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专题九 计数原理
问题一：复杂的排列组合问题
一、考情分析
高考对这 部分的要求还是比较高的.考查两个计数原理、排列、组合在解决实际问题上的应用.值得提醒地是：
计 数模型不一定是排列或组合.画一画,数一数,算一算,是基本的计数方法,不可废弃.
二、经验分享
1.排列应用问题的分类与解法
(1)对于有限制条件的排列问题， 分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊
元素优先原则，即先安排有限制 条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
(2)对相邻问题采用捆绑法 、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的
常用方法.
2.组合问题常有以下两类题型变化
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含 ”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则
先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选 取．学-科网
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与 “至多”这两个关键词的含
义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂 时，考虑逆向思维，用间接
法处理．
3.排列与组合综合问题的常见类型及解题策略
(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑< br>它们“内部”的排列．
(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之 间或两端的空当中，它与捆绑法有同
等作用．
(3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑 问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．
(4)多元问题分类法．将符合条件的排 列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原
理求出排列总数．
三、知识拓展
1.分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键 词或关键元素、关键位

置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分 类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于
某一类．
2.利用分步乘法计数原理解决问 题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须
满足：完成一件事的各个步骤是 相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．分步必须满足两
个条件：一是步骤互相独立，互 不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．
3.解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分 解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化
为求它的对立事件．
4.解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事
2. 怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类.
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.
解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略
解排列（或） 组合问题,应按元素的性质进行分类,分类标准明确,不重不漏；按事情的发生的连续过程分步,
做到分 步层次清楚.
四、题型分析

(一)“相邻”与“不相邻”问题
【例1】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排,分别计算满足下列条件的排法种数：
（1）甲不在排头、乙不在排尾；
（2）甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；
（3）甲一定在乙的右端(可以不相邻)．

【点评】对于相邻问题,可以先将要求 相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列,同时要考虑相邻元素的
内部是否需要排列,这种方法称为 “捆绑法”；对于不相邻的元素,可先排其他元素,然后将这些要求不相邻的

元素插入空当,这种方法称为“插空法”；对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法主要有：位置优先法、
元素优先法、间接计算法．
【小试牛刀】【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊 断】已知身穿红,黄两种颜色衣服的各两人,身
穿蓝衣服的有1人,现将五人排成一列,要求穿相同颜色 衣服的人不能相邻,则不同的排法有（ ）
A. 72种 B. 78种 C. 48种 D. 84种
【答案】
C
【解析】方法一：
A
5
2A
42A
4
4A
3
48

方法二：
a,a,c
23212
c,a,a,
23212
,
2
a,c,a
2A
424
,
故共有
12122448.
选
C.
5443
(二)涂色问题
【例2】如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色( 4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区
域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有_ _______.

【分析】由于区域1,2,3与区域4相邻,由条件宜采用分步处理,又 相邻区域不同色,因此应按区域1和区域3
是否同色分类求解．

【点评】（1）解决涂色问题,一定要分清所给的颜色是否用完,并选择恰当的涂色顺序．
（2）切实选择好分类标准,分清哪些可以同色,哪些不同色．
【小试牛刀】【河南省天一大 联考2017届高三上学期阶段性测试】如图,图案共分9个区域,有6种不同颜色
的涂料可供涂色,每 个区域只能涂一种颜色的涂料,
其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色,且相邻区域的颜色不相同,则涂色方法有（ ）

A．360种 B．720种 C．780种 D．840种
【答案】B
44
【解析】先排
1
,有
6< br>种方法,再排
2,3,4,5
有
A
5
种方法,故一共有
6A
5
720
种.
(三)分配问题
【例3】有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式？
（1）分成每组都是2本的三组；
（2）分给甲、乙、丙三人,每人2本．
【分析】（1）组合知识及分步计数原理求解；（2）均匀分组问题.

