高考专题---总结排列组合题型

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2020年12月12日 08:09
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2020年12月12日发(作者:尤扬祖)



总结排列组合题型

一. 直接法
1.特殊元素法
例1用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少< br>个
(1)数字1不排在个位和千位
(2)数字1不在个位,数字6不在千位。 < br>2
分析:(1)个位和千位有5个数字可供选择
A
5
2
,其余 2位有四个可供选择
A
4
,由乘法原理:
2
=240
A
5
2
A
4
2.特殊位置法
11
3(2)当1在千位时余下三位有
A
5
=60,1不在千位时,千位有
A< br>4
种选法,个位有
A
4
种,余下的有
2112
,共有
A
4
=192所以总共有192+60=252
A
4
A
4
A
4
二. 间接法当直接法求解类别比较大时,应采用间接法。如上例中(2)可用间接法
432
=252
A
6
2A
5
A
4
例2 有五张卡片,它的正 反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将它们任意三张并
排放在一起组成三位数,共可 组成多少个不同的三维书?
分析:此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用,且用此卡片又 分使用0与使用1,类别较复杂,
33
因而可使用间接计算:任取三张卡片可以组成不同的三位 数
C
5
个,其中0在百位的
2
3
A
3
2222
33

C
4
个,这是不合题意的。故共可组成不同的三位数
C
5
-
C
4
=432
2
2
< br>A
2
2
2

A
2
2
3
A
3
(个)
三. 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持原节目顺序,有多少
中插入方法?
11
分析:原有的8个节目中含有9个空档,插入一个节目后,空档变为10个,故 有
A
9
=100
A
10
中插入方法。
四. 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时,宜用捆绑法。
例4 4名男生和3名女生共坐一排,男生必须排在一起的坐法有多少种?
44
分析:先将男生捆绑 在一起看成一个大元素与女生全排列有
A
4
种排法,而男生之间又有
A
4
种排法,
44
又乘法原理满足条件的排法有:
A
4
×< br>A
4
=576



练习1.四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,若使每个盒子不空,则不同的放法有 种
23

C
4
A
3

2. 某市植物园 要在30天内接待20所学校的学生参观,但每天只能安排一所学校,其中有一所学
119
校人 数较多,要安排连续参观2天,其余只参观一天,则植物园30天内不同的安排方法有(
C
29

A
28
1
(注意连续参观2天,即需把30天种的连续两天捆绑 看成一天作为一个整体来选有
C
29
其余的就是19
所学校选28天进行排列 )
五. 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题,适宜采阁板用法
例5 某校准备 组建一个由12人组成篮球队,这12个人由8个班的学生组成,每班至少一人,名额
分配方案共 种 。
分析:此例的实质是12个名额分配给8个班,每班至少一个名额,可在12个名额种的11个 空当
7
中插入7块闸板,一种插法对应一种名额的分配方式,故有
C
11
练习1.(a+b+c+d)有多少项?
110
当项中只有一个字母时, 有
C
4
种(即a.b.c.d而指数只有15故
C
4
。 < br>C
14
2
当项中有2个字母时,有
C
4
而指数和为 15,即将15分配给2个字母时,如何分,闸板法一分为2,
121

C
4

C
14
C
14
332
当项中有3个字母时
C
4
指数15分给3个字母分三组即可
C
4
C
14

43
当项种4个字母都在时
C
4
四者都相加即可.
C
14
15
练习2.有20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子里 ,要求每个盒子内的球数不少
2
编号数,问有多少种不同的方法?(
C
16< br>)
49
3.不定方程X
1
+X
2
+X
3< br>+„+X
50
=100中不同的整数解有(
C
99

六. 平均分堆问题 例6 6本不同的书平均分成三堆,有多少种不同的方法?
3
分析:分出三堆书(a
1
,a
2
),(a
3
,a
4
),(a
5
,a
6
)由顺序不同可以有A
3
=6种,而这6种分法只算一种
222
C
6
C4
C
2
分堆方式,故6本不同的书平均分成三堆方式有=15种
3
A
3
练习:1.6本书分三份,2份1本,1份4本,则有不同分法?
2.某年级6个班的数学课,分配给甲乙丙三名数学教师任教,每人教两个班,则分派方法的种数。
七. 合并单元格解决染色问题
例7 (全国卷(文、理))如图1,一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不 得
使用同一颜色,现有四种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种(以数字作答)。



分析:颜色相同的区域可能是2、3、4、5.
下面分情况讨论:
(ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时,将2、4合并成一个单元格,此 时不同的着色方法相当于
4个元素 ①③⑤的全排列数
A
4

2,4
4
(ⅱ)当2、4颜色不同且3、5颜色相同时,与情形(ⅰ)类似同理可得
A
4
种着色法.
(ⅲ)当2、4与


2,4

4
3、5分别同色时,将2、4;3、5分别合并,这样仅有三个单元格
3,5
从4种颜色中选3种来着色这三个单元格,计有
C
4

A
3
种方法.

