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总结排列组合题型

一． 直接法
1．特殊元素法
例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少
个
（1）数字1不排在个位和千位
（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
分析 ：（1）个位和千位有5个数字可供选择
A
5
2
，其余2位有四个可供选择< br>A
4
2
，由乘法原理：
2
A
5
2
A
4
=240
2．特殊位置法
11
（2）当1在千位时余下三位有
A
5
3
=60，1不在千位时，千位有
A
4
种选法 ，个位有
A
4
种，余下的有
11
A
4
A
4
2
，共有
A
4
A
4
2
=192所以总共有 192+60=252
二． 间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用 间接法
432
A
6
2A
5
A
4
=25 2
例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三 张并
排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？
分析：此例正面求解 需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，
33
2
3
A
3
因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数
C
5
个，其中0在百位的
33
22
2
3
A
3< br>2
2

A
2
2
个，这是不合题意的。故共可组成不 同的三位数
C
5
2
2

A
2
2
=432有
C
4
-
C
4
（个）
三． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少
中插入方法？
11
A
10
分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节 目后，空档变为10个，故有
A
9
=100
中插入方法。
四． 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？
分析：先将男生捆绑在一起看成一 个大元素与女生全排列有
A
4
4
种排法，而男生之间又有
A
4
4
种排法，
又乘法原理满足条件的排法有：
A
4
4
×
A
4
4
=576

练习1．四个不同的小球全部 放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种
（
C
4
2
A
3
3
）
2． 某 市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学
119A
28
校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安 排方法有（
C
29
）
1
（注意连续参观2天，即需把30天种的连续 两天捆绑看成一天作为一个整体来选有
C
29
其余的就是19
所学校选28天 进行排列）
五． 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法
例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额
分配方案 共 种 。
分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额 种的11个空当
7
中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有
C
11
种
练习1.(a+b+c+d)有多少项？
10
1
C
14
当项中只有一个字母时，有
C
4
种（即而指数只有15故
C
4
。
15
当项中有2个字母时 ，有
C
4
2
而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一 分为2，
11
C
14
即
C
4
2
C
14

332
C
14
当项中有3个字母时
C
4< br>指数15分给3个字母分三组即可
C
4
43
C
14
当项种4个字母都在时
C
4
四者都相加即可．
练习2．有20个不加区 别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少
2
编号数，问有多少 种不同的方法？（
C
16
）
49
3．不定方程X
1
+X
2
+X
3
+…+X
50
=100中不同的整数解有（
C
99
）
六． 平均分堆问题 例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？
分析：分出三堆书（a
1
, a
2
）,(a
3
,a
4
)，（a
5
,a< br>6
）由顺序不同可以有
A
3
3
=6种，而这6种分法只算一种
222
C
6
C
4
C
2
分堆方式，故6本不 同的书平均分成三堆方式有=15种
3
A
3
练习：1．6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？
2．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。
七． 合并单元格解决染色问题
例7 （全国卷（文、理））如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得
使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。

分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5．
下面分情况讨论:
(ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相 当于
4个元素 ①③⑤的全排列数
A
4

（ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得
A
4
种着色法．
（ⅲ）当2、4与


2,4

4
4
3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格
①
3
3
从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有
C
4

A
3
种方法．

由加法原理知：不同着色方法共有 2
A
4

C
4
A
3
=48+24=72（ 种）
练习1（天津卷（文））将3种作物种植

1 2 3 4 5


在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ，
不同的种植方法共 种（以数字作答） （72）
2．（江苏、辽宁、天津卷（理 ））某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要
栽种4种颜色的花，每部分栽种 一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种
（以数字作答）．（120）





图3 图4
3．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一 种颜色
可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）
4．如图5： 四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色
的服装，且相邻两 区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么
不同的着色方法是 种（84）



