排列组合练习题及答案.
手机无线网络连接不上-脑海中的橡皮擦剧情
《排列组合》
一、排列与组合
1. 从 9人中选派
2人参加某一活动,有多少种不同选法?
2. 从 9人中选派 2人参加文艺活动,
1人下乡演出, 1人在本地演出, 有多少种不
同选派方法?
3. 现从男、女
8名学生干部中选出 2名男同学和 1名女同学分别参加全校“资
源”、“生态”
和“环保”三个夏令营活动,已知共有 90种不同的方案,那么男、女同学
的人数是
A.
男同学 2人,女同学 6人 B.男同学 3人,女同学 5人
C. 男同学 5人,女同学 3人
D. 男同学 6人,女同学 2人
4. 一条铁路原有 m 个车站,为了适应客运需要新增加 n
个车站(n>1,则客运车票
增加了
58种(从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票,那么原有的车站有
A.12个 B.13个
C.14个 D.15个
5.用 0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字,
(1可以组成多少个数字不重复的三位数?
(2可以组成多少个数字允许重复的三位数?
(3可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数?
(4可以组成多少个数字不重复的小于
1000的自然数?
(5可以组成多少个大于 3000,小于 5421的数字不重复的四位数?
二、注意附加条件
1.6人排成一列
(1甲乙必须站两端,有多少种不同排法?
(2甲乙必须站两端,丙站中间,有多少种不同排法?
2. 由 1、 2、 3、 4、 5、 6六个数字可组成多少个无重复数字且是
6的倍数的
五位数?
3. 由数字 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7所组成的没有重复数字的四位数,按从小到大的顺序
排列起来, 第 379个数是
A.3761 B.4175 C.5132 D.6157
4. 设有编号为 1、 2、
3、 4、 5的五个茶杯和编号为 1、 2、 3、 4、 5的五个
杯盖,将五个杯盖
盖在五个茶杯上,至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有
A.30种 B.31种 C.32种
D.36种
5. 从编号为 1, 2,„, 10,11的 11个球中取 5个,使这
5个球中既有编号为偶数的球
又有编 号为奇数的球,且它们的编号之和为奇数,其取法总数是
A.230种 B.236种 C.455种 D.2640种
6. 从
6双不同颜色的手套中任取 4只,其中恰好有 1双同色的取法有
A.240种 B.180种
C.120种 D.60种
7. 用 0, 1, 2, 3, 4,
5这六个数组成没有重复数字的四位偶数,将这些四位数从小
到大排列 起来,第 71个数是 。
三、间接与直接
1. 有 4名女同学, 6名男同学,现选
3名同学参加某一比赛,至少有 1名女同学,由
多少种不 同选法?
2. 6名男生
4名女生排成一行,女生不全相邻的排法有多少种?
3.
已知集合 A 和 B 各 12个元素, A B 含有
4个元素,试求同时满足下列两个条
件的集合 C 的 个数:(1 ( C A B ⊂ 且 C
中含有三个元素;(2 C A ≠∅ , ∅表示空集。
4. 从 5门不同的文科学科和
4门不同的理科学科中任选 4门,组成一个综合高
考科目组,若
要求这组科目中文理科都有,则不同的选法的种数
A.60种 B.80种 C.120种
D.140种
5. 四面体的顶点和各棱中点共有 10个点,在其中取
4个不共面的点不同取法有
多少种?
6. 以正方体的 8个顶点为顶点的四棱锥有多少个?
7. 对正方体的 8个顶点两两连线,其中能成异面直线的有多少对?
四、分类与分步
1. 求下列集合的元素个数.
(1 {(, |, , 6}M x y x y N x
y =∈+≤;
(2 {(, |, ,14,15}H x y x y N x y
=∈≤≤≤≤.
2. 一个文艺团队有 9名成员,有 7人会唱歌, 5人会跳舞,现派
2人参加演出,其中
1名会唱 歌, 1名会跳舞,有多少种不同选派方法?
3.
已知直线 12l l , 在 1l 上取 3个点, 在 2l 上取 4个点, 每两个点连成直线,
那
么这些直线在 1l 和 2l 之间的交点(不包括 1l 、 2l 上的点最多
有
A. 18个 B.20个 C.24个 D.36个
4. 9名翻译人员中,
6人懂英语, 4人懂日语,从中选拔 5人参加外事活动,要求其
中 3人担 任英语翻译,
2人担任日语翻译,选拔的方法有 种(用数字作答。
5.