【点评】不 同元素的分配问题,往往是先分组再分配．在分组时,通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分
组；③ 部分均匀分组,注意各种分组类型中,不同分组方法的求法．
【小试牛刀】【2017届广东七校联合 体高三上学期联考二】把
A,B,C,D
四件玩具分给三个小朋友,每位小朋
友至少分 到一件玩具,且
A,B
两件玩具不能分给同一个人,则不同的分法有（ ）
A．36种 B．30种 C．24种 D．18种
【答案】B
【解析】分两 步进行分析:先计算把
A,B,C,D
四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩 具的
分法数目:首先将
4
件玩具分成
3
组,其中
1
组有
2
件,剩余
2
组各
1
件,有
C
46
种分组方法,再将这
3
组对应三
3
个小朋友,有
A
3
6
种方法,则有
6636
种情况；计算
A,B< br>两件玩具分给同一个人的分法数目,若
A,B
12
两件玩具分给同一个人,则剩 余的
2
件玩具分给其他
2
人,有
C
3
A
2
6
种情况.综上可得,
A,B
两件玩具不
2

能分给同一个人的不同分法有
36630
种,故选B.
(四)排数问题
【例4】在某种信息传输过程中,用四个数字的一个排列（数字允许重复）表 示以一个信息,不提排列表示不
同信息. 若所有数字只有0,1,则与信息0110之多由四个相对应位置上数字相同的信息个数为（ ）
A. 9 B.10 C.11 D. 12
【分析】信息0110是四个数字,此 类“至多”、“至少”类型的问题,可以直接利用分类讨论求解,也可以转化为
反面的问题,利用间接法 求解.
12
【解析一】（直接法）若0相同,只有1个；若1相同,共有
C
4
4
个；若2相同,共有
C
4
6
个,故共有
1 4611
个.
2
【解析二】（间接法）若3个数字相同,共有
C4
6
个,若4个数字相同共4个,二不同排列个数为
2
4
1 6
个,
所以共有
16(14)11
个.
【点评】该题中要求 的是“至多”有两个位置上数字相同,易出现的问题是分类混淆,漏掉各位数字信息均不同
的情况,解决 此类问题的关键是准确确定分类标准,分类计数时要做到不重不漏.
【小试牛刀】【2016届湖南省 长沙市雅礼中学高三月考】用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中
比4000 0大的偶数共有（ ）
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
【答案】B
33
【解析】据题意,万位上只能排4、5．若万位上排4 ,则有
2A
4
个；若万位上排5,则有
3A
4
个．所以 共有
33
2A
4
3A
4
524120
个．选B．
(五)摸球问题
【例5】【浙江温州市十校联合体2014届高三上学期期初联 考】将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一
排,然后从左至右依次给它们赋以编号l,2,…,8. 则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有 种.
4
【分析】注意到4个相同的红 球没有区别,4个相同的黑球也没有区别,先求出任意排放的排法
C
8
70
,编号
相等的结果必有四组,其中每组一黑球一白球的编号和为9,则有
(1,8)
,
(2,7)
,
(3,6)
,
(4,5)
四种,红黑互换编号
就有8种,因为红球的编号之和小于黑球编号之和的排法和大于的排法一样,则红球的编号之和小于黑球 编号
之和的排法有
7062
31
种.
2

4
【解析】依题意,任意排放的排法
C
8
70
,红球编号与黑球编号相等的情况有
(1,8)
,
(2,7 )
,
(3,6)
,
(4,5)
四种,
红黑互换编号就是8种 ,所以红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有
7062
31
种.
2
【点评】要搞清组合与排列的区别与联系：组合与顺序无关,排列与顺序有关；排列可以分成先选取( 组合)
后排列两个步骤进行．
【小试牛刀】四个不同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有 种（用数字
作答）．
【答案】42