由加法原理知:不同着色方法共有2
A
4

C
4
A
3
=48+24=72(种)
练习1(天津卷(文))将3种作物种植

1 2 3 4 5


在如图的5块试验田里,每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ,
不同的种植方法共 种(以数字作答) (72)
2.(江苏、辽宁、天津卷(理 ))某城市中心广场建造一个花圃,花圃6分为个部分(如图3),现要
栽种4种颜色的花,每部分栽种 一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话,不同的栽种方法有 种
(以数字作答).(120)





图3 图4
3.如图4,用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色,相邻部分不能用同一颜色,但同一 种颜色
可以反复使用也可以不用,则符合这种要求的不同着色种数.(540)
4.如图5: 四个区域坐定4个单位的人,有四种不同颜色的服装,每个单位的观众必须穿同种颜色
的服装,且相邻两 区域的颜色不同,不相邻区域颜色相同,不相邻区域颜色相同与否不受限制,那么
A
不同的着色 方法是 种(84)



1
2
4
3
4
3
3
3
3
5
6
2
1
3
4
B
A
C
D
E
B
C
E
D




图5 图6
5.将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,若只有五种颜色可 供使
用,则不同的染色方法共 种(420)
八. 递推法
例八 一楼梯共10级,如果规定每次只能跨上一级或两级,要走上这10级楼梯,共有多少种不同的
走法?
分析:设上n级楼梯的走法为a
n
种,易知a
1
=1,a
2
=2,当n≥2时,上n级楼梯的走法可分两类:第
一类:是最后一步跨一级,有a
n -1
种走法,第二类是最后一步跨两级,有a
n-2
种走法,由加法原理知:
a
n
=a
n-1
+ a
n-2
,据此,a
3
=a
1
+a
2
=3,a
4
=a
#
+a< br>2
=5,a
5
=a
4
+a
3
=8,a
6
=13,a
7
=21,a
8
=34
,
a
9
=55,a
10
=89.故走上10级楼梯共
有89种不同的方法。
九.几何问题
1.四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点,使它们和点A 在同一平面上,不同的取
3
法有 种(3
C
5
+3=33)
2.四面体的棱中点和顶点共10个点(1)从中任取3个点确定一个平面,共能确定多少个平面? < br>3
3
3
(
C
10
-4
C
6
+4-3
C
4
+3-6C
3
4
+6+2×6=29)
(2)以这10个点为顶点,共能确定多少格凸棱锥? 三棱锥 C
10
4
-4C
6
4
-6C
4
4
-3C
4
4
=141 四棱锥 6×4×4=96
3×6=18 共有114
十.先选后排法
例9 有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需1人承担,从10人中选派4人承担这三项任务,不
同的选派方法有( )
A.1260种 B.2025种 C.2520种 D.5054种
分析:先从10人中选出2人
十一.用转换法解排列组合问题
例 10.某人连续射击8次有四次命中,其中有三次连续命中,按“中”与“不中”报告结果,不同的
结果 有多少种.
解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球,其中只有三个黑球相邻的排列问题.
A
5
2
=20种
例11.个人参加秋游带10瓶饮料,每人至少带1瓶,一共有多少钟不同的带法.
解 把 问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列
5
问题.
C
9
=126种
例12 从1,2,3,„,1000个自然数中任取10个不连续的自然数,有多少种不同的去法.
10
解 把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球,其其中黑球不相邻的排列问题 。
C
991



