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《排列组合》
一、排列与组合
1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？
2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？
3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”
和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是
A.男同学2人，女同学6人 B.男同学3人，女同学5人
C. 男同学5人，女同学3人 D. 男同学6人，女同学2人
4.一条铁路原有m个车站，为了适应 客运需要新增加n个车站（n>1），则客运车票增加了58
种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不 同车票），那么原有的车站有
A.12个 B.13个 C.14个 D.15个
5．用0，1，2，3，4，5这六个数字，
（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？
（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？
（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？
（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？
（5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？
二、注意附加条件
1.6人排成一列 （1）甲乙必须站两端，有多少种不同排法？
（2）甲乙必须站两端，丙站中间，有多少种不同排法？
2.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数？
3 .由数字1，2，3，4，5，6，7所组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排列起来，
第 379个数是
A.3761 B.4175 C.5132 D.6157
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4. 设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五 个杯盖，将五个杯盖
盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有
A.30种 B.31种 C.32种 D.36种
5.从编号为1，2，…，10,11的11个球中取5个，使这5个球中既有编号为偶数 的球又有编
号为奇数的球，且它们的编号之和为奇数，其取法总数是
A.230种 B.236种 C.455种 D.2640种
6.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法有
A.240种 B.180种 C.120种 D.60种
7. 用0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从 小到大排列
起来，第71个数是 。
三、间接与直接
1.有4名女同学 ，6名男同学，现选3名同学参加某一比赛，至少有1名女同学，由多少种不
同选法？
2. 6名男生4名女生排成一行，女生不全相邻的排法有多少种？
3.已知集合A和B各12个元素，AB
含有4个元素，试求同时满足下列两个条件的集合C的
个数：（1）
C(A B)
且C中含有三个元素；（2）
CA
,

表示空集。
4. 从5门不同的文科学科和4门不同的理科学科中任选4门，组成一个综合高考科目组，若
要求这组科目中文理科都有，则不同的选法的种数
A.60种 B.80种 C.120种 D.140种
5.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点不同取法有多少种？
6. 以正方体的8个顶点为顶点的四棱锥有多少个？
7. 对正方体的8个顶点两两连线，其中能成异面直线的有多少对？
四、分类与分步
1.求下列集合的元素个数．
（1）
M{(x,y)|x,yN,xy6}
；
（2）
H{(x,y)|x,yN,1x4,1y5}
．
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2.一个文艺团队有9名成员 ，有7人会唱歌，5人会跳舞，现派2人参加演出，其中1名会唱
歌，1名会跳舞，有多少种不同选派方 法？
3.已知直线
l
2
l
1
l
2
lll
，在
1
上取3个点，在
2
上取4个点，每两个点连成直线，那么这些 直线在
1
和
ll
之间的交点（不包括
1
、
2
上的点）最多有
A. 18个 B.20个 C.24个 D.36个
4. 9名翻译人员中，6人懂英语，4人懂日语，从中选拔 5人参加外事活动，要求其中3人担
任英语翻译，2人担任日语翻译，选拔的方法有 种（用数字作答）。
5.某博物馆要在20天内接待8所学校的学生参观，每天只安排一所学校，其中 一所人数较多
的学校要连续参观3天，其余学校只参观1天，则在这20天内不同的安排方法为
A.
7
C
3
20
A
17
种 B.
A
8
20
种 C.
7
C
1
18
A
17
种 D.
A
18
18
种
6. 从10种不同的作物种子选出6种放入6 个不同的瓶子展出，如果甲乙两种种子不许放第一
号瓶内，那么不同的放法共有
A.
24
C
10
A
8
种 B.
5
C
1
9
A
9
种 C.
5
C
1
8
A
9
种 D.
5
C
1
9
A
8
种
7. 在画廊要展 出1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，要求排成一排，并且同一种的画摆放在一
起，还要求水彩画不能摆 两端，那么不同的陈列方式有
A.
5
A
1
4
A
5
种 B.
245
A
3
A
4
A
5
种 C.
45
A
1
4
A
4
A
5
种 D.
45
A
2
2
A
4
A
5
种
8. 把一个圆周24等分，过其中任意3个分点，可以连成圆的内接三角形，其中直角三角形的
个数是
A.122 B.132 C.264
9. 有三张纸片，正、反面分别写着数字1、2、3和4、5、6 ，将这三张纸片上的数字排成三
位数，共能组不同三位数的个数是
A. 24 B.36 C.48 D.64
10.在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?
11. 如下图,共有多少个不同的三角形?
解:所有不同的三角形可分为三类：
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第一类:其中有两条边是原五边形的边,这样的三角形共有5个
第二类:其中有且只有一条边是原五边形的边,这样的三角形共有5×4=20个
第三类:没有一条边是原五边形的边,即由五条对角线围成的三角形,共有5+5=10个
由分类计数原理得,不同的三角形共有5+20+10=35个.
12.从5部不同的影片中 选出4部，在3个影院放映，每个影院至少放映一部，每部影片只放
映一场，共有 种不同的放映方法（用数字作答）。
五、元素与位置——位置分析
1.7人争夺5项冠军，结果有多少种情况？
2. 75600有多少个正约数?有多少个奇约数?
解:75600的约数就是能整除75600的整数, 所以本题就是分别求能整除75600的整数和奇约数
的个数.
由于 75600=2
4
×3
3
×5
2
×7
ljkl
(1) 75600的每个约数都可以写成
2357
的形式, 其中
0i4
,
0j3
,
0k2
,
0 l1