某博物馆要在 20天内接待 8所学校的学生参观,每天只安排一所学校,其中一
所人数较多
的学校要连续参观 3天,其余学校只参观 1天,则在这 20天内不同的安
排方法为
A.
372017C A 种 B.820A 种 C.171817C A 种 D.1818A 种
6. 从 10种不同的作物种子选出 6种放入 6个不同的瓶子展出,
如果甲乙两种种
子不许放第一 号瓶内,那么不同的放法共有
A. 24108C A 种
B.1599C A 种 C.1589C A 种 D.1598C A 种
7. 在画廊要展出
1幅水彩画、 4幅油画、 5幅国画,要求排成一排,并且同一种
的画摆放在一
起,还要求水彩画不能摆两端,那么不同的陈列方式有
A. 1545A A 种
B.245345A A A 种 C.145445A A A 种 D.245245A A A 种
8. 把一个圆周 24等分,过其中任意
3个分点,可以连成圆的内接三角形,其中直
角三角形的 个数是
A.122 B.132
C.264
9. 有三张纸片,正、反面分别写着数字 1、 2、 3和 4、 5、 6
,将这三张纸片上
的数字排成三 位数,共能组不同三位数的个数是
A. 24 B.36
C.48 D.64
10. 在 1~20共 20个整数中取两个数相加 ,
使其和为偶数的不同取法共有多少
种 ?
11. 如下图 , 共有多少个不同的三角形 ?
解 :所有不同的三角形可分为三类:
第一类 :其中有两条边是原五边形的边 , 这样的三角形共有 5个
第二类
:其中有且只有一条边是原五边形的边 , 这样的三角形共有 5×4=20个
第三类
:没有一条边是原五边形的边 , 即由五条对角线围成的三角形 , 共有
5+5=10个
由分类计数原理得 , 不同的三角形共有 5+20+10=35个 .
12. 从
5部不同的影片中选出 4部,在 3个影院放映,每个影院至少放映一部,每
部影片只放
映一场,共有 种不同的放映方法(用数字作答。
五、元素与位置——位置分析
1.7人争夺 5项冠军,结果有多少种情况?
2. 75600有多少个正约数 ?
有多少个奇约数 ?
解 :75600的约数就是能整除 75600的整数 ,
所以本题就是分别求能整除 75600
的整数和奇约数 的个数 .
由于
75600=24×33×52×7
(1 75600的每个约数都可以写成 l k j l
7532⋅⋅⋅的形式 , 其中 40≤≤i , 30≤≤j ,
20≤≤k , 10≤≤l
于是 , 要确定 75600的一个约数 , 可分四步完成 , 即 l k j i , , ,
分别在各自的范
围内任取一个值 , 这样 i 有 5种取法 , j 有 4种取法 , k 有
3种取法 , l 有 2种取法 ,
根据分步计数原理得约数的个数为 5×4×3×2=120个
.
(2奇约数中步不含有 2的因数 , 因此
75600的每个奇约数都可以写成 l k j
753⋅⋅的形式 , 同上奇
约数的个数为 4×3×2=24个 .
3. 2名医生和
4名护士被分配到两所学校为学生体检,每校分配 1名医生和 2名
护士,不同分 配方法有多少种?
4.有四位同学参加三项不同的比赛,
(1每位同学必须参加一项竞赛,有多少种不同的结果?
(2每项竞赛只许一位学生参加,有多少种不同的结果?
解:(1每位学生有三种选择,四位学生共有参赛方法:333381⨯⨯⨯=种;
(2每项竞赛被选择的方法有四种,三项竞赛共有参赛方法:44464⨯⨯=种 .
六、染色问题
1. 如图一 , 要给① , ② , ③ ,
④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种 , 允许同
一种颜色使用多次 ,
但相邻区域必须涂不同颜色 , 则不同涂色方法种数为 (
若变为图二 , 图三呢 ?(240种
,5×4×4×4=320种
2. 某班宣传小组一期国庆专刊,现有红、
黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用,
要求在黑板中 A 、 B 、 C 、 D (如图每一
部分只写一种颜色,相邻两块颜色不同,
则不同颜色粉笔书写的方法共有
种(用具体数字作答。
七、消序
1. 有 4名男生,
3名女生。现将他们排成一行,要求从左到右女生从矮到高排列,
有多少种排 法?
2.
