114
的选法有：
N
1
C
3
C
123
C
3
C
9
378(种)

（２）由于选出的人要分别担任不同的工作，所以不同的选法有：
5151514
N
2
A
5
C
3
C
123
A
5
C
3
C
9
45360(种)
．
模型５．从< br>n
个不同的元素中每次取出
k
个不同元素作排列或组合，规定每一个排列或组合 ，都至少
包含某
r
个元素中的
s
个元素．则：
skss1ks1s2ks2rkr
组合数：
N
1C
r
C
nr
C
r
C
nr
C
r
C
nr
LLC
r
C
nr

kskss1ks1s2ks2rkr
排列数：
N
2
A
k
(C
r
C
nr
C
r
C
nr
C
r
C
nr
LLC
r
C
nr
)

例５．全组
12
个同学，其中有
3
个女 同学，现要选出
5
人，如果
3
个女同学中至少有１人当选，试问
在下 列情形中，各有多少种不同的选法？
（１）组成一个数学小组；（２）分别担任不同的工作．
142332
解：
N
1
C
3
C
9
C
3
C
9
C
3
C
9
666(种)
，
514332
N
2
A
5
(C
3C
9
C
3
2
C
9
C
3
C
9
)12066679920(种)

模型６．从
n
个不同的元素中每次取出
k
个不同元素作排列或组合，规定每一个排列或组合，都至多
包含某
r
个元素中的
s
个元素．则：
0k1k12k2sks
组合数：
N
1
C
r< br>C
nr
C
r
C
nr
C
r
C
nr
LLC
r
C
nr

50k1k 12k2sks
排列数：
N
2
A
5
(C
r< br>C
nr
C
r
C
nr
C
r
C
nr
LLC
r
C
nr
)

例６． 全组
12
个同学，其中有
3
个女同学，现要选出
5
人，如果
3
个女同学中至多有２人当选，试问
在下列情形中，各有多少种不同的选法？
（１）组成一个数学小组；（２）分别担任不同的工作．
051423
解：< br>N
1
C
3
C
9
C
3
C
9
C
3
C
9
766(种)
，
55143N
2
A
5
(C
3
0
C
9
 C
3
C
9
C
3
2
C
9
)12 076691920(种)

模型７．从
n
个不同的元素中每次取出k
个不同元素作排列，规定某
r
个元素都包含在内，并且分别
kr占据指定的位置．则
NA
nr

例７．用1;2;3;4;5这五个数字，能组成多少个没有重复数字且能被25整除的四位数？ 解：∵能被25整除的数的末两位能被25整除，又∵1;2;3;4;5四个数字中没有
0

∴要求四位数能被25整除，最后两位只能是25．∴能组在被25整除的四位数只要选取前两位数
422
就可以，所以有
NA
52
A
3
6
（个）．
模型8．从< br>n
个不同的元素中每次取出
k
个不同元素作排列，规定某个元素不能占据某个位 置．
kk1
则
NA
n
A
n1

例８．用0;1;2;3;4;5这六个数字，能组成多少个没有重复数字的四位数？
43< br>解：∵０不能排在首位，∴能组成四位数有
NA
6
A
5
 300
（个）

模型９．从
n
个不同的元素中每次取出
k
个不同元素作排列，规定某
s
个位置的元素只能从某
r
个元sks
中选取．则
NA
r
A
ns

例9．用1;2;3;4;5这五个数字，能组成多少个没有重复数字的四位偶数？
13解：∵个位只能排2或5，∴能组成四位偶数有
NA
2
A
4
48
（个）
模型10．从
n
个不同的元素中每次取出
k
个不同元素作排列，规定某
s
个位置的元素只能从某
r
个元
sks
中选取，而其余位置的元素只能从其余元素中选取．则
NA
r
A
ns

例10．用
1至9
这九个数字，能组成多少个没有重复数字并且奇 数位（从右边起）是奇数，偶数位是
偶数的五位数？
解：∵奇数位的个位，百位和万位只能从 1;3;5;9这四个数中选取，偶数位的十位和千位只能从2;4;6;8
32
这四 个数中选取，∴能组成五位数共有
NA
5
A
4
720(个)< br>
rnr1
模型11．把
n
个不同的元素作全排列，规定某
r
个元素连排在一起，则
NA
r
A
nr1
< br>例11．用1;2;3;4;5这五个数字，能组成多少个没有重复数字并且两个偶数字连在一起的五位数 ？
解：先把两个偶数字看成一个整体，作为一个数字来参加排列，然后再考虑这两个数字的前后顺序关

24
系，因此能组面符合条件的五位数有
NA
2
A< br>4
48(个)
模型12．把
n
个不同的元素作全排列，规定某
r
个元素中的任意两个元素都不连排在一起，
（
r≤
n1
rnr
） 则
NA
nr1
A
nr