4
3
3

图5 图6
5．将一 四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使
用，则不同 的染色方法共 种（420）
八． 递推法
例八 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的
走法？
分析：设上n级楼梯的走法为a
n
种，易知a
1
=1,a
2
=2,当n≥2时，上n级楼梯的走法可分两类：第
一类：是最后一步跨一级，有a
n -1
种走法，第二类是最后一步跨两级，有a
n-2
种走法，由加法原理知：
a
n
=a
n-1
+ a
n-2
,据此，a
3
=a
1
+a
2
=3,a
4
=a
#
+a< br>2
=5,a
5
=a
4
+a
3
=8,a
6
=13,a
7
=21,a
8
=34
,
a
9
=55,a
10
=89.故走上10级楼梯共
有89种不同的方法。
九.几何问题
1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取
法有 种（3
C
5
3
+3=33）
2.四面体的棱中点和顶点共10个点（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？ < br>3
3
3
(
C
10
-4
C
6
+4-3
C
4
+3-6C
3
4
+6+2×6=29)
(2)以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？ 三棱锥 C-4C-6C-3C
4
=141 四棱锥 6×4×4=96 3
×6=18 共有114
十．先选后排法
例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担， 从10人中选派4人承担这三项任务，不
同的选派方法有（ ）
种 种 种 种
分析：先从10人中选出2人
十一．用转换法解排列组合问题
例10．某人连 续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的
结果有多少种．
解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．
A< br>5
2
=20种
例11．个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．
解 把 问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列
问题．< br>C
9
5
=126种
例12 从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法．
10
解 把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题 。
C
991

例13 某城市街道呈棋盘形，南北向大街5 条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程
最短的走法有多少种．
解 无论 怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列
3
问题 ．
C
7
=35（种）
例14 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同
的走法．
解 根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为
6
6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．
C
12
=924（ 种）．
例15 求（a+b+c）
10
的展开式的项数．
解 展开 使的项为abc,且α+β+γ=10，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球
2的排列问题．
C
12
=66（种）
αβγ
例16 亚、欧乒 乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员
比赛，负者淘汰，胜 者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种
比赛过程．那么所有可能出现 的比赛过程有多少种？
解 设亚洲队队员为a
1
,a
2
，…,a
5
,欧洲队队员为b
1
，b
2
，…，b
5
，下标表示事先排列的出场顺序，若以
依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插 的一个排列，最后师胜队种步被淘汰
的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的 白球和5个相同黑球排列问题，
6
比赛过程的总数为
C
10
=252 （种）
十二．转化命题法
例17圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？ 分析：因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问
4
题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有
C
15
=1365
（个）
十三．概率法
例18一天的课程表要排 入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，
那么该天的课程表有多少 种排法？
分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为
本例所求的排法种数就是所有排法的
11
，即A=360种
22
1
，故
2
十四．除序法 例19 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，
（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？
（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？

7
A
7
A
7
7
解（1）
3
（2 ）
34

A
3
A
4
A
3
十五．错位排列
例20 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方
法有 种（9）
公式 1）
a
n
(n1)(a
n1
a< br>n2
)
n=4时a
4
=3(a
3
+a
2
)=9种 即三个人有两种错排，两个人有一种错排．
1
1
1
n
1

2）
a
n
=n!(1-+-+…+

1

1!
2!
3!
n!
练习 有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放 室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回
家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人 都不戴自己帽子的戴法有多少种？（44）
排列与组合的区别
排列与组合的共同点是从n个 不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，而不同点是排列是按照一
定的顺序排成一列，组合是无论怎样 的顺序并成一组，因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的
重要标志．下面通过实例来体会排列与组 合的区别．

【例题】 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出种数．
（1） 高二年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，< br>共握了多少次手？
（2） 高二数学课外活动小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组 长，共有多少种不同的选法？
②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？
（3） 有2、3、5、7、11、13、17、19八个质数：①从中任取两个数求它们的商，可以有多少个不
同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？
（4） 有8盆花：①从中选出2盆 分别给甲、乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2
盆放在教室有多少种不同的选法？
【思考与分析】 （1） ①由于每两人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以< br>与顺序有关，是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手、乙与甲握手是同一次握手，与顺序无
关，所以是组合问题．其他类似分析．
解： （1） ①是排列问题，共通了=110（封）；②是组合问题，共需握手==55（次）
（2） ①是排列问题，共有=10×9=90（种）不同的选法；②是组合问题，共=45（种）不同的
选法；
（3） ①是排列问题，共有=8×7=56（个）不同的商；②是组合问题，共有=28（个）不同的
积； （4） ①是排列问题，共有=56（种）不同的选法；②是组合问题，共有=28（种）不同的选
法． （ 【反思】 区分排列与组合的关键是“有序”与“无序”。 ）