书架上有 6本书,现再放入 3本书,要求不改变原来 6本书前后的相对顺序,有
多少种不
同排法?
八、分组分配
1. 某校高中一年级有 6个班,分派
3名教师任教,每名教师任教二个班,不同的安
排方法有多 少种?
2. 高三级 8个班,
分派 4名数学老师任教, 每位教师任教 2个班, 则不同安排方
法有多少种?
3.
6本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人一本、二本、三本的不同分法有多少
种?
4.8项工程,甲承包三项,乙承包一项,丙、丁各承包二项,不同的承包方案有 种
图一 图二 图三
5.. 六人住 A 、 B 、 C
三间房,每房最多住三人,
(1每间住两人,有 种不同的住法,
(2一间住三人,一间住二人,一间住一人,有 种不同的住宿方案。
6. 8人住 ABC
三个房间,每间最多住 3人,有多少种不同住宿方案?
7. 有
4个不同小球放入四个不同盒子,其中有且只有一个盒子留空,有多少种不
同放法?
7.
把标有 a , b , c , d ,„的 8件不同纪念品平均赠给甲、乙两位同学,其中 a 、 b
不赠给同一 个人,则不同的赠送方法有 种(用数字作答。
九、捆绑
1. A、
B 、 C 、 D 、 E 五个人并排站成一列,若 A 、 B 必相邻,则有多少种不
同排法?
2. 有 8本不同的书, 其中科技书 3本,文艺书 2本,其它书
3本,将这些书竖排在
书架上, 则科技书连在一起,文艺书也连在一起的不同排法种数与这
8本书的不同排
法之比为
A.1:14 B.1:28 C.1:140 D.1:336
十、插空
1. 要排一个有 6个歌唱节目和
4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目
都不相邻,有多 少种不同排法?
2、
4名男生和 4名女生站成一排,若要求男女相间,则不同的排法数有(
A.2880 B.1152
C.48 D.144
3. 要排一个有 5个歌唱节目和
3个舞蹈节目的演出节目单,如果舞蹈节目不相
邻,则有多少 种不同排法?
4.
5人排成一排,要求甲、乙之间至少有 1人,共有多少种不同排法?
5.. 把
5本不同的书排列在书架的同一层上,其中某 3本书要排在中间位置,有多
少种不同排 法?
6.1到 7七个自然数组成一个没有重复数字的七位数,其中偶数不相邻的个数有
个 .
7. 排成一排的 8个空位上,坐 3人,使每人两边都有空位,有多少种不同坐法?
8.8张椅子放成一排, 4人就坐,恰有连续三个空位的坐法有多少种?
9. 排成一排的
9个空位上,坐 3人,使三处有连续二个空位,有多少种不同坐法?
10. 排成一排的
9个空位上,坐 3人,使三处空位中有一处一个空位、有一处连续
二个空位、
有一处连续三个空位,有多少种不同坐法?
11. 某城市修建的一条道路上有
12只路灯,为了节省用电而又不影响正常的照
明,可以熄灭
其中三只灯,但不能熄灭两端的灯,也不能熄灭相邻的两只灯,那么熄灯
的方法共有 种
A.
38C B.38A C.39C D.39A
12.
在一次文艺演出中,需给舞台上方安装一排彩灯共 15只,以不同的点灯方式
增加舞台效
果,要求设计者按照每次点亮时,必需有 6只灯是关的,且相邻的灯不能同
时被关掉,两端的
灯必需点亮的要求进行设计,那么不同的点亮方式是
A.28种 B.84种 C.180种
D.360种
13. 一排长椅上共有 10个座位,现有 4人就座,恰有五个连续空位的坐法种数
为 。(用数字作答
十一、隔板法
1.
不定方程 12347x x x x +++=的正整数解的组数是 ,非负整数解的组数是 。
2. 某运输公司有 7个车队,每个车队的车多于 4辆,现从这 7个车队中抽出
10辆
车,且每个 车队至少抽一辆组成运输队,则不同的抽法有
A.84种 B.120种
C.63种 D.301种
3. 要从 7所学校选出
10人参加素质教育研讨班,每所学校至少参加 1人,则这
10个名额共 有 种分配方法。
4. 有编号为 1、 2、 3的 3个盒子和 10个相同的小球,现把 10个小球全部装入
3个盒子中,使 得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数,这种装法共有
A.9种
B.12种 C.15种 D.18种
5. 将 7只相同的小球全部放入 4个不同盒子,每盒至少
1球的方法有多少种?
