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排列组合问题的解题策略

排列组合问题的解题策略
一、相临问题——捆绑法


例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？

解：两个元素排 在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进
行排列，并考虑甲乙二人的 顺序，所以共有 种。

评注：一般地: 个人站成一排,其中某 个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有 种排法。


二、不相临问题——选空插入法


例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？

解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：
种 .

评注：若 个人站成一排，其中 个人不相邻，可用“插空”法解决，共有 种排法。


三、复杂问题——总体排除法


在直接 法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几
何图形本身对其构 成元素的限制。

例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中 3个点为顶点的三角形共有
多少个.

解：从7个点中取3个点的取法有 种，但其 中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线
不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有 －3＝32个.


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四、特殊元素——优先考虑法


对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置
的安排。

例4． (1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在
两端，则共有不同的排法 种．

解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个< br>位置，有 种，而其余学生的排法有 种，所以共有 ＝72种不同的排法.

例5 ．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，
3名主力 队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不
同的出场安排共有 种.

解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有 种排法，而其余7名队员选出2名
安排在第二、四位置，有 种排法，所以不同的出场安排共有 ＝252种.


五、多元问题——分类讨论法


对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。

例6．（2003 年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两
个新节目.如果将这两个 节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ）

A．42 B．3
0 C．20 D．12

解：增加的两个新节目，可分为相 临与不相临两种情况：1.不相临：共有A62种；2.相临：
共有A22A61种。故不同插法的种数 为：A62 +A22A61=42 ，故选A。

例7．（2003年全国高考试题）如图， 一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相

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邻地区不得 使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？（以数
字作答）
< br>解：区域1与其他四个区域相邻，而其他每个区域都与三个区域相邻，因此，可以涂三种或
四种颜 色． 用三种颜色着色有 =24种方法, 用四种颜色着色有 =48种方法,从而共有24+48
=72种方法,应填72.


六、混合问题——先选后排法


对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．

例8． （2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路
口4人，则不同 的分配方案共有（ ）

A． 种 B． 种

C． 种 D． 种

解：本试题属于均分组问题。 则12名同学均分成3组共有 种方法,分配到三个不同的路口的
不同的分配方案共有： 种，故选A。

例9．（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分 别种
在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ）
A．24种 B．18种 C．12种
D．6种
解:先选后排,分步实施. 由题意，不同的选法有: C32种,不同的排法有:
A31·A22,故不同的种植方法共有A31·C32·A22=12，故应选C.


七．相同元素分配——档板分隔法


例10．把10本 相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数
不小于其编号数，试求不 同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适

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合更一般的情况？

本题考查组合问题。

解： 先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览
室至少得一本 书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“（一般可视为I”“隔
板”）共有 种插法，即有15种分法。

总之，排列、组合应用题的解题思路可总结为：排组分清，加乘 明确；有序排列，无序组合；
分类为加，分步为乘。

具体说，解排列组合的应用题，通常有以下途径：

（1）以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素。

（2）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置。

（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列组合数。

排列组合问题的解题方略

湖北省安陆市第二高级中学 张征洪

排列组合知识，广泛应用于实际，掌握好排列组合知识，能帮助我们在生产生活中，解决许
多实际应用 问题。同时排列组合问题历来就是一个老大难的问题。因此有必要对排列组合问
题的解题规律和解题方法 作一点归纳和总结，以期充分掌握排列组合知识。

首先，谈谈排列组合综合问题的一般解题规律:

1）使用“分类计数原理”还是“ 分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定，可
以分类来完成这件事时用“分类计数原理” ，需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”；那
么，怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现 为其中任何一类均可独立完成所给的事件，
而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确 理解两个原理强调完成一件事情
的几类办法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不论 哪类办法都能将事
情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件 事，
步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。

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2）排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。

3）复杂的排列问题常常通过试验、画 “树图 ”、“框图”等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。

4） 按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想
方法，要注意“至 少、至多”等限制词的意义。

5）处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合） ，后排列，按元素的性质进行“分
类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理 和方法，通过解题训练要
注意积累和掌握分类和分步的基本技能，保证每步独立，达到分类标准明确，分 步层次清楚，
不重不漏。

6）在解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合 的概念，能熟练地对问题进行分类，
牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和遗 漏计数。

总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘 明确；有
序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。

其次，我们在抓住问题的本 质特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时，
还要注意讲究一些解题策略和方法技巧， 使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常
用的解题方法和策略。

一．特殊 元素（位置）的“优先安排法”：对于特殊元素（位置）的排列组合问题，一般先考
虑特殊，再考虑其他 。

例1、 用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。

A． 24个 B.30个 C.40个 D.60个

[分析]由于 该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特
殊”元素，应该优先 安排，按0排在末尾和0不排在末尾分两类：1）0排末尾时，有A42个，
2）0不排在末尾时，则有 C21 A31A31个，由分数计数原理，共有偶数A42 + C21 A31A
31=30个，选B。


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二．总体 淘汰法：对于含否定的问题，还可以从总体中把不合要求的除去。如例1中，也可
用此法解答:五个数字 组成三位数的全排列有A53个，排好后发现0不能排首位，而且数字3，
5也不能排末位，这两种排法 要排除，故有A53--3A42+ C21A31=30个偶数。