于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即
i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值,这样
i
有5种取法,
j
有4种取法,< br>k
有3种取法,
l
有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5
× 4×3×2=120个.
jkl
(2)奇约数中步不含有2的因数,因此75600的每个奇 约数都可以写成
357
的形式,同上奇
约数的个数为4×3×2=24个.
3. 2名医生和4名护士被分配到两所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同分
配方法有多少种？
4．有四位同学参加三项不同的比赛，
（1）每位同学必须参加一项竞赛，有多少种不同的结果？
（2）每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同的结果？
解：（1）每位学生有三种选择，四位学生共有参赛方法：
333381
种；
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（2）每项竞赛被选择的方法有四种，三项竞赛共有参赛方法：
44464
种.
六、染色问题
1.如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许 同一种颜色使用多次,
但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为()
A. 180 B. 160 C. 96 D. 60
②
①
③
图一
④
①
③
②
图二
④
②
①
③
④
图三

若变为图二,图三呢?(240种,5×4×4×4=320种)
2. 某班宣传小组一期国庆专刊，现有红、
黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用，
要求在黑板中A、B、C、D（如图）每一
A
B
C
部分只写一种颜色，相邻两块颜色不同，
则不同颜色粉笔书写的方法共有 种（用具体数字作答）。
七、消序
D
1. 有4名男生，3名女生。现将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排
法？
2. 书架上有6本书，现再放入3本书，要求不改变原来6本书前后的相对顺序，有多少种不
同排法？
八、分组分配
1.某校高中一年级有6个班，分派3名教师任教，每名教师任教二个班，不同 的安排方法有多
少种？
2. 高三级8个班，分派4名数学老师任教，每位教师任教2个班，则不同安排方法有多少种？
3. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人一本、二本、三本的不同分法有多少种？
4.8项工程，甲承包三项，乙承包一项，丙、丁各承包二项，不同的承包方案有 种
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5..六人住A、B、C三间房，每房最多住三人，
（1）每间住两人，有 种不同的住法，
（2）一间住三人，一间住二人，一间住一人，有 种不同的住宿方案。
6. 8人住ABC三个房间，每间最多住3人，有多少种不同住宿方案？
7.有4个不同小球放入四个不同盒子，其中有且只有一个盒子留空，有多少种不同放法？
7. 把标有a，b，c，d，…的8件不同纪念品平均赠给甲、乙两位同学，其中a、b不赠给同一< br>个人，则不同的赠送方法有 种（用数字作答）。
九、捆绑
1. A、B、C、D、E五个人并排站成一列，若A、B必相邻，则有多少种不同排法？
2. 有8本不同的书， 其中科技书3本，文艺书2本，其它书3本，将这些书竖排在书架上，
则科技书连在 一起，文艺书也连在一起的不同排法种数与这8本书的不同排法之比为
A.1:14 B.1:28 C.1:140 D.1:336
十、插空
1.要排一个有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何 两个舞蹈节目都不相邻，有多
少种不同排法？
2、4名男生和4名女生站成一排，若要求男女相间，则不同的排法数有（ ）
A.2880 B.1152 C.48 D.144
3. 要排一个有5个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单，如果舞蹈节目不相邻，则有多少
种不同排法？
4. 5人排成一排，要求甲、乙之间至少有1人，共有多少种不同排法？
5..把5本不同 的书排列在书架的同一层上，其中某3本书要排在中间位置，有多少种不同排
法？
6.1到7七个自然数组成一个没有重复数字的七位数，其中偶数不相邻的个数有 个.
7.排成一排的8个空位上，坐3人，使每人两边都有空位，有多少种不同坐法？
8.8张椅子放成一排，4人就坐，恰有连续三个空位的坐法有多少种？
9. 排成一排的9个空位上，坐3人，使三处有连续二个空位，有多少种不同坐法？
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10. 排成一排的9个空位上，坐3人，使三处空位 中有一处一个空位、有一处连续二个空位、
有一处连续三个空位，有多少种不同坐法？
11. 某城市修建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭
其中三只灯，但 不能熄灭两端的灯，也不能熄灭相邻的两只灯，那么熄灯的方法共有 种
A.
3
C
8
B.
3
A
8
C.
C
3
9
D.
A
3
9