6. 某中学从高中 7个班中选出
12名学生组成校代表队,参加市中学数学应用题
竞赛活动,使 代表中每班至少有
1人参加的选法有多少种?
十二、对应的思想
1. 在
100名选手之间进行单循环淘汰赛(即一场比赛失败要退出比赛,最后产生
一名冠军,
问要举行几场?
十三、找规律
1. 在 1~20共 20个整数中取两个数相加 ,
使其和大于 20的不同取法共有多少
种 ?
解
:分类标准一 , 固定小加数 . 小加数为 1时 , 大加数只有 20这 1种取法
小加
数为 2时 , 大加数 有 19或 20两种取法 小加数为 3时 , 大加数为
18,19或 20共 3
种取法„小加数为 10时 , 大加 数为 11,12, „ ,20共
10种取法 小加数为 11时 , 大加
数有 9种取法„小加数取 19时 , 大加数有
1种取法 . 由分类计数原理 , 得不同取法
共有 1+2+„ +9+10+9+„
+2+1=100种 .
分类标准二 :固定和的值 . 有和为 21,22, „ ,39这几类
, 依次有取法 10,9,9,8,8,
„ ,2,2,1,1种 .
由分类计数原理得不同取法共有 10+9+9+„ +2+2+1+1=100种 .
2. 从
1到 100的自然数中,每次取出不同的两个数,使它们的和大于一百,则不同
的取法有 A.50种
B.100种 C.1275种 D.2500种
十四、实验——写出所有的排列或组合
1. 将数字 1,2,3,4填入标号
1,2,3,4的四个方格中,每个格填一个,则每一个方格的
标号与所 填的数字均不同的填法有 种
.
A.6 B.9 C.11 D.23
解 :列表排出所有的分配方案 , 共有
3+3+3=9种 , 或 33119
⨯⨯⨯=种.
未归类几道题
1.
从数字 0, 1, 3, 5, 7中取出不同的三位数作系数,可以组成多少个不同的一元
二次方程
ax+bx+c=0?其中有实根的方程有多少个?
变式:若直线 Ax+By+C=0的系数 A
、 B 可以从 0, 1, 2, 3, 6, 7这六个数字中取
不同的数值,
则这些方程所表示的直线条数是( A
A.18 B.20 C.12 D.22
2. 在 100件产品中 , 有 98件合格品 ,2件不合格品 .
从这 100件产品中任意抽
出 3件
(1一共有多少种不同的抽法 ?
(2抽出的 3件中恰好有一件是不合格品的抽法有多少种 ?
(3抽出的
3件中至少有一件是不合格品的抽法有多少种 ?
3.10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中,
从中任意抽取 4只, 试求各有多少种
情况出现如下 结果
(14只鞋子没有成双; (2
4只鞋子恰好成双;
(3 4只鞋子有 2只成双,另 2只不成双
4.f 是集合
M={a,b,c,d}到 N{0,1,2}的映射, 且
f(a+f(b+f(c+f(d=4,则不同的映射有
多少 个?
解:根据
a,b,c,d 对应的象为 2的个数分类,可分为三类:
第一类,没有一个元素的象为
2,其和又为 4,则集合 M 所有元素的象都为 1,这样
的映射只有 1个
第二类,有一个元素的象为 2,其和又为 4,则其余 3个元素的象为 0, 1,
1,这样的
映射有
C41C3 1C22个
第三类, 有两个元素的象为 2,
其和又为 4, 则其余 2个元素的象必为 0, 这样的
映射有 C42C22个
根据加法原理共有 1+ C41C3 1C22 +C42 C22=19个
5. 四个不同的小球放入编号为 1, 2, 3, 4的四个盒子中,
则恰有一个空盒的方法
共有多少种?
6. 由 12个人组成的课外文娱小组,其中
5个人只会跳舞, 5个人只会唱歌, 2个
人既会跳舞又 会唱歌,若从中选出 4个会跳舞和
4个会唱歌的人去排演节目,共有多
少种不同选法?
