错过了-泰达荷银效率

排列组合题型总结
一．直接法
例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个
（1）数字1不排在个位和千位
（2）数字1不在个位，数字6不在千位。







二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。
例2 有五张卡片，它的正反面分 别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排
放在一起组成三位数，共可组成多 少个不同的三位数？








三．插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插
入方法？







四．捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？

五．阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法
例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这 12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分
配方案共多少种?








六．平均分堆问题 例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？








七． 染色问题
例7 某城市中心广场建造一个花圃，花 圃6分为个部分，现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相
邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）．




5

1
6
4


3
2



八．递推法
例八 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？

九.几何问题
1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有
种?








十． 先选后排法
例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中 选派4人承担这三项任务，不同的
选派方法有多少种？








十一．用转换法解排列组合问题
例10．某人连 续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结
果有多少种．









十二．转化命题法
例 11.圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？

排列组合题型总结

排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象 ，难以找到解题的突破口。因而在求解排列
组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免 重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得
以快速准确求解。
九．直接法
1． 特殊元素法
例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个
（1）数字1不排在个位和千位
（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
分析 ：（1）个位和千位有5个数字可供选择
A
5
，其余2位有四个可供选择
A< br>4
，由乘法原理：
A
5
A
4
=240
2．特殊位置法
（2）当1在千位时余下三位有
A
5
=60，1不 在千位时，千位有
A
4
种选法，个位有
A
4
种，余下的有< br>A
4
，
共有
A
4
A
4
A
4
=192所以总共有192+60=252
432
十．间接法当直接法求解类别比较 大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法
A
6
2A
5
A
4
=252
3
2
2
2
2
112
112
例2 有五张 卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排
放在一起组成 三位数，共可组成多少个不同的三位数？
分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用， 且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因
333
而可使用间接计算：任取三张卡片可以 组成不同的三位数
C
5
2A
3
个，其中0在百位的有
3 3
2222
2
3
A
3
C
4
2
2

A
2
2
个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数
C
5
-
C
4
2

A
2
=43 2
（个）
十一． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插
入方法？
11
分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故 有
A
9
A
10
=100中
插入方法。
十二． 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？
分析：先将男生捆绑在一起看成一 个大元素与女生全排列有
A
4
种排法，而男生之间又有
A
4
种排法，
又乘法原理满足条件的排法有：
A
4
×
A
4
=576
练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种
（
C
4
A
3
）
2． 某市植物园要在30天内 接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校
23
44
44

119
人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园 30天内不同的安排方法有（
C
29
A
28
）（注
意连续 参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有
C
29
其余的 就是19所学校
选28天进行排列）
十三． 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法
例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这 12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分
配方案共 种 。
分析：此例的 实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插
入7块闸板， 一种插法对应一种名额的分配方式，故有
C
11
种
练习1.(a+b+c+d)有多少项？
当项中只有一个字母时，有
C
4
种（即a.b.c.d而指数只有15故
C
4
C
14
。
110
15
1
7
C
14
当项中有2个字母时，有< br>C
4
而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，
2
即
C
4
C
14

1
2
1
当项中有3个字母时
C
4
指数15分给3个字母分三组即可
C
4< br>C
14

当项种4个字母都在时
C
4
C
14
四者都相加即可．
练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号
数，问有多少种不同的方法？（
C
16
）
3．不定方程X
1
+X
2
+X
3
+…+X
50
=100中不同的整 数解有（
C
99
）
十四． 平均分堆问题 例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？
分析：分出三堆书（a
1
, a
2
）,(a
3
,a
4
)，（a
5
,a< br>6
）由顺序不同可以有
A
3
=6种，而这6种分法只算一种分
222
C
6
C
4
C
2
堆方式，故6本不同的书平均 分成三堆方式有=15种
3
A
3
3
49
2
332
43
练习：1．6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？
2．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。
十五． 合并单元格解决染色问题
例7 （全国卷（文、理））如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得
使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。
分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5．
下面分情况讨论:
( ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4
个元素 ①③⑤的全排列数
A