12. 在一次文艺演出中，需给舞台上方安装一排彩 灯共15只，以不同的点灯方式增加舞台效
果，要求设计者按照每次点亮时，必需有6只灯是关的，且相 邻的灯不能同时被关掉，两端的
灯必需点亮的要求进行设计，那么不同的点亮方式是
A.28种 B.84种 C.180种 D.360种
13. 一排长椅上共有10个座位，现有4人就座，恰有五个连续空位的坐法种数
为 。（用数字作答）
十一、隔板法
1. 不定方程
x
1
x
2
x
3
x
4
7
的正整数解的组数是 ，非负整数解的组数是 。
2.某运输公司有7个车队，每个车队的车多于4辆，现从这7个 车队中抽出10辆车，且每个
车队至少抽一辆组成运输队，则不同的抽法有
A.84种 B.120种 C.63种 D.301种
3. 要从7所学校选出10人参加素质教育研讨班，每所学校至少参加1人，则这10个名额共
有 种分配方法。
4.有编号为1、2、3的3个盒子和10个相同的小球，现把10个小球全部装入3个 盒子中，使
得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数，这种装法共有
A.9种 B.12种 C.15种 D.18种
5.将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒至少1球的方法有多少种？
6.某中学从 高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使
代表中每班至少有1人 参加的选法有多少种？
十二、对应的思想
1.在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一 场比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，
问要举行几场？
十三、找规律
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1.在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和大于20的不同取法共有多少种?
解: 分类标准一,固定小加数.小加数为1时,大加数只有20这1种取法;小加数为2时,大加数
有19或 20两种取法;小加数为3时,大加数为18,19或20共3种取法…小加数为10时,大加
数为11 ,12,…,20共10种取法;小加数为11时,大加数有9种取法…小加数取19时,大加数有
1种 取法.由分类计数原理,得不同取法共有1+2+…+9+10+9+…+2+1=100种.
分类标准二:固定和的值.有和为21,22,…,39这几类,依次有取法10,9,9,8,8, …,2,2,1,1种.
由分类计数原理得不同取法共有10+9+9+…+2+2+1+1=100种 .
2.从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于一百，则不同的取法有
A.50种 B.100种 C.1275种 D.2500种
十四、实验——写出所有的排列或组合
1.将数字1,2,3,4填入标号1,2,3,4的 四个方格中，每个格填一个，则每一个方格的标号与所
填的数字均不同的填法有 种.
A.6 B.9 C.11 D.23
解:列表排出所有的分配方案,共有3+3+3=9种,或
33119
种．
未归类几道题
1.从数字0，1，3，5，7中取出不同的三位数作系数，可以组成多少个不 同的一元二次方程
ax+bx+c=0?其中有实根的方程有多少个？
变式：若直线Ax+B y+C=0的系数A、B可以从0，1，2，3，6，7这六个数字中取不同的数值，
则这些方程所表示 的直线条数是（ A）
A.18 B.20 C.12 D.22
2.在100件产品中,有98件合格品,2件不合格品.从这100件产品中任意抽出3件
(1)一共有多少种不同的抽法?
(2)抽出的3件中恰好有一件是不合格品的抽法有多少种?
(3)抽出的3件中至少有一件是不合格品的抽法有多少种?
3.10双互不相同的鞋子混装 在一只口袋中，从中任意抽取4只，试求各有多少种情况出现如下
结果
(1)4只鞋子没有成双；(2) 4只鞋子恰好成双；
(3) 4只鞋子有2只成双，另2只不成双
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4.f是集合M={a,b,c,d}到N{0,1,2}的映射，且f(a)+f(b)+f(c)+ f(d)=4,则不同的映射有多少
个？
解：根据a,b,c,d对应的象为2的个数分类，可分为三类：
第一类，没有一个元素的象 为2，其和又为4，则集合M所有元素的象都为1，这样的映射只有
1个
第二类，有一个元素 的象为2，其和又为4，则其余3个元素的象为0，1，1，这样的映射有
C41C3 1C22个 < br>第三类，有两个元素的象为2，其和又为4，则其余2个元素的象必为0，这样的映射有C42C22个
根据加法原理共有 1+ C41C3 1C22 +C42 C22=19个
5.四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的方法共有多少种？
6.由12个人组成的课外文娱小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，2个人既会跳舞又
会唱歌，若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去排演节目，共有多少种不同选法？