排列、组合练习题参考答案 :
1. 2936C = 2.2972A =
3. 解析:设男生有 n
人,则女生有(8-n 人,由题意得
(213831(8 6902n n n n C C A
n --⋅⋅=
⨯-⨯= 即 (1(8 30n n n --= 用选支验证选(B
4. 分类:①恰有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有 25220C ⨯=种;
②恰有三个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有 3510C =种;
③无恰有四个杯盖和茶杯的编号相同的盖法, 只有五个杯盖和茶杯的编号完全
相同的盖法
1种。 故选(B 31种。
5 .分类:① 1奇 4偶:146530C C = ② 3奇
2偶:3265200C C = 选(A
6. 分步:
122652240C C
⋅⋅=选(A 7. 间接法:33106C C -
或分 1
221346464C C
+CC +C 8. 间接法:10471047A A A -
9. 间接法:33208C C - 10. 对应:一交点对应 1l 、 2l
上各两点:223418C C =个选
(A
11.
分类:①英语翻译从单会英语中选派:325460C C =
②英语翻译选派中一人既
会英语又会日语:225330C C =
填 90
12. 分步:2
45245A A A
选(D 13.
元素与位置:以冠军为位置,选人:5777777⨯⨯⨯⨯=
14.
432756002357=⨯⨯⨯① 5432120⨯⨯⨯=;② 43224⨯⨯= 15.
分步:5433180⨯⨯⨯=
填 180
16. 消序:9966789A A
=⨯⨯=504 或分步插空:789⨯⨯=504 或 39A
懂英语 1 懂日语
5
6
A 4
B
8
8
2 C62C4 C22 3 ⋅ A3
A33 17.先分组后分配： 或位置分析： 2 C62C4 C22 18. 先
分组后分配：
3 3 C6 C32C11 A33 19. 位置分析： C8 C5C4 C2 1 2 2
20.（1）仿 17
题；（2）先分组后分配： 2
C83C53C2 3 ⋅ A3 A22 21. 先分组后分配： 3 C6
C32C11
A33 或分类，先确定住两人的房间——位置分析： 3 C42 A3 1 3 C3C82C6
C33 重复题目: 先分组后分配： 3 A55 A3 A22 1 = 8 28 22.捆绑：
A8 或分类——位
置分析：3 1 C42C2C11 选（B） 3 23. 插空: A4 A5
4 3 24. 插空: A4 3 25. 插空: A4
A5 4 2 26. 插空: A3
C4 3 3 3 3 27. 插空: A3 A4 28.(A C8 C96 = C93 = 29.
隔板法：
9×8× 7 = 84 3 × 2 ×1 选（A） 30. 1 先在编号为 2、3
的 2 个盒子分别放入 1 个小
球、2 个小球； 2 2o 对余下 7 个小球用隔板法 C6
= 15 。选（C） o 31.对应的思
想：100
名选手之间进行单循环淘汰赛，最后产生一名冠军，要环淘 99 名选手，
每淘汰 1
名选手，对应一场比赛。故要举行 99 场比赛。 惠来一中数学组 方文湃
11
32.[ 解法一]:找规律：固定小加数.小加数为 1 时,大加数只有 20 这 1
种取法;小
加数为 2 时, 大加数有 19 或 20 两种取法;小加数为 3 时,大加数为
18,19 或 20 共 3
种取法…小加数为 10 时, 大加数为 11,12,…,20
共 10 种取法;小加数为 11 时,大加数
有 9 种取法…小加数取 19 时,大加 数有
1 种取法.由分类计数原理,得不同取法共有
1+2+…+9+10+9+…+2+1=100
种. [法二]:固定和的值.有和为 21,22,…,39 这几类,依
次有取法
10,9,9,8,8, …,2,2,1,1 种.由 分类计数原理得不同取法共有
10+9+9+…+2+2+1+1=100 种. 以上两种方法是两种不同的分类。 33.
解:列表排出所
有的分配方案,共有 3+3+3=9 种,或 3 × 3 × 1× 1 = 9
种． 34.(1 C10 ⋅ 2 4 1 2 2 (3 C10
⋅ C9 ⋅ 2 4 (2
C10 2 35. 解：根据 a,b,c,d 对应的象为 2 的个数分类，可分为三类：
第一类，没有一个元素的象为 2，其和又为 4，则集合 M 所有元素的象都为
1，这
样的映射只有 1个 第二类，有一个元素的象为 2，其和又为 4，则其余 3
个元素的
象为 0，1，1，这样的映射有 1 1 C4C3C22 =12 个 2 2
第三类，有两个元素的象为
2，其和又为 4，则其余 2 个元素的象必为 0，这样的映射有
C4 C2 =6 个 1 1 2 2 2
1+ C4C3C2 + C4 C2
=1+12+6=19 个 根据加法原理共有 惠来一中数学组 方文湃 12