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浅谈如何解决排列组合问题
摘要：
排列与组合是在高中数学课程里面是重要内 容之一。解题前必须认真审题，
明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其 次要抓住问题
的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答,还要考虑“是有序”的还是“无序的 ”。
排列组合问题的实际应用非常广泛,并且在实际中的解题方法也是比较复杂的,如何提高
学 生解决排列组合问题的能力呢？我认为除了必须领会加，乘原理，熟悉几类典型例题
外，还应让学生掌握 几种必要的解题方法和原则。下面就通过一些实例来介绍实际应用
中的解题技巧。
关键词: 排列、组合
一、 特殊元素和特殊位置优先法
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题 最常用也是最基本的方法,若以元素
分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主 ,需先满足特殊位置的
要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要 兼顾其
它条件。
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
1
先排末位共有
C
3

1
然后排首位共有
C
4

3
最后排其它位置共有
A
4

113
C
3
A
4
288
由分步计数原理得
C
4
二、相邻元素捆绑法
C
4
1
A
4
3
C
3

1
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题，即将需要相邻的元
素合并为一 个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列。
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个 复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，
再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分 步计数原理可得共有
522
A
5
A
2
A
2
480
种不同的排法。
甲乙
丙丁

三、 不相邻问题插空法

对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制
条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可。
例3.一个晚会的节目有 4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出
场顺序有多少种？
解: 分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有
A
5
5
种，第二步将4舞蹈插入 第一步排
4
好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种
A
6
不同的方 法,由分步计数原理,节目的
4
不同顺序共有
A
5
5
A6
种
四、 定序问题倍缩空位插入法

1

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，
然后用总的排列数除 以这几个元素的全排列数。
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进
行排列,然后 用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法
3
种数是：
A
7
7
A
3

4
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙 以外的四人就坐共有
A
7
种方法，其余的三个位
4
置甲乙丙共有 1种坐法，则共有
A
7
种方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有

方法
五、 重排问题求幂法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素 不受位置的约束，可以逐一
安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排 列数为
m
n
种。
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到
车 间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有
7
6
种不同的排法
六、 环排问题线排法
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中 取出m个
1
元素作圆形排列共有
A
m
n
。
n
例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于 ，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人
A
4
4
并从
此位置把圆形展 成直线其余7人共有（8-1）！种排法即
7
！
C
D
E
F
G
H
B
A
AB
C
DEFGHA
七、 多排问题直排法。
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排 前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有
后4个位置上的特殊元素丙有< br>15
A
2
4
A
4
A
5

A
2
4
种,再排
A
1
4
种,其余的5人在5个位置上 任意排列有
A
5
5
种,则共有
种
前 排
后 排

2
八、 排列组合混合问题先选后排法

解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有
C
5
2
种方法.再把4个元素 (包含一个复
合元素)装入4个不同的盒内有
A
4
4
种方法，根据分 步计数原理装球的方法共有
4
C
5
2
A
4

九、 小集团问题先整体后局部法
小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
例9.用1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,
这样的五位数有多少个？ 解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有
A
2
2
种排法，再排 小集团内部共有
2222
A
2
2
A
2
种排法，由分 步计数原理共有
A
2
A
2
A
2
种排法.
十、 元素相同问题隔板法
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元 素,可以用m-1块
1
隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
C
n
m


1
。
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
解 ：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９
个空档中选６个位置插 个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一
种插板方法对应一种分法共有
C
9
6
种分法。

一
班
二
班
三
班
四
班
五
班
六
班
七
班
十一、正难 则反总体淘汰法
有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它
的反面,再从整体中淘汰。
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字 中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,
不同的取法有多少种？
解：这问题中如果直接求 不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中
有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个 偶数的取法有
C
5
3
,只含有1个偶数的取
12123
C< br>5
,和为偶数的取法共有
C
5
C
5
C
5< br>法有
C
5
。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条
123
C
5
C
5
9
件的取法共有
C
5

十二、平均分组问题除法
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要 一定要除以
A
n
n
(
n
为均分的组数)避免重复计数。
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
22
C
2
种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为 解: 分三 步取书得
C
6
2
C
4
22
C
2
中 ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则
C
6
2
C
4
还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(C D,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有
A
3
3
种取法 ,而这

3

223
C
2
A
3
些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有
C
6
2
C< br>4
种分法。
十三.、合理分类与分步法
解含有约束条件的排列组合问题，可 按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过
程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标 准一旦确定要贯穿于解题过
程的始终。
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能 唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱
歌2人伴舞的节目,有多少选派方法
解：10演员中 有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准
进行研究只会唱的5人中没有人选 上唱歌人员共有
C
3
2
C
3
2
种,只会唱的5人中 只有
112
C
3
C
4
种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌 人员有
C
5
2
C
5
2
种，1人选上唱歌人员
C
5
112
C
3
C
4
C
5
2
C
5
2
种。 由分类计数原理共有
C
3
2
C
3
2
C
5
十四、构造模型法
一些不易理解的排列组 合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队
模型，装盒模型等，可使问题直观解决。
例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但 不能关
掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
解： 把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有
C
5
3
种
十五、实际操作穷举法
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往 往利用穷举法或画出
树状图会收到意想不到的结果。
例15.设有编号1,2,3,4,5的 五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五
个盒子内,要求每个盒子放一个球， 并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多
少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号 有
C
5
2
种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际
操作法，如果剩 下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只
有1种装法，同理3号球装 5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原
理有
2C
5
2
种


3号盒 4号盒 5号盒
534


十六.、分解与合成法
分解与合成法是排列组合问题的 一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几
个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分 类计数原理和分步计数原理将问题
合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题方法。
例16. 30030能被多少个不同的偶数整除？
分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13依题< br>意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：
135C
5
C
5
2
C
5
C
5
4
C
5

十七、化归法

4

处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个
简要的问题的解决找到 解题方法，从而进下一步解决原来的问题。
例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选
法有多少种？ < br>解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同
一列, 有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划
111
C< br>2
C
1
种。再从5×5方阵选出3×3掉，如此继续下去.从3×3方队中选3 人的方法有
C
3
方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有
C
5
3
C
5
3
选法所以从5×5方阵选不在同
33111< br>C
5
C
3
C
2
C
1
选法。 一行也不在同一列的3人有
C
5



十八、数字排序问题查字典法

数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向 低位查,依次求出其符合要求的
个数,根据分类计数原理求出其总数。
例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？ 54321
2A
4
A
3
A
2
A
1
297
解:
N2A
5
十九、树图法
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的
结果。 例19．
3
人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过
5
次传 求后,球仍回到甲的
手中,则不同的传球方式有______
N10

二十、复杂分类问题表格法
一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常 出现重复遗漏的情况,
用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效果。
例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,
要求各字 母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法
解:
红 1 1 1 2 2 3

黄 1 2 3 1 2 1

兰 3 2 1 2 1 1

11
121311
C
5
C
4

C
5
C
4

C
5
2
C
3
C
5
2
C
3
2

C
5
3
C
2
C
5
C
4

取法


二十一、住店法
解决“允许重复排列问题”要注意区分 两类元素：一类元素可以重复，另一类不能
重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店 ”，再利用乘法原理直接
求解.
例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数
有 .
分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠 军
看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得7种.
5
总结

排列与组合是在高中数学课程里面是重要内容之一。排列组合历来是学习中的难点，解决排列组合综合性问题的一般过程如下:①认真审题弄清要做什么事②怎样做才能

5

完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分 多少步及多少类。
③确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及 取出多
少个元素.④解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题
策略根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,
我们可以将几 种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通。


6