排列、组合练习题参考答案:
1.
C
9
2
36
2.
A
9
2
72

3.解析：设男生有n人，则女生有（8-n）人，由题意得
n

n1< br>
(8n)690
nn1

(8n)30
2< br> 即


213
C
n
C
8n
A
3

用选支验证选（B）
4.分类：①恰有两个杯盖和茶杯的编号相同 的盖法有
3
C
5
10
C
5
2
220
种；
②恰有三个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有种；
③无恰有四个杯盖和茶杯的编号相同的盖法，只有五个杯盖和茶杯的编号完全相同的盖法1种。
故选（B）31种。
5 .分类：①1奇4偶：
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14
C
6
C
5
30
②3奇2偶：
32
C
6
C
5
200
选（A）

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6.分步：
1
C
6
C
5
2
2
2
240
选（A）
7.间接法：
33
C
10
C
6

B
A
或分类：
2213
C
1
4
C
6
+C
4
C
6
+C
4

4
8
8. 间接法：
AAA
10
10
4
4
7
7
8

9. 间接法：
3
C
20
C
8
3

l
1
l
2
2
C
3
2
C
4
1810.对应：一交点对应、上各两点：个选（A）
11. 分类：①英语翻译从单会英语中选派：
32
C
5
C
4
60

②英语翻译选派中一人既会英语又会日语：
填90
C
5
2
C
3
2
30

懂日语
懂英语
12. 分步：
选（D）
AAA
2
2
4
4
5
5
1

5
6
13.元素与位置：以冠军为位置，选人：
777777

432
14.
756002357
①
5432120
；②
43224

5
15. 分步：
5433180
填180
9
A
9
789
6
A
9
3
A
789
6
1 6.消序：=504 或分步插空：=504 或
222
C
6
C
4
C
2
3
A
3
222
3
C6
C
4
C
2
A
3
17.先分组后分配： 或位置分析：
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18. 先分 组后分配：
3213
C
6
C
3
C
1
A3

19. 位置分析：
122
C
8
3
C5
C
4
C
2

3213
C
6
C
3
C
1
A
3
20.（1）仿17题；（2）先分组后分配 ：
32
C
8
3
C
5
C
2
3
A
3
2
A
2
21. 先分组后分配：

或分类，先确定住两人的房间——位置分析：

重复题目: 先分组后分配：
C
4
2
A
3
3
1233
C
3
C< br>8
C
6
C
3

或分类——位置分析：3
2 11
C
4
C
2
C
1

532
A< br>5
A
3
A
2
1

8
A28
选（B）
8
22.捆绑：

23. 插空:
A
4
4
A
5
3
24. 插空:
C
8
3
3
A
4
25. 插空:
A
4
4
A
5
2
26. 插空:
3
A
3
3
C
4

27. 插空:

33
A
3
A
4
28.(A)
29. 隔板法：
3
C
9
6
C
9
987
84
321
选（A）
30.
1
先在编号为2、3的2个盒子分别放入1个小球、2个小球；
2< br>2
对余下7个小球用隔板法
C
6
15
。选（C）

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31.对应的思想：100名 选手之间进行单循环淘汰赛，最后产生一名冠军，要环淘99名选手，
每淘汰1名选手，对应一场比赛。 故要举行99场比赛。

32.[ 解法一]:找规律：固定小加数.小加数为1时,大加数 只有20这1种取法;小加数为2时,
大加数有19或20两种取法;小加数为3时,大加数为18,1 9或20共3种取法…小加数为10时,
大加数为11,12,…,20共10种取法;小加数为11时 ,大加数有9种取法…小加数取19时,大加
数有1种取法.由分类计数原理,得不同取法共有1+2+ …+9+10+9+…+2+1=100种.
[法二]:固定和的值.有和为21,22,…,39这几类,依次有取法10,9,9,8,8, … ,2,2,1,1种.由
分类计数原理得不同取法共有10+9+9+…+2+2+1+1=100种.
以上两种方法是两种不同的分类。

33. 解:列表排出所有的分配方案,共有3+3+3=9种,或
33119
种．

34.(1)

35. 解：根据a,b,c,d对应的象为2的个数分类，可分为三类：
第一类，没有一个元素的象为2，其 和又为4，则集合M所有元素的象都为1，这样的映射只有
1个

第二类，有一个元 素的象为2，其和又为4，则其余3个元素的象为0，1，1，这样的映射有
112
C
4
C
3
C
2
4
C
10
2
4 (2)
2
C
10
(3)
1
C
10
C
9
2
2
2

=12个
C
4
2
C
2
2
第三类，有两个 元素的象为2，其和又为4，则其余2个元素的象必为0，这样的映射有
个

112
C
4
C
3
C
2
C
4
2
C
2
2
根据加法原理共有 1+ + =1+12+6=19个
=6

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