例13 某城市街道呈棋盘形,南 北向大街5条,东西向大街4条,一人欲从西南角走到东北角,路程
最短的走法有多少种.
解 无论怎样走必须经过三横四纵,因此,把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列
3
问题.
C
7
=35(种)
例14 一个楼梯共18个台阶12步登完,可一步登一个台阶也可一步登两个台阶,一共有多少种不同
的走法.
解 根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶,6个一步登两个台阶,因此,把问题转化为
6
6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题.
C
12
=924( 种).
例15 求(a+b+c)
10
的展开式的项数.
解 展开 使的项为abc,且α+β+γ=10,因此,把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球
2的排列问题.
C
12
=66(种)
αβγ
例16 亚、欧乒 乓球对抗赛,各队均有5名队员,按事先排好的顺序参加擂台赛,双方先由1号队员
比赛,负者淘汰,胜 者再与负方2号队员比赛,直到一方全被淘汰为止,另一方获胜,形成一种
比赛过程.那么所有可能出现 的比赛过程有多少种?
解 设亚洲队队员为a
1
,a
2
,„,a
5
,欧洲队队员为b
1
,b
2
,„,b
5
,下标表示事先排列的出场顺序,若以
依次被淘汰的队员为顺序.比赛过程转化为这10个字母互相穿插 的一个排列,最后师胜队种步被淘汰
的队员和可能未参加参赛的队员,所以比赛过程可表示为5个相同的 白球和5个相同黑球排列问题,
6
比赛过程的总数为
C
10
=252 (种)
十二.转化命题法
例17圆周上共有15个不同的点,过其中任意两点连一弦,这些弦在圆内的交点最多有多少各? 分析:因两弦在圆内若有一交点,则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形,则问
4
题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形,因此这些现在圆内的交点最多有
C
15
=1365
(个)
十三.概率法
例18一天的课程表要排 入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课,如果数学必须排在体育之前,
那么该天的课程表有多少 种排法?
分析:在六节课的排列总数中,体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等,均为
本例所求的排法种数就是所有排法的
11
,即A=360种
22
1
,故
2
十四.除序法 例19 用1,2,3,4,5,6,7这七个数字组成没有重复数字的七位数中,
(1)若偶数2,4,6次序一定,有多少个?
(2)若偶数2,4,6次序一定,奇数1,3,5,7的次序也一定的有多少个?



7
A
7
7
A
7
解(1)
3
(2)
34

A
3
A
4
A
3
十五.错位排列
例20 同室四人各写一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的卡片,则不同的分配方
法有 种(9)
公式 1)
a
n
(n1)(a
n1
a< br>n2
)
n=4时a
4
=3(a
3
+a
2
)=9种 即三个人有两种错排,两个人有一种错排.
111
n
1

2)a
n
=n!(1-+-+„+

1

1!
2 !3!n!
练习 有五位客人参加宴会,他们把帽子放在衣帽寄放室内,宴会结束后每人戴了一顶帽子 回家,回
家后,他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子,问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种?( 44)
排列与组合的区别
排列与组合的共同点是从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个 元素,而不同点是排列是按照一
定的顺序排成一列,组合是无论怎样的顺序并成一组,因此“有序”与“ 无序”是区别排列与组合的
重要标志.下面通过实例来体会排列与组合的区别.

【例题】 判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出种数.
(1) 高二年级学生 会有11人:①每两人互通一封信,共通了多少封信?②每两人互握了一次手,
共握了多少次手?
(2) 高二数学课外活动小组共10人:①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不同的选法?
②从中选2名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法?
(3) 有2、3、5、7、11、 13、17、19八个质数:①从中任取两个数求它们的商,可以有多少个不
同的商?②从中任取两个求 它的积,可以得到多少个不同的积?
(4) 有8盆花:①从中选出2盆分别给甲、乙两人每人一盆 ,有多少种不同的选法?②从中选出2
盆放在教室有多少种不同的选法?
【思考与分析】 (1) ①由于每两人互通一封信,甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信,所以
与顺序有关,是排列 ;②由于每两人互握一次手,甲与乙握手、乙与甲握手是同一次握手,与顺序无
关,所以是组合问题.其 他类似分析.
解: (1) ①是排列问题,共通了=110(封);②是组合问题,共需握手==55(次)
(2) ①是排列问题,共有=10×9=90(种)不同的选法;②是组合问题,共=45(种)不同的
选法;
(3) ①是排列问题,共有=8×7=56(个)不同的商;②是组合问题,共有=28(个)不同的
积; (4) ①是排列问题,共有=56(种)不同的选法;②是组合问题,共有=28(种)不同的选
法. ( 【反思】 区分排列与组合的关键是“有序”与“无序”。 )

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