印刷工厂-火车票放票规律

1. 一人每天至少看1h电视，总共看7周，但每周最多看11h．试证明存在连续若干天，在
此期间他恰好看电视20h（假设看电视时间是整数个小时）.


2. 今有12只鸽子飞进5个笼子，则必有有一个笼子，该笼子里至少有几只鸽子 ？


m1

121

113



n

5


3. 1）由两个英文字母后接四个数字来组成汽车牌照，问不同的牌照有多少种？
2）如果两个英文字母必须不同，组成的牌照又有多少种？
（1）262×104
（2）P(26,2) ×104
4. 10 男生 5 女生围圆桌聚餐，任何两个女生不相邻的坐法有多少种？

解
男生先坐好，有 9！种坐法。
固定一种男生坐法，然后让女生插入10 个空档，女生之间还存在排序问题，故有 P (10,
5) 种排法
所以，共有 9!  P (10, 5) 种坐法。
5. n对夫妻围圆桌就坐，要求每对夫妻不相邻，问有多少种入座方式？
解 将n个丈夫 记为，他们的妻子分别记为，设性质pi表示xi与yi相邻，其中i=1,2,…,n.
令S为2n个 人的全体环排列构成的集合，S的满足性质pi的子集Ai，i=1,2,…,n.那么有

|S|(2n1)!

|A
i
|2(2n2)!,i1,2,...,n

|Ai

A
j
|2
2
(2n3)!1ijn

......

|A
1

A
2< br>
A
n
|2
n
(n1)!

1 4

由包含排斥原理得到


n

n< br>
n

n

N

(2n1)!< br>
2(2n2)!

2
2
(2n3)!

2
3
(2n4)!......(1)
n

2
n
(n1)!

1

2

3
n




n

1
< br>n

n

2
n1
111
6. 证明
1



......


12
23n1n1

n


(1x)
n
x
k
k
k0
将等式两边对x从0到1积分得 < br>n
1
n
n
(1x)dx


0
k

k0
证明：
n
n

n
k0



< br>
(1x)x
n



k
k1n1
211
n


n1k1

k
1
0
n1
1
n1
0
n
k0
x< br>k
dx
k1
1
0

7. 求1到1000之间不能被5 ，6 ，或8整除的自然数的个数
解：用{a
1
, a
2
,…,a
n
}表示n个整数a
1
,a
2
,…,a
n
的最小公倍数。
设S={1,2,…,1000}，令A,B,C分别 为1~1000中能被5,6,8除尽的整数集合。显然，其补集代
表不具备被整除性质的集合。根据题 意有



1000

1000

1000

|S|1000,|A|200,|B|166,|C|
< br>5

6

8

125




1000

1000

|A

B|33,|B

C|


lcm {5,6}

lcm{6,8}

41,

< br>
1000

1000

|C

A| 25,|A

B

C|


lcm{8,5}< br>
lcm{5,6,8}

8


根据容斥原理，不能被5,6,8中任何一个数整除的数目为

|A
B

C|1000(200
166125)(334125)8 600

S

={1a

k
}
8. 试确定多重集的


a

1

,



a

2

,



a

3

,

,




组合数
解：把S的r-组合分成两类：
包含a
1
的r-组合：这种 组合数等于{∞*a
2
,…,∞*a
k
}的(r−1)-组合数，即
N
1
=C((k-1)+(r-1)-1, r-1)=C(k+r-3, r-1).
不包含a
1
的r- 组合：这种组合数等于{∞*a
2
,…,∞*a
k
}的r-组合数，即
N
2
=C((k-1)+ r-1, r )=C(k+r-2, r).
由加法法则，所求的r−组合数
N=N
1
+N
2
=C(k+r-3, r-1)+C(k+r-2, r).
9.一糕点店生产8种糕点，若一盒内装有12块各种糕点，并且可认为每种糕点无限多，则
你 能买到多少种不同的盒装糕点（假设装盒与顺序无关）？
2 4

这是一个组合问题，即
sa,a,a,,a
1238
的12-可重组合,所以


1281

19

N
< br>

50388


12

12


10. 确定 T = {3a, 4b, 5c}的 10 组合数。



解法1（用容斥原理）令 T
*
= {a, b, c}，
S 为 T
*
的 10 组合的集合，
A
1
为至少有 4 个 a 的 T
*
中 10 组合的集合，
A
2
为至少有 5 个 b 的 T
*
中 10 组合的集合，
A
3
为至少有 6 个 c 的 T
*
中 10 组合的集合。

1031

12

121 1
|S|

66




102< br>2

Mathematics Modeling
Lianyungang


将4个a加到T
*< br>的6组合得到至少有4个a的10组合，
|A
1
|T
*
的至 少有4个a的10组合数

631

8

87
T
*
的6组合数








2
28；
6

2

将5个b加到T
*
的5组合得到至少有5个b的10组合，
|A
2< br>|T
*
的至少有5个b的10组合数

531
7

76

T
*
的5组合数





2



2
21；
5

*
将6个c加到T的4组合得到至少有6个c的10组合，
|A
3
|T
*
的至少有6个c的10组合数

43 1

6

65

T
*
的4组合数








2
15。
4

2


11. 用四种颜色（红、蓝、绿 、黄）涂染四台仪器A,B,C和D．规定每台仪器只能用一种颜
色并任意两台仪器都不能相同．如果B 不允许用蓝色和红色，C不允许用蓝色和绿色，D
不允许用绿色和黄色，问有多上种染色方案？
解：由题意，可得棋盘如右图，其中有阴影的格子表示禁区。
G
L
W
Y

求得禁区多项式R( )=1+6x+10x
2
+4x
3
，
3 4













A B C D

即r
1=6，r
2
=10，r
3
=4，故所求方案数为
4!-6×3!+10×2!-4×1!=4


a
n
 5a
n1
6a
n2
，
12.解递推关系

（
n



2
）

a
0
4,a
1
9.

解：对应的特征方程为
x

2



5

x



6



0
：特征根分别：
x



2,

x



3
,原递推关系的通
12
解为：
a

n



c

1
2

n



c

2

3

n
, 把
a

0



4,

a

1



9
， 代入


c
1
c
2
4



2c
1
3c
2
9

c3
解得：


1




c
2
1
原递推关系的通解为：
a

32
n
3
n
n

< br>a
n
5a
n1
6a
n2
2n3,
13.解递推关系

a5,a10.

n2

1

0

解：因为特征方程为
x

2



5

x



6
,得特征根为2,3 ,所以原递推式对应的齐次递推
a
n



5
式：
a

n



A



2

n



B



3

n
，有通解为：
a

n

1



6

a

n

2
, 设原递推式有特
解
a

Cn

D
,代入原递推式得C=1,D=2,因此原递推式有通解
n

为
a

n



2

n



B

3

n



n



2
,再将
a

0



5,

a

1



10
,代入通解得 A=2,B=1,所以
A

a

n

n



1



3

n



n



2



2


0
14. 求
a

n



5
的生成成函数．（
n
）
n



解：设
A(t)a
n
t
n

n0


nn
A(t)(n5)t(n1)t4t
n

n0n 0n0


144t
(1t)
2
4(1 t)
1

(1t)
2
54t

(1t)
2
4 4