(六)“至多”、“至少”问题
【例6】某医院有内科医生12名,外科医生8名,现选派5名参加赈灾医疗队,其中
（1）甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法？
（2）队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法？
【分析】“无序问题”用组合,注意分类处理．
1
C
4
＋C
3
＝6 936(种)； 【解析】（1）分两 类：甲、乙中有一人参加,甲、乙都参加,共有C
21818
（2）方法一(直接法)：至少有 一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内
4233241
二外 ；四内一外,所以共有C
1
12
C
8
＋C
12
C< br>8
＋C
12
C
8
＋C
12
C
8＝14 656(种)．
5
－(C
5
＋C
5
)＝14 方法二(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数,得C
20128< br>656(种)．
【点评】 对于有条件的组合问题,可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些 )元素问题；也可能遇到“至多”或
“至少”等组合问题的计算,此类问题要注意分类处理或间接计算, 切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计
算错误．选择恰当分类标准,避免重复遗漏,出现“至少、 至多”型问题,注意间接法的运用．
【小试牛刀】【江西省新余市第一中学2017届高三上学期调研 考试】西部某县委将
7
位大学生志愿者(
4
男
3
女) 分成两组, 分配到两所小学支教, 若要求女生不能单独成组, 且每组最多
5
人, 则不同的分配方案共有
（ ）

A．
36
种 B．
68
种 C．
104
种 D．
110
种
【答案】C
32222
(C1)A68(C C)A36
种,所
72732
【解析】分组的方案有3、4和2、5两类,第一 类有种;第二类有
以共有N=68+36=104种不同的方案.
(七)信息迁移题
【例7】回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 24 9等．显然2位回文数有
9个：11,22,33,…,99.3位回文数有90个：101,111, 121,…,191,202,…,999.(*)
则：（1）4位回文数有________个；（ 2）2n＋1(n∈N
*
)位回文数有________个．(**)
【分析】由(*)式,理解“特殊”背景——回文数的含义,借助计数原理计算．
结合(**),可从2位回文数,3位回文数,4位回文数探索求解方法,从特殊到一般发现规律． < br>【解析】（1）4位回文数相当于填4个方格,首尾相同,且不为0,共9种填法；中间两位一样,有10 种填法．共
计9×10＝90(种)填法,即4位回文数有90个．
（2）根据回文数的定义 ,此问题也可以转化成填方格．由计数原理,共有9×10
n
种填空．
【点评】 （ 1）一题两问,以“回文数”为新背景,考查计数原理,体现了化归思想,将确定回文数的问题转化为“填
方格”问题,进而利用分步乘法计数原理解决,将新信息转化为所学的数学知识来解决．
（2）从特 殊情形入手,通过分析、归纳,发现问题中隐含的一些本质特征和规律,然后再推广到一般情形,必要
时 可以多列举一些特殊情形,使规律方法更加明确．
【小试牛刀】【浙江省金华、丽水、衢州市十二校2 017届高三8月联考数学（理）试题】回文数是指从左
到右读与从右到左读都一样的正整数,如2,1 1,242,6776,83238等,设
n
位回文数个数为
a
n
（
n
为正整数）,如
11是2位回文数,则下列说法正确的是（ ）
A.
a
4
100
B.
a
2n110a
2n

nN


C.
a
2n
10a
2n1

nN


D.以上说法都不正确
【答案】B.
【解析】A：
a
4
91 090
,故A错误；根据对称性可知,
a
2n1
10a
2n< br>,故B正确,C,错误,故选
B.
四、迁移运用
1.【湖南省长沙市雅礼 中学、河南省实验中学2018届高三联考】郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到
4个展区提供服务 ，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不
在一起，不同的 安排方案共有（ ）
A. 168种 B. 156种 C. 172种 D. 180种
【答案】B

【解析】分类：（1）小李和小王去 甲、乙，共
种，（3）小王，小李均没有去甲、乙，共
种（2）小王，小李一人去甲、乙，共< br>种，总共N种，选B.
2．【四川省资阳市2018届高三4月模拟】从0，1，2，3这4个 数字中选3个数字组成没有重复数字的三位
数，则该三位数能被3整除的概率为
A.
1552
B. C. D.
31293
【答案】C

