thereafter-赞美父亲伟大的古诗

第一章 计数原理
———
基本计数原理和排列组合

一、
概念回顾：
（一）两个原理.
1. 加法原理
每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务 ；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即
．．．．．．
分类不重)；完成此任务的任何一种 方法，都属于某一类(即分类不漏)
．．．．．
2. 乘法原理
任何一步的一种 方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这步才能完成此任务；各步计
．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．
n
．．
数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完 成此事的方法也不同
．．．．
3. 可以有重复元素的排列.
．．．．．．．从
m
个不同元素中，每次取出
n
个元素，元素可以重复出现，按照一定的 顺序排成一排，那么第一、第二……
第
n
位上选取元素的方法都是
m
个，所以从
m
个不同元素中，每次取出
n
个元素可重复排列数
m.m .m.....mm
n
例如：
n
件物品放入
m
个抽屉中， 不限放法，共有多少种不同放法？ （解：
m
n
种）
（二）排列组合
1、排列
（1）排列数的计算：
从
n
个不同元素中取出
m(mn)
个元素排成一列，称为从
n
个不同元素中取出
m
个元素 的一个排列. 从
n
个不同
m
A
元素中取出
m
个元 素的一个排列数，用符号
n
表示.
（2）排列数公式：
A
m
n(n1)(nm1)
n!
(mn,n,mN)
注意：
nn!(n1)!n!
规定
0!1

(nm)!
注：含有可重元素的排列问题
．．．．．．
...n
k
，且对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集
S
有
k
个不同元 素
a
1
,a
2
,...,a
n
其中限重复数为n
1
、n
2
、
nn
1
n
2
...n
k

, 则
S
的排列个数等于
n
n!
.
n
1
!n
2
!...n
k
!
例如：已知数字3、2、2，求其排 列个数
n
(12)!
3
又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排 列个数
n
3!
1
.
3!
1!2!
2、组合
（1）组合数的计算：
从
n个不同的元素中任取
m(mn)
个元素并成一组，叫做从
n
个不同元素 中取出
m
个元素的一个组合. 从
n
个不
同元素中取出
m< br>个元素的一个排列数，用符号
C
n
表示。
m

0n
A
m
n(n1)(nm1)n!
m
CC
（2 ）排列数公式：：
C
n

规定
C
n

nn
1

m
A
m< br>m!m!(nm)!
m
n
mnm
m1mm
CC
C
n
C
n
（3）两个公式：①
n
②
C
n
n
1

二、基础训练：
1．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）

（A）24个 （B）30个 （C）40个 （D）60个
2．甲、乙、丙 、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（ ）
（A）12种 （B）18种 （C）24种 （D）96种
3．某天上午要 排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共
有（ ）
（A）6种 （B）9种 （C）18种 （D）24种
4．由0，l，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的三位数中，奇数个数与偶数个数之比为 （ ）（A）
l：l （B）2：3 （C） 12：13 （D） 21：23
5．由0，l，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数中，从小到大排列第86个数是 （ ）
（A）42031 （B）42103 （C）42130 （D）43021
6 ．若直线方程
AxBy0
的系数
A、B
可以从0，1，2，3，6，7六 个数中取不同的数值，则这些方程所表示
的直线条数是 （ ）
（A）
A
5
一2 （B）
A
5
（C）
A
5
+2 （D）
A
5
－2
A
5
2222
1

7．从
a,b,c,d,e
这五个元素中任取四个排成一列，
b
不排在第二 的不同排法有（ ）
（A）
A
4
A
5
（B）
A
3
A
3
（C）
A
5
（D）
A
4
A
4

8. 6个人站一排，甲不在排头，共有 种不同排法．
9. 6个人站一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有 种不同排法．
10.五男二女排成一排，若男生甲必须排在排头或排尾，二女必须排在一起，不同的排法共有 种．
13124
13
三、解题方法及训练：
解排列组合问题，首先要弄清 一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”
的还是“无序的”，也 就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的
带有附加条件 的问题，需掌握以下
几种常用的解题方法：

1、特殊优先法
：对于存在特殊 元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特
殊元素或特殊位置，再去 解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。
例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有 重复数字的三位数，其中偶数共有________个（30个）
2、插空法：
解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决。
例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______ (答案:3600)

3、
捆绑法
：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻 的元素当成“一个”元素进行排列，然
后再局部排列。
例如：6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种（答案：240）
4、排除法
：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法 排列组合应用题往 往和数学其他章节

某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答时，要注意使用相关知 识对答案进行取舍。
例如：从集合

0,1,2,3,5,7,11
中任取3个元素分别作为直线方程
AxByC0
中的A
、
B
、
C，所得的经过坐
标原点的直线有_________条（答案：30）
5、剪截法（隔板法）：
n
个 相同小球放入
m(mn)
个盒子里 ,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于
n
个
相同小球串成一串从间隙里选m1
个结点剪成
m
段（插入
m1
块隔板），有
C< br>n1
种方法
m1
练一练：
例1 求不同的排法种数：
（1）6男2女排成一排，2女相邻； （2）6男2女排成一排，2女不能相邻；
（3）4男4女排成一排，同性者相邻； （4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．
解：（1）是“相邻”问题，用捆绑法解决：
A
2
A
7