4
4
2,4
（ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得
A
种着色法．
4
4

（ⅲ）当2、4与


2,4

3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格
①
3,5
从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有
由加法原理知 ：不同着色方法共有2
4
C
4

A
3
种方法．
3
3
3
3
A
4

C
4A
3
=48+24=72（种）
练习1（天津卷（文））将3种作物种植

1 2 3 4 5


在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ，
不同的种植方法共 种（以数字作答） （72）
2．（江苏、辽宁、天津卷（理 ））某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽
种4种颜色的花，每部分栽种 一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以
数字作答）．（120）

5

B
1
6
4

D
A
C
3
2

E

图3 图4
3．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一 种颜色可以
反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）
4．如图5： 四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服
装，且相邻两 区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着
A
色 方法是 种（84）

E
4
B

3
D
1
C

2

图5 图6
5．将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可 供使用，
则不同的染色方法共 种（420）
十六． 递推法
例八 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？
分析：设上n级楼梯的走法为a
n
种，易知a
1
=1,a
2
=2,当n≥2时，上n级楼梯的走法可分两类：第一类：
是最后一步跨一级，有a
n-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有a
n-2
种走法，由加法原理知：a
n=a
n-1
+ a
n-2
,
据此，a
3
=a< br>1
+a
2
=3,a
4
=a
#
+a
2
=5,a
5
=a
4
+a
3
=8,a
6=13,a
7
=21,a
8
=34
,
a
9=55,a
10
=89.故走上10级楼梯共有89种不同的
方法。
九.几何问题
1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有
种（3
C
5
+3=33）
2.四面体的棱中点和顶点共10个点（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？
3

(
C
10
-4
C
6< br>+4-3
C
4
+3-6C
4
+6+2×6=29)
(2)以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？ 三棱锥 C
10
-4C
6-6C
4
-3C
4
=141 四棱锥 6×4×4=96 3
×6=18 共有114
十一． 先选后排法
例9 有甲乙丙三项任务，甲需2 人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的
选派方法有（ ）
A.1260种 B.2025种 C.2520种 D.5054种
分析：先从10人中选出2人
十一．用转换法解排列组合问题
例10．某人连续射 击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结
果有多少种．
解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．
A< br>5
=20种
例11． 个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．
解 把问题转化为5个相 同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问
题．
C
9
=126种
例12 从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法．
解 把 稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。
C
991< br>
例13 某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东 北角，路程最
短的走法有多少种．
解 无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化 为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问
题．
C
7
=35（种）
例14 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走
法．
解 根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为 6个
相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．
C
12
=924（种）．
例15 求（a+b+c）的展开式的项数．
αβγ
解 展开使的项为ab c,且α+β+γ=10，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排
列问题．
C
12
=66（种）
例16 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事 先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比
赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全 被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛
过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？
解 设亚洲队队员为a
1
,a
2
，…,a
5
,欧洲队队员为b< br>1
，b
2
，…，b
5
，下标表示事先排列的出场顺序，若以依
次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队
员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程
的总数为
C
10
=252（种）
十二．转化命题法
6< br>10
4444
33
33
2
5
10
3
6
2

例17 圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？
分析：因两 弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题
化为圆周上的 15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有
C
15
= 1365（个）
十三．概率法
例18 一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语 、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，
那么该天的课程表有多少种排法？
分析：在六节 课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为
例所求的排法种数就是所 有排法的
4
1
，故本
2
11
，即A=360种
22
十四．除序法 例19 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，
（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？
（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？
7< br>A
7
A
7
7
解（1）
3
（2）
34

A
3
A
4
A
3
十五．错位排列
例20 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法
有 种（9）
公式 1）
a
n
(n1)(a
n1
a< br>n2
)
n=4时a
4
=3(a
3
+a
2
)=9种 即三个人有两种错排，两个人有一种错排．
2）
a
n
=n!(1-
1
1
1
n
1

+-+…+

1

1!
2!
3!
n!
练习 有五位客人参加宴会，他们把帽子放在 衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家
后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问 5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？（44）