3．【贵州省凯里市第一中学2018届高三模拟 】2017年11月30日至12月2日,来自北京、上海、西安、郑
州、青岛及凯里等七所联盟学校( “全国理工联盟”)及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研
活动，在数学同课异构活动 中,7名数学教师各上一节公开课，教师甲不能上第三节课，教师乙不能上第六
节课，则7名教师上课的 不同排法有（ ）种
A. 5040 B. 4800 C. 3720 D. 4920
【答案】D
75
【解析】由题意可得：
A
7
A
5
50401204920

故选
D

4．【2018届湖南省（长郡中学、衡阳八中）、江西省（南昌二 中）等十四校高三第二次联考】甲、乙、丙、
丁、戊五位同学相约去学校图书室借
A
、
B
、
C
、
D
四类课外书（每类课外书均有若干本），已知每 人均
只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅
A
类课外书，则不同的借阅方案 种类为（ ）
A.
48
B.
54
C.
60
D.
72

【答案】C
4
【解析 】分两类：乙、丙、丁、戊四位同学
A
、
B
、
C
、
D
四类课外书各借1本，共
A
4
24
种方法；
23乙、丙、丁、戊四位同学
B
、
C
、
D
三类课外书各借1 本，共有
C
4
A
3
36
中方法，故方法总数为60种.
故选C.
5．已知数列{a
n
}共有5项，a
1
＝0，a
5
＝2，且|a
i
＋
1
－a
i
|＝1，i ＝1,2,3,4，则满足条件的数列{a
n
}的个数为( )
A. 2 B. 3

C. 4 D. 6
【答案】C
【解 析】因为
1
，因为
，所以或，即数列从前往后，相邻两项之间增加
1
或减少
的个数为；故选
C.
，所以从到有
3
次增加
1，有
1
次减少
1
，故数列
6.【2017届湖南长沙雅礼中学高 三月考四】四位男生和两位女生排成一排,男生有且只有两位相邻,则不同排
法的种数是（ ）
A．72 B．96
C. 144 D．240
【答案】C
【解析】先从
4
为男生中选
2
为捆绑在一起,和剩余的
2
为 男生,插入到
2
为女生所形成的空隙中,所以共有
A
4
2
A
2
2
A
3
3
144
种不同的排法,故选C. < br>7．【2017届重庆市第一中学高三12月月考】某班某学习小组共7名同学站在一排照相,要求同学甲 和乙必
须相邻,同学丙和丁不能相邻,则不同的站法共有（ ）种．
A．
A
2
A
4
A
5
B．
A
2
A
4
A
4

C．
A
2
A
5
A
6
D．
A
5
A
6

【答案】A
25252
242242

8．【2017届湖南师大附中高三上学期月考四 】从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加
公益活动,每人一天,要求星期五有2人参 加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有（ ）
A．40种 B．60种 C．100种 D．120种
【答案】B
【解析】
22
试题分析：先排 星期五,从
5
人中选
2
人有
C
5
,种,再从剩下的
3
人中选
2
人参加星期六、星期日,有
A
3
种,故
22
共有
C
5
A
3
10660
种, 选B.

9．【2017届福建闽侯县三中高三上期中】将3本相同的诗集, 2本相同的小说全部分给4名同学,每名同学至
少1本,则不同的分法有（ ）
A．24种 B．28种
C．32种 D．36种
【答案】B
【解 析】第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集,这种情况下的分法有：先将一本小说和一本诗集分到
一 个人手上,有
4
种分法,将剩余的
2
本小说,
1
本诗集分给 剰余
3
个同学,有
3
种分法,那共有
3412
种；第< br>二类：有一个人分到两本诗集,这种情况下的分法有：先两本诗集分到一个人手上,有
4
种情况,将剩余的
3
本
小说分给剩余
3
个人,只有一种分法,那共有 ：有一个人分到两本小说,这种情况的分法有：
414
种,第三类：
先将两本小说 分到一个人手上,有
4
种情况,再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的
3
个人,有
3
种分法,
那共有：
4312
种,综上所述：总共有：
1241228
种分法,故选B.
10.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜 色,并使同一条棱上的两个端点异色,若只有5种颜色可供使用,则不
同的染色方法总数有 （ ）
A.240种 B.300种 C.360种 D.420种
【答案】D