27
（2）是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解．6男先排实位，再在7个空位中排2 女，即用插孔法解决：
A
6
6
A
7
2

8 27
另法：用捆绑与剔除相结合：
A
8
A
2
A
7

（3）是“相邻”问题，应先捆绑后排位：
A
4
A
4A
2

442
431
（4）是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解:
A
4
A
4
A
2

高考题训练（一）：
一、选择题
1.（2009卷理）2010年亚运会组委会要从小、小、小、小罗、小王五名 志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、
礼仪、司机四项不同工作，若其中小和小只能从事前两项工作， 其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案
共有
A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种
11322
【解析】分两类：若小或小入选，则有选法
C
2
C
2
A
3
24
；若小、小都入选，则有选法
A
2
A
3
12
，共有选法36
种，选A.
2.（2009卷文）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）
A．8 B．24 C．48 D．120
【答案】C
【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.
.w
1
2和4排在末位时，共有
A
2
2
种排法，
3
其余三位数从余下的四个数中任取三个有
A
4
43224
种排法，
于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有
22448
（个）.故选C.

3．（2009卷理）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）

A．324 B．328 C．360 D．648
【答案】B
【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.
2
首先应考虑“0”是特殊元素，当0排 在末位时，有
A
9
9872
（个），
111
当0不排在末位时，有
A
4
A
8
A
8
48 8256
（个），
于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有
72256328
（个）.故选B.
4.（2009全国卷Ⅱ文）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法 有
（A）6种 （B）12种 （C）24种 （D）30种
答案：C
解析：本题考查分类与分步原理及组合公式的运用，可先求出所有两人各选修2门的种数C
4
C
4
=36，再求出两
人所选两门都相同和都不同的种数均 为
C
4
=6，故只恰好有1门相同的选法有24种 。
5.（2009全国 卷Ⅰ理）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选
出2 名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )
（A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种
22
2
112
解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有
C
5
C
3
C
6< br>225
种选法;
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

211
(2) 乙组中选出一名女生有
C
5
 C
6
C
2
120
种选法.故共有345种选法.选D

6.(2009卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、 乙两名学生不能分
到同一个班，则不同分法的种数为
A.18

B.24

C.30

D.36

【答案】C
【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在 一个班的种数是
C
4
2
，顺序有
A
3
3
种 ，而甲乙被分在同一个班的
233
A
3
A
3
30
有
A
3
3
种，所以种数是
C
4
7.（2009 卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，
则不同排法的种数是
A. 60 B. 48 C. 42 D. 36
【答案】B
22
【解析】 解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有
C
3
A
26
种不同排法），剩下一名女生记
作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、 B之间（若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男
生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生 甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A左B右和A右B左）
最后再在排好的三个元素中选 出四个位置插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法。
22
解法二；同解法一，从3名 女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有
C
3
A
2
6
种不同排法），剩下一名女生
记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：
第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有
6A
2
A
2< br>=24种排法；
22

第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生 B和男生甲只有一种排法，此时共有
6A
2
＝12种排法
第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法。
此时共有
6A
2
＝12种排法
三类之和为24＋12＋12＝48种。
8. （2009全国卷Ⅱ理）甲、乙两人从4门课程中各选 修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共
有
A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2
2
222
解：用间接法即可.
C
4
C
4
C
4
30
种. 故选C
9.（2009卷理）从5名男医生 、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同
的组队方案共有
（A）70种 （B） 80种 （C） 100种 （D）140种
【解析】直接法：一男两女,有C
5
1
C
4
2
＝5 ×6＝30种,两男一女,有C
5
2
C
4
1
＝10×4＝4 0种,共计70种
间接法：任意选取C
9
3
＝84种,其 中都是男医生有C
5
3
＝10种,都是女医生有C
4
1
＝4 种,于是符合条件的有84
－10－4＝70种.
【答案】A
10.（2009卷 文）从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一
人参 加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有
A.120种 B.96种 C.60种 D.48种
【答案】C
【解析】5人中选4人则有
C
5
种，周五一人有
C
4
种，周 六两人则有
C
3
，周日则有
C
1
种，故共有
C5
×
C
4
×
C
3
=60
种,故选C
11.（2009卷文）某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各 有1人到会，会
上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【 B 】
A．14 B．16 C．20 D．48
321
解:由间接法得
C
6
C
2
C
4
20416
，故选B.
4121412
12.（200 9全国卷Ⅰ文）甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选
出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有
（A）150种 （B）180种 （C）300种 （D）345种
【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题，基础题。
211112解：由题共有
C
5
C
6
C
2
C
5< br>C
3
C
6
345
，故选择D。
13.（2009 卷文）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为
(A)432 (B)288 (C) 216 (D)108
答案:C.
网
解析:首先个位数字 必须为奇数，从1，3，5，7四个中选择一个有
C
4
种，再丛剩余3个奇数中选择一 个，从2，4，
1123
6三个偶数中选择两个，进行十位，百位，千位三个位置的全排。则共 有
C
4
C
3
C
3
A
3
216个
故选C.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
1

