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排列组合典型题大全
一．可重复的排列求幂法：
重复排列问题要区分两类元素 ：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素
看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“ 住店法”可顺利解题，在这类问题使用
住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数
【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？
（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？
（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？
【解析】：（1）
3
（2）
4
（3）
4

【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，
第二步 ：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有
7
种不同方 案.
【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A、
8
B、
3
C、
A
8
D、
C
8

【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠
军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有
8
种
不同的结果。所以选A
1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？
2、4个人 争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？
3、4个同学参加3项不同的比赛
（1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？
（2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？
4、5名学生报名参加4项比赛， 每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的
可能性有多少？
5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？
6、（全国II 文）5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共
(A)10种 (B) 20种 (C) 25种 (D) 32种
3
6
4
33
38
33
7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组 ，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，则不同的负责
方法有多少种？
8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，不同的分法有多少种？
思考：4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有多少种？

二．相邻问题捆绑法：
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列

【例1】
A,B ,C,D,E
五人并排站成一排，如果
A,B
必须相邻且
B
在
A
的右边，那么不同的排法种数有
【解析】：把
A,B
视 为一人，且
B
固定在
A
的右边，则本题相当于4人的全排列，
A4
24
种
4

例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个 复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进
行自排。由分 步计数原理可得共有
甲乙
522
A
5
A
2
A
2
480
种不同的排法
丙丁




要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其 它元
素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.


【例2】3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3
位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A. 360 B. 288 C. 216 D. 96
2222
【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有 ，
C
3
A
2
A
4
A
2
=432< br> 种
2222
其中男生甲站两端的有
A
1
2
C3
A
2
A
3
A
2
=144
，符合条件 的排法故共有288
例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（ C ）种。
A）720 B）360 C）240 D）120

三．相离问题插空法 ：
元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再 把规定的相离的几
个元素插入上述几个元素的空位和两端.

【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
52
【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为
A
5
种，再用甲乙去插6个空 位有
A
6
种，不同的排法种数是
A
5
A
6
3600
种
52
【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法（具体数字作答）
11
【解析】：
A
1
A
78
A
9
=504
或分类
【例3】 高三（一）班学要安=排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的
演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
52< br>【解析】：不同排法的种数为
A
5
A
6
＝3600
【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工
程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6
项工程的不同排法种数是
2
【解析】：依题意，只需将剩余两个 工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有
A
5
＝20种不同排法。
【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，
但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，
则该晚会的节目单的编排总数为 种.
【解析】：
A
9
A
10
A
11
=990

111

【例6】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的
二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
【解析】：把此问题 当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯
C
5
种方
法,所以满足条件的关灯方案有10种.
说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒
模型可使问题容易解决.
【例7】 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？
【解析】： 解法 1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A
3
3
，○*○*○*○，在四个空
中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A
4
种，所以每个人左右两边都空位的排 法有
3
A
1
4
A
3
=24种.
31
解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人 每人带一把椅子去插空，
于是有A
4
=24种.
【例8】 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？ < br>【解析】：先排好8辆车有A
8
8
种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆 之间及其两端的9
18
个空档中任选一个，将空车位置插入有C
1
9
种方法，所以共有C
9
A
8
种方法.
3
注：题中*表示元素，○表示空.
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声, 3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和 3个独唱共有
4
第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种
A
6
不
A
5
5
种，
同的方法,由分步计数原理, 节目的不同顺序共有


4
A
5
5
A
6
种
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端


四．元素分析法（位置分析法）：
某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元
素；再排其它的元素。

【例1】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四
人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，
其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）
A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种

【解析】：方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。
A
3
A
3
36


23
方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法
C
2
C
2
A
3
24
；若小张、小赵都入选，则有
选法
A
2
A
3
12
，共有选法36种，选A.

113
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【例2】 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
【解析】：老 师在中间三个位置上选一个有
A
3
种，4名同学在其余4个位置上有
A
4
种方法；所以共有
A
3
A
4
72
种。.

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【例3】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？