外网如何访问内网-小学课本

1. 一人每天至少看1h电视，总共看7周，但每周最多看11h．试证明存在连续若干天，在
此期间他恰好看电视20h（假设看电视时间是整数个小时）.


2. 今有12只鸽子飞进5个笼子，则必有有一个笼子，该笼子里至少有几只鸽子




m1

121

113

n5

3. 1）由两个英文字母后接四个数字来组成汽车牌照，问不同的牌照有多少种？
2）如果两个英文字母必须不同，组成的牌照又有多少种
（1）262×104
（2）P(26,2) ×104
4. 10 男生 5 女生围圆桌聚餐，任何两个女生不相邻的坐法有多少种

解
男生先坐好，有 9！种坐法。
固定一种男生坐法，然后让女生插入10 个空档，女生之间还存在排序问题，故有
P
(10,
5) 种排法
所以，共有 9!
P
(10, 5) 种坐法。
5.
n
对夫妻围圆桌就坐，要求每对夫妻不相邻，问有多少种入座方式

解 将
n
个丈夫记为，他们的妻子分别记为，设性质
pi表示
xi
与
yi
相邻，其中
i
=1,2,…,
n
.
令
S
为2
n
个人的全体环排列构成的集合，
S
的满足性质
pi
的子集
Ai
，
i
=1,2,…,< br>n
.那么有






|S|(2n1)!
|A
i
|2(2n2)!,i1,2,...,n
|A
i
I
A
j
|2
2
(2n3)!1 ijn
......
|A
1
I
A
2
ILI< br>A
n
|2
n
(n1)!
由包含排斥原理得到


n

n

2

n

3n

n

n

N(2n1)!

2(2n2)!

2(2n3)!

2(2n4)!.. ....(1)

2(n1)!

1

2

3

n



n1
6. 证明

1

n

1

n

1

n

21
1



 ......


2

1

3
2

n1

n

n1
n
n
(1x)

n
x
k
k
k0
将等式两边对< br>x
从0到1积分得
n
1
n
n
(1x)dx

0
k

k0
证明：
n1
1
n

k0



 

(1x)x



n

k
k1n1
211
n


n1k1

k< br>
1
0
n1
0
n
k0
x
kdx
k1
1
0

7. 求1到1000之间不能被5 ，6 ，或8整除的自然数的个数
解：用{
a
1
,
a
2
,…,
a
n
}表示
n
个整数
a
1
,a
2
,…,
a
n
的最小公倍数。
设
S
={1,2,…,1000}，令
A
,
B
,
C
分别为1~ 1000中能被5,6,8除尽的整数集合。显然，其补
集代表不具备被整除性质的集合。根据题意有








1000
1000

1000

|S|1000,|A|
200,|B|166,|C|125


5
6

8


1000

10 00

|AIB|

33,|BIC|41,


lcm{5,6}

lcm{6,8}


1000

1000

|CIA|

25,|AIBIC| 8


lcm{8,5}

lcm{5,6,8}

|AIBIC|1000(200166125)(334125)8600

根据容斥原理，不能被5,6,8中任何一个数整除的数目为


S={1a
1
,a
2
,a
3
,L,a
k
}
8. 试确定多重集的 组合数
解：把S的
r
-组合分成两类：
包含
a
1
的
r
-组合：这种组合数等于{∞*
a
2
,…, ∞*
a
k
}的(
r
−1)-组合数，即
N
1
=
C
((
k
-1)+(
r
-1)-1 ,
r
-1)=
C
(
k+r-3
,
r
-1).
不包含
a
1
的
r-组合：这种组合数等于{∞*
a
2
,…,∞*
a
k
} 的
r
-组合数，即
N
2
=
C
((
k
-1)+
r
-1,
r
)=
C
(
k
+
r
-2,
r
).
由加法法则，所求的
r
−组合数
N=N
1
+N
2
=C
(
k+r
-3,
r
-1)
+C(k+r
-2,
r
)
.

9.一糕点店生产8种糕点，若一盒内装有12块各种糕点，并且可认为每种糕点无限多，则
你 能买到多少种不同的盒装糕点（假设装盒与顺序无关）
这是一个组合问题，即
s
的12-可重组合,所以




a< br>1
,a
2
,a
3
,L,a
8


1281

19

N

< br>
50388
12

12

10. 确定
T
= {3
a
, 4
b
, 5
c
}的 10 组合数。

解法1（用容斥原理）令
T
= {
*
a
,
b
,
c
}，
S
为
T
*
的 10 组合的集合，
A
1
为至少有 4 个
a
的
T
*
中 10 组合的集合，
A
2
为至少有 5 个
b
的
T
*
中 10 组合的集合，
A
3
为至少有 6 个
c
的
T
*
中 10 组合的集合。

1031< br>
12

1211
|S|

66




2

10

2


Mathematics Modeling
Lianyun gang
将4个a加到T
*
的6组合得到至少有4个a的10组合，
|A1
|T
*
的至少有4个a的10组合数

631

8

87

T
*
的6组合数



2
28；

2




6

将5个b加到T
*
的5组合得到至少有 5个b的10组合，
|A
2
|T
*
的至少有5个b的10组合数< br>
531

7

76

T
*
的5组合数



2
21；






5

2

将6个c 加到T
*
的4组合得到至少有6个c的10组合，
|A
3
|T*
的至少有6个c的10组合数

431

6

65

T
*
的4组合数


2
15。






4

2


11. 用四种颜色（红、蓝、绿、黄）涂染四台仪器A,B, C和D．规定每台仪器只能用一种颜
色并任意两台仪器都不能相同．如果B不允许用蓝色和红色，C不允 许用蓝色和绿色，D不
允许用绿色和黄色，问有多上种染色方案
解：由题意，可得棋盘如右图，其中有阴影的格子表示禁区。
G
L
W
Y

求得禁区多项式
R
(

















A B C D

)=1+6
x
+10
x
2
+4
x
3
，
即
r
1
=6，
r
2
=10，
r
3
=4，故所求 方案数为
4!-6×3!+10×2!-4×1!=4


a
n
5a
n1
6a
n2
，

n2
1 2.解递推关系 （ ）

a
0
4,a
1
9.

2
x5x60
：特征根分别： ,
x1
2,x
2
3
原递推关系的通解：对应的特征方程为
a
0
4,a
1
9
a
n
c
1
2
n
c
2
3
n
解为： , 把 ， 代入




c
1
c
2
4


2c
1
3c
2
9

c
1
3
解得：

c1

2

原递推关系的通解为：
a

n

32
n
3
n
< br>a
n
5a
n1
6a
n2
2n3,

13.解递推关系

a
0
5,a
1
10 .

n2


2
x5x6
解：因为特征方程为 ,得特征根为2,3 ,所以原递推式对应的齐次递推
nn
a
n
5a
n1
6a
n2
a
n
Ag2Bg3
式：
a
，有通解为： , 设原递推式有特
n
CnD
a
0
5,a
1
10
a
n
A2
n
B3
n
n2
解 ,代入原递推式得C=1,D=2,因此原递推式有通解
为 ,再将 ,代入通解得 A=2,B=1,所以
n

a

n

n



1



3



n



2



2
a
n
n5
的生成成函数．14. 求 （ ）

解：设



n0
A(t)

a
n
t
n
n0
A (t)

(n5)t

(n1)t4

t
nnn

144t
(1t)
2
4(1t)1

(1t)
2
54t

(1t)
2
n0n0n0