14.(2009卷理)从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而 丙没有入选的不同选
法的种数位 [ C]
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A 85 B 56 C 49 D 28
【答案】：C
12
【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：
C
2
C
7
42
，另一类是甲乙都去的选法有
1
C
2
2
C
7
=7，所以共有42+7=49，即选C项。
15.（ 2009卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相< br>邻，则不同排法的种数是
A. 360 B. 188 C. 216 D. 96
【考点定位】本小题考查排列综合问题，基础题。
3 222
解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有
A
3C
3
A
4
A
2
332
种，其中男生甲站两端 的
12222
有
A
2
A
2
C
3
A
3
A
2
144
，符合条件的排法故共有188
2221 12222
解析2：由题意有
2A
2
(C
3
A
2
)C
2
C
3
A
2
(C
3
A
2
)A
4
188
,选B。
二、填空题
16.（2009卷理）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同 的安排方案
共有________________种（用数字作答）。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
33
解析：
C
7
C
4
140
，答案：140
17.（2009卷理）用数字0，1，2 ，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和
为偶数的四位数共有 个（用数字作答）
【考点定位】本小题考查排列实际问题，基础题。
23131
解 析：个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：
C
3
A
3
C
4
A
3
C
3
90
种；个位、十位和百位上的数字为1
2311231
个偶数2个奇数的有：
C
3
A
3
C
4
C
3
C
3
A
3
C
3
234
种，所以共有
90234324
个。
1594n1
4n1
C
4


1

2
2n1
n1
C
4n1
C
4n1
LC
4n1

2
n
18.（2009卷理）甲、乙、丙
3
人站 到共有
7
级的台阶上，若每级台阶最多站
2
人，同一级台阶上的人不区分站的 位
置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．
答案：336
【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有
A
7
种；若有一个台阶有2人 ，另一个是1人，则共有
C
3
A
7
种，因
此共有不同的站法 种数是336种．
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
3
12

高考题训练（二）：
1（2010全国卷2理数）（6）将标号为1，2，3，4，5，6的 6卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2，其
中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法 共有
（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种

【答案】B
【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.
【解析】标号1,2 的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故
选B.
2（2010全国卷2文数）（9）将标号为1，2，3，4，5，6的6卡片放入3个不同的信封中， 若每个信封放2，其中
标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A） 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种
【解析】B：本题考查了排列组合的知识
∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法 ，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有
最后一个信封，∴共有
2
3C
4< br>18
2
C
4
6
，余下放入

3（201 0文数）（10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值
班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（A）30种
（B）36种
（C）42种 （D）48种
解析：法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法
[来源:Z。xx
221211
即
C
6< br>C
4
2C
5
C
4
C
4
C3
=42
法二：分两类
甲、乙同组，则只能排在15日，有
C
4
=6种排法
112
甲、乙不同组，有
C
4
C
3
(A
2
1)
=36种排法，故共有42种方法
2
4（2010理数）(9)某单位安排7位员工在10月 1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、
乙排在相邻两天，丙不排在10月1日 ，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有
A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种
解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有
2A
2
A
4
A
4
种方法
2411 3
甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有
4A
2
(A
4
 A
3
A
3
A
3
)
种方法
214
故共有1008种不同的排法
5（2010理数）（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为
82828282
（A）
A
8
A
9
（B）
A
8
C
9
（C）
A
8
A
7
（D）
A
8
C
7

答案：A
6（2010理数 ）（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是
（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144
解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法
w_w_w.k*s 5*u.c o*m
w_w_w.k*s 5*u.c o*m
①若5在十位或十万位 ，则1、3有三个位置可排，3
A
3
A
2
＝24个
②若5 排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共3
A
2
A
2
＝12个
22
22

算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个
答案：C
7（2010全国卷1理数）(6)某校开设
A
类选修课3门，< br>B
类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程
中各至少选一门，则不同的选 法共有
(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种

8（2 010文数）（9）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是
（A）36 （B）32 （C）28 （D）24
解析：如果5在两端， 则1、2有三个位置可选，排法为2×
A
3
A
2
＝24种
如果5不在两端，则1、2只有两个位置可选，3×
A
2
A
2
＝12 种
共计12＋24＝36种
答案：A
9（2010全国卷1文数）(1 5)某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类
课程中各至少选 一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答)
w_w w. k#s5_u.c o*m
22
22
A
【命题意图】
本小题主要考查分类计数原理、组合 知识,以及分类讨论的数学思想.
【解析1】:
可分以下
12
C
4
种不同的选2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有
C
3
1
法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有
C
3
2
C< br>4
种不同的选法.所以不同的选法共有
1
12
181230种.
C
3
C
4
+
C
3
2
C
4
333
【解析2】:
C
7
C
3
C
4
30