1 1．某铁路货运站对6列货运列车进行编组调度,决定将这6列列车编成两组,每组3列,且甲与乙两列列车不< br>在同一小组,如果甲所在小组3列列车先开出,那么这6列列车先后不同的发车顺序共有________ 种．
【答案】216
2
＝6种． 【解析】先进行分组,从其余4列火车中任取2 列与甲一组,不同的分法为C
4
由分步计数原理得不同的发车顺序为C
2
A< br>3
A
3
4
·
3
·
3
＝216种．
12.【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷,14】两所学校分别有2名、3名学生获 奖,这5名学
生要排成一排合影,则同校学生排在一起的概率是__________.
【答案】
1

5
5232
【解析】5名学生要排成一排合影 共有
A
5
种不同的排法,同校学生排在一起共有
A
2
A3
A
2
种不同的排法,所以

232
A
2
A
3
A
2
1
所求概率为
P
.
5
A
5
5
13．某班级原有一张周一到周五的值日表,五位班干 部每人值一天,现将值日表进行调整,要求原周一和周五的
两人都不值这两天,周二至周四的这三人都不 值自己原来的日期,则不同的调整方法种数是
_________________（用数字作答）.
【答案】
14．【2017届四川双流中学高三上学期必得分】某科室派出4名调研员到3 个学校,调研该校高三复习备考
近况,要求每个学校至少一名,则不同的分配方案种数为 .
【答案】
36

211
C
4
C
2< br>C
1
【解析】分两步完成:第一步将
4
名调研员按
2,1,1
分成三组,其分发有种；第二步将分好的三组分
2
A
2
211
C
4
C
2
C
1
3
A
3
36< br>种,故填
36
.
2
A
2
配到三个学校,其分发有< br>A
3
3
种,所以不同的分配方案种数
15．【2017届甘肃肃南裕固 族自治县一中高三理12月月考】将编号为1,2,3,4的四个小球放入3个不同的盒
子中,每个盒子 里至少放1个,则恰好1个盒子放有2个连号小球的所有不同方法有 种．（用数字
作答）
【答案】
18

【解析】由题意这四个数有< br>12
,
3
,
4
；
1
,
23
,
4
；
1
,
2
,
34
三种分组方式,将其 放入三个盒子有
3
A
3
3
3618
种方法,故应填答 案
18
.
16．【2017届山东寿光现代中学高三理12月月考】三位老师和三位 学生站成一排,要求任何两位学生都不相
邻,则不同的排法总数为 ．学科网
【答案】
144

【解析】
33
试题分析:由题设运用插 空法可得
A
3
A
4
144
．故应填答案
144
．
17．【2017届浙江省高三上学期高考模拟】如图所示,某货场有两堆集装箱,一堆2 个,一堆3个,现需要全部装
运,每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱,则在装运的过程中不同取 法的种数是 ____________（用数

字作答）.


【答案】
10
.
【解析】如下图所示,对集装箱编号,则可知排 列相对顺序为
1
,
2
,
3
（即1号箱子一定在2号箱子前被 取走,2
5
A
5
号箱子一定在3号箱子前被取走）,
4
,< br>5
,故不同取法的种数是
32
10
,故填：
10
.
A
3
A
2

18.某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选 取4人发言,要求甲、乙两人至少有一人参加,且若甲、乙同时参
加,则他们发言时顺序不能相邻,那么 不同的发言顺序有 .
【答案】600种
134224
【解析】 若甲、乙其中一人参加,有
C
2
C
5
A
4
480
种情况,若甲、乙两人都参加,有
C
2
C
5
A
4< br>240
种情况,
2223
其中甲、乙相邻的有
C
2
C
5
A
2
A
3
120
种情况,则不同的发言顺序 有
480240120600
种情况.