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排列组合解题技巧12法

首先，谈谈排列组合综合问题的一般解题规律:
1）使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取
的方式而定，可 以分类来完成这件事时用“分类计数原理”，需要分步来完成这
件事时就用“分步计数原理”；那么，怎 样确定是分类，还是分步骤？“分类”
表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步”必须把 各步骤均完成
才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干
扰 ，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独
完成，分步计数原理强调各 步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件
事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响 后面的步骤采用的方法。
2）排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。
3）复杂的排列问题常常通过试验、画 “树图 ”、“框图”等手段使问题直观
化，从而寻求 解题途径，由于结果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方
法求解来获得检验。
4） 按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题
的基本思想方法，要注意“至 少、至多”等限制词的意义。
5）处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列 ，按元素
的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基
本原理 和方法，通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能，保证每
步独立，达到分类标准明确，分 步层次清楚，不重不漏。
6）在解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练地 对问
题进行分类，牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和
遗漏计数。
总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加
乘明确；有序排 列，无序组合；正难则反，间接排除等。

其次，我们在抓住问题的本质 特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解
答的同时，还要注意讲究一些解题策略和方法技巧，使 一些看似复杂的问题迎刃
而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。
一．特殊元素（位置 ）的“优先安排法”：对于特殊元素（位置）的排列组合问
题，一般先考虑特殊，再考虑其他。
例1、 用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共
有（ ）。
A． 24个 B.30个 C.40个 D.60个
[分析]由于该三位数为偶 数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0
就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按0排 在末尾和0不排在末尾分两类：
1）0排末尾时，有A42个，2）0不排在末尾时，则有C21 A31A31个，由分数计
数原理，共有偶数A42 + C21 A31A31=30个，选B。
二．总体淘汰法：对于含否定的问题，还可以从总体中把不合要求的除去。如例
1中，也可用此 法解答:五个数字组成三位数的全排列有A53个，排好后发现0
不能排首位，而且数字3，5也不能排 末位，这两种排法要排除，故有A53--3A4
2+ C21A31=30个偶数。
三． 合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问题，按元素的性质进行分类，
按事情发生的连续过程分步 ，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
四．相邻问题用捆绑法：在解决对于某几个元素要 求相邻的问题时，先整体考虑，
将相邻的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再 考虑大
元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法．
例2、有8本不同的书；其中数学书 3本，外语书2本，其它学科书3本．若将
这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰 好排在一起的排法
共有( )种．(结果用数值表示)
解：把3本数学书“捆绑”在一起看 成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起
看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有A55 种排法；又3本数学
书有A33种排法，2本外语书有A22种排法；根据分步计数原理共有排法A55 A
33 A22=1440(种).

注：运用捆绑法解决排列组合问题时， 一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的
顺序问题．
五．不相邻问题用“插空法”：不相邻 问题是指要求某些元素不能相邻，由其它
元素将它们隔开．解决此类问题可以先将其它元素排好，再将所 指定的不相邻的
元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法．
例3、用1、2、3、4 、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相
邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不 相邻。这样的八位数共有( )个．(用
数字作答)
解：由于要求1与2相邻，2与4相邻 ，可将1、2、4这三个数字捆绑在一起形
成一个大元素，这个大元素的内部中间只能排2，两边排1和 4，因此大元素内
部共有A22种排法，再把5与6也捆绑成一个大元素，其内部也有A22种排法，< br>与数字3共计三个元素，先将这三个元素排好，共有A33种排法，再从前面排好
的三个元素形成 的间隙及两端共四个位置中任选两个，把要求不相邻的数字7
和8插入即可，共有A42种插法，所以符 合条件的八位数共有A22 A22 A33 A42
＝288(种)．
注：运用“插空法”解决不相邻问题时，要注意欲插入的位置是否包含两端位置．
六．顺序 固定用“除法”：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几
个元素与其他元素一同进行全排列 ，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列
数。
例4、6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多
少种？
分析：不考虑附加条件，排队方法有A66种，而其中甲、乙、丙的A33种排法中
只有一种符 合条件。故符合条件的排法有A66 ÷A33 =120种。(或A63种)
例5、4个男生和3 个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右
女生从矮到高排列，有多少种排法。
解：先在7个位置中任取4个给男生，有A74 种排法，余下的3个位置给女生，
只有一种排法，故有A74 种排法。(也可以是A77 ÷A33种)
七．分排问题用“直排法”：把几个元素排成若干排的问题，可采用统一排成一
排的排法来处理。

例6、7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则 不同的坐法有多
少种？
分析：7个人可以在前两排随意就坐，再无其它条件,故两排可看作 一排来处理，
不同的坐法共有A77种。
八．逐个试验法：题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律。

例 7.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的方格中，每方格填1个，方
格标号与所填数字均 不相同的填法种数有（）
A．6 B.9 C.11 D.23
解：第一方格内可填2 或3或4，如第一填2，则第二方格可填1或3或4，若
第二方格内填1，则后两方格只有一种方法；若 第二方格填3或4，后两方格也
只有一种填法。一共有9种填法，故选B
九、构造模型 “隔板法”： 对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构
造一个隔板模型来解决问题。
例8、方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？
分析：建立隔板模型：将12个完全 相同的球排成一列，在它们之间形成的11
个间隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，每一种分法所得 4堆球的各堆球的
数目，对应为a、b、c、d的一组正整解，故原方程的正整数解的组数共有C113
.
又如方程a+b+c+d=12非负整数解的个数,可用此法解。
十.排 除法：对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答多需进行
复杂讨论，可以考虑“总体去杂 ”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，
从而计算出符合条件的排列组合数的方法．
例9、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电
视机各一台，则不同的 取法共有( )种．
A．140种 B．80种 C．70种 D．35种
解：在被取 出的3台中，不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合题意，因此符合
题意的抽取方法有C93-C43- C53=70(种)，故选C．
注：这种方法适用于反面的情况明确且易于计算的习题．

十一．逐步探索法：对于情况复杂，不易发现其规律的问题需要认真分析，探索
出其规 律
例10、从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，
则 不同的取法种数有多少种。
解：两个数相加中以较小的数为被加数，1+100>100，1为被加 数时有1种，2
为被加数有2种，…，49为被加数的有49种，50为被加数的有50种，但51为被加数有49种，52为被加数有48种，…，99为被捕加数的只有1种，故不
同的取法有（1 +2+3+…+50）+（49+48+…+1）=2500种
十二．一一对应法：
例 11.在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场失败要退出比赛）最后产生
一名冠军，要比赛几场 ？
解：要产生一名冠军，要淘汰冠军以外的所有选手，即要淘汰99名选手，要淘
汰一名就 要进行一场，故比赛99场。