2
例12．用 1;2;3;4;5;6这六个数字，能组成多少个没有重复数字并且任意两个奇数字都不连在一起的
六位数？
解：先排好三个偶数字，然后在三个偶数字之间的四个空位中，任选三个来排奇数字 ，因此能组
33
成合条件的六位数有
NA
4
A
3
24372(个)

例13．某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体 育六门课，如果第一节不排体育，最后
一节不排数学，一共有多少不同的排法？
解法（一）把六门课看成元素，把课表节次看成位置，元素找位置．
由于数学体育这两个元素有附加条件，为此优先加以考虑，若以数学课排法进行分类；则
51414

○
1数学排在第一节，
N
1
A5
；
○
2数学排在第二节，
N
2
A
4
A
4
；
○
3数学排在第三节，
N
3
A
4
A
4

1414

○
4数学排在第四节，
N
4
A
4
A
4
；
○
5数学排在第五节 ，
N
5
A
4
A
4

4
根据加 法原理，共有
N
1
+N
2
+N
3
+N
4< br>+N
5
21A
4
504(种)
不同排法．
解法（二）用位置分析法，先安排有约束条件的位置，位置选元素．
若以第一节排法进行分类：
51414

○
1第一节排数学，
N
1
A
5
；
○
2第一节排语文；
N
2
A
4
A
4
○
3第一节排英语，
N
3
A
4
A4

1414

○
4第一节排物理，
N
4A
4
A
4
；
○
5第一节排化学，
N
5
A
4
A
4

4
根据加法原理，共有
N
1
+N
2
+N
3
+N
4
+N
5
21A
4
504(种)
不同排法．

解法（三）考虑用间接法．不考虑任何限制条件，共有
A
6
种不同的排法，但其中所括
（１）数学排在最后一节的排法．
A
5
种；（２）体育排在第一节的排 法．
A
5
种；这两种情况下，
都包含了数学排在最后一节，体育排在第一节的 情况，这种情况共有
A
5
种不同的排法．因
654
此，不同的排法共 有
NA
6
2A
5
A
4
504(种)

5
55
6
说明(1)有约束条件的排列问题,应先排好有约束条件的元 素或位置,然后再排没有约条件的元素或位
置.也可用间接法解,先排不考虑约束条件,求出所有的排列 种数,然后减去不合题目要求的排
列种数.
(2)本的一般模型是:把个不同的小球 入入个有编号的盒中,每盒一个,但其中的甲球不能放入A盒,
nn1n2
乙球不能放入B 盒,共有不同的放法
NA
n
2A
n1
A
n2种.
例14．A、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ五人站成一排，
（１）如果Ａ、Ｂ两人要站在两端，有多少种站法？
（２）如果Ａ、Ｂ两人不站在两端，有多少种站法？
（３）如果Ａ、Ｂ两人相邻，有多少种站法？
（４）如果Ａ、Ｂ两人不相邻，有多少种站法？

（５）如果Ａ在Ｂ的左边（可以不相邻），有多少种站法？
解（１）因为Ａ、Ｂ排 在两端的的不同方法有
A
2
种方法，第二步排中间三人共有
A
3种不同的排法，
23
所以根据乘法原理不同的排法共有
A
2< br>A
3
12
种不同的排法．
23
（２）第一步由C、D、 E三人中任选两人排在两端的不同排法有
A
3
种不同的排法，第二步由余下
3 32
的三人排中间位置共有不同的排法
A
3
种。所以符合要求的不同排法总数 为
A
3
A
3
36
种．
2
（3）把A 、B视为一个整体（AB），则（AB），C，C，D，E的全排列数是
A
4
种，再排 AB则有
A
2
种
42
方法．因此符合要求的排法共有
A4
A
2
48
种．
42
（４）Ａ、B两人不相邻，有两种思考：
542
1用间接法，
NA
5
A
4
A
2
=72种．
○
2先排 好C、D、E，然后现让A、B站到C、D、E的
○
空位（包括两端），即排C、D、E有A
3
种方法，排A、B插空位有
A
4
种方法，所以共有
42
A
4
A
2
48
种．
32
（5）由于A的位置确定后，B的位置便可选择自已的位置。为此，可按A的位置进行分类：
A在左 数第第一位置的站法有
A
4
A
3
种；A在左数第第二位置的站法有
A
3
A
3
种；
A在左数第第三位置的站法有
A
2
A
3
种；A在左数第第四位置的站法有
A
1
 A
3
种．
所以Ａ在Ｂ的左边的不同站法共有Ｎ＝
A
4
A
3
＋
A
3
A
3
＋
A
2
A
3
＋
A
1
A
3
＝60种．
13131313
1313
1313