三．合理分类与准确分 步含有约束条件的排列组合问题，按元素的性质进行分类，按事情发
生的连续过程分步，做到分类标准明 确，分步层次清楚，不重不漏。

四．相邻问题用捆绑法：在解决对于某几个元素要求相邻的 问题时，先整体考虑，将相邻的
元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再考虑大元 素内部各元素间顺序的
解题策略就是捆绑法．

例2、有8本不同的书；其中数学书 3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列
放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰 好排在一起的排法共有( )种．(结果用数值表
示)

解：把3本数学书“捆绑 ”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与
其它3本书一起看作5个元素， 共有A55种排法；又3本数学书有A33种排法，2本外语书有
A22种排法；根据分步计数原理共有 排法A55 A33 A22=1440(种).

注：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题．

五．不相邻问题用“插空法”：不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔
开 ．解决此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及
两端位置，故称 插空法．

例3、用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与 2相邻，2与4相邻，
5与6相邻，而7与8不相邻。这样的八位数共有( )个．(用数字作答)

解：由于要求1与2相邻，2与4相邻，可将1、2、4这三个数字捆绑在一起形成一个大元 素，
这个大元素的内部中间只能排2，两边排1和4，因此大元素内部共有A22种排法，再把5与6< br>也捆绑成一个大元素，其内部也有A22种排法，与数字3共计三个元素，先将这三个元素排
好， 共有A33种排法，再从前面排好的三个元素形成的间隙及两端共四个位置中任选两个，
把要求不相邻的 数字7和8插入即可，共有A42种插法，所以符合条件的八位数共有A22
A22 A33 A42＝288(种)．

注：运用“插空法”解决不相邻问题时，要注意欲插入的位置是否包含两端位置．

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六．顺序固定用“除法”：对于某几个元素按一定的顺序排列问 题，可先把这几个元素与其他
元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。

例4、6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？

分析：不考虑附加条件，排队方法有A66种，而其中甲、乙、丙的A33种排法中只有一种
符合条件。故符合条件的排法有A66
÷A33 =120种。(或A63种)

例5、4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高
排 列，有多少种排法。

解：先在7个位置中任取4个给男生，有A74 种排法，余下的3个位置给女生，只有一种排
法，故有A74 种排法。(也可以是A77
÷A33种)

七．分排问题用“直排法”：把几个元素排成若干排的问题，可采用 统一排成一排的排法来处
理。

例6、7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？
分析：7个人可以在前两排随意就坐，再无其它条件,故两排可看作一排来处理，不同的坐法
共有A 77种。

八．逐个试验法：题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律。

例7.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的方格中，每方格填1个，方格标号 与所填数
字均不相同的填法种数有（ ）

A．6 B.9 C.11 D.23

解：第一方格内可填2或3或4，如第一填2，则第二方格可填1或3或4，若第二方格内填1，
则后两方格只有一种方法；若第二方格填3或4，后两方格也只有一种填法。一共有9种填法，
故选B


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九、构造模型 “隔板法”

对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题。

例8、方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？

分析：建立隔板模型：将1 2个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个间隙中任意
插入3块隔板，把球分成4堆，每一种 分法所得4堆球的各堆球的数目，对应为a、b、c、d
的一组正整解，故原方程的正整数解的组数共有 C113 .

又如方程a+b+c+d=12非负整数解的个数,可用此法解。

十.正难则反——排除法

对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答 多需进行复杂讨论，可以考虑“总体去
杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符 合条件的排列组合数的方法．

例9、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至 少要甲型与乙型电视机各一台，
则不同的取法共有( )种．

A．140种 B．80种 C．70种 D．35种
< br>解：在被取出的3台中，不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合题意，因此符合题意的抽取
方法有 C93-C43-C53=70(种)，故选C．

注：这种方法适用于反面的情况明确且易于计算的习题．

十一．逐步探索法：对于情况复杂，不易发现其规律的问题需要认真分析，探索出其规律
< br>例10、从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则不同的取法
种数有多少种。

解：两个数相加中以较小的数为被加数，1+100>100，1为被加 数时有1种，2为被加数有2
种，…，49为被加数的有49种，50为被加数的有50种，但51为被 加数有49种，52为被加数
有48种，…，99为被捕加数的只有1种，故不同的取法有（1+2+3 +…+50）+（49+48+…+
1）=2500种

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十二．一一对应法：

例11.在100名选手之间进行 单循环淘汰赛（即一场失败要退出比赛）最后产生一名冠军，要
比赛几场？

解：要 产生一名冠军，要淘汰冠军以外的所有选手，即要淘汰99名选手，要淘汰一名就要
进行一场，故比赛9 9场。


应该指出的是，以上介绍的各种方法是解决一般排列组合问题常用方法， 并非绝对的。数学
是一门非常灵活的课程，同一问题有时会有多种解法，这时，要认真思考和分析，灵活 选择
最佳方法．还有像多元问题“分类法”、环排问题“线排法”、“等概率法”等在此不赘述
了。

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