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排列组合常见题型
一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以 重复，另一
类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住
店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个
是底数，哪个是指数
【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有
多少种不同的报名方法
（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果
（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法
【解析】：（1）
3
（2）
4
（3）
4

【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法
【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方
案，
第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数
原理知共有
7
种不同方案.
38
83
【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A、 B、 C、
6
4
33
A
8
D、
C
8

33
【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项 冠军，把8名学生看作8家“店”，
3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“ 客”有8种可能，
因此共有
8
种
不同的结果。所以选A
3

二．相邻问题捆绑法： 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大
元素参与排列.
【例1】A,B,C ,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么
不同的排法种数有
【解析】：把A,B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，
4
A
4
24
种
【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同 学站成一排，若男生甲不
站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A. 360 B. 188 C. 216 D. 96
【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法
有，
2222
C
3
A
2
A
4
A
2
= 432
，其中男生甲站两端的有
2222
A
1
2
C
3
A
2
A
3
A
2
=144
，符合条件的排 法故
共有288
三．相离问题插空法 ：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的 几个元
素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
52
AA
56
【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有 种，
52
A
5
A
6
3600
不同的排法数是
【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有
种不同的插法（数字作答）
【解析】：
11
A
1
7< br>A
8
A
9
=504

【例3】 高三（一）班学要安 排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个

曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节 目不连排，则不同排法的种数是
【解析】：不同排法的种数为
A< br>5
5
A
6
2
＝3600
【例4】 某工程队有6项 工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才
能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有 工程丁必须在工程丙完成后立
即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 【解析】：依题，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个
空中，可得有A
5
2
＝20种不同排法。
【例5】某市春节晚会原定10个节目，导 演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有
关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已 经排好的10个
节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为 种. 【解析】：
11
A
1
9
A
10
A
11
=990

【例6】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中 的三盏，但不能
关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少
种
【解析】：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的
3
C
5
灯种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.
说明：一些不易理解的排列组 合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队
模型，装盒模型可使问题容易解决.
【例7】 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种
数有多少种
【解析】： 解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A，○*○*○*○，
33

在四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A种，所以每个人左右两< br>边都空位的排法有
3
A
1
4
A
3
1
4
=24种.
解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○ *○*
再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A=24种.
【例8】 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连
在一起，不同的停车方法有几种
【解析】：先排好8辆车有A种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及
其两端的9个 空档中任选一个，将空车位置插入有C种方法，所以共有CA种方
法.
注：题中*表示元素，○表示空.
四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指 定位置，可先排这个或
几个元素；再排其它的元素。
【例1】 2010年广州亚运会组委会 要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿
者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工 作，若其中小张和小
赵只能从事前两项工作，
其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）
A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种
【解析】： 方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。
方法二：分两类：若小 张或小赵入选，则有选法
选，则有选法
22
A
2
A
3
12
23
A
3
A
3
36
3
4
8
8
1
9
1
9
8
8

113< br>C
2
C
2
A
3
24
；若小张、小赵都入< br>，共有选法36种，选A.
【例2】 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同

的排法有多少种
14
AA
34
【解析】： 老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其 余4个位置上有
14
A
3
A
4
72
种方法；所以 共有
【例3】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种
【解析】 法一：
6
A
1
A
56
3600
法二：
25
A
6
A
5
3600
法三：
7 66
A
7
A
6
A
6
3600

五．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
【例1】（1） 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种
数是（ ）
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
（2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为
（A）
55
A
15
A
10
（B）
55 53
A
15
A
10
A
5
A
3
（C）
15
A
15
（D）
5553
A
15
A
10
A
5
A
3

（3）8个不同的 元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，
某1个元素排在后排，有多少种不同排 法
【解析】：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成
一排， 共
6
A
6
720
种，选
C
.
（2）答案：C
2
A
4
（3）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选 排2个，有种，某1个元素
15
AA
45
排在后半段的四个位置中选一个有种 ，其余5个元素任排5个位置上有种，
125
A
4
A
4
A< br>5
5760
故共有种排法.
六．定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题 中限制某几个元素必须保持一定的
顺序，可用缩小倍数的方法.

【例1】.< br>A,B,C,D,E
五人并排站成一排，如果
B
必须站在
A
的 右边（
A,B
可以不相
邻）那么不同的排法种数【解析】：
B
在A
的右边与
B
在
A
的左边排法数相同，所
1
5
A
5
60
以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即
2
种
【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有
多少种不同的插法
1
9
A
9
3
6
【解析】 ：法一：
A
9
法二：
A
6

【例3】将A 、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B
居中，C在后的原则（A、 B、C允许不相邻），有多少种不同的排法 【解析】 ：
1
6
A
6
3
3
A
6
法一： 法二：
A
3

六．标号排位问题（不配对问题） 把元素排到指定位置上， 可先把某个元素按规
定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
【例1】 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个
数，则 每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）
A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
【解析】 ：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二 步把被填入方格
的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有
一种填法，共有3×3×1=9种填法，选
B
.
【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个
座位，其中
有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ）

A 10种 B 20种 C 30种 D 60种 答案：B
【例3】：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送 出
的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有( )
（A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种
【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。
第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；
第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类：
（1）乙取a，则接下来丙、丁取法都是唯一的， （2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一
的。根据加法原 理和乘法原理，一共有
3(12)9
种分配方式。 故选（B）
【例 4】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同
的站队方式共有( )
（A）60种 （B）44种 （C）36种 （D）24种 答案：B
七．不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法
【例1】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式
分成1本、2本、3本三组；
分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
分成每组都是2本的三个组；
分给甲、乙、丙三人，每个人2本；
分给5人每人至少1本。
222
C
6
C
4
C2
222
1231233
3
CCC
C
6
C5
C
3
C
6
C
5
C
3
A3
A
642
3
【解析】 ：（1） （2） （3） （4） （5）

211111
C
5
C
5
C
4
C
3
C
2
C
1
5
A
5
4
A
4

【例2】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分
配方案有 种（数字作答）．
211
C
4
C
2
C
12
A
2
【解析】：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有; < br>第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有
211
C
4
C
2
C
1
3
A
3
36
2
A
2

A
3
3
所以满足条件得分配的方案有
说明：分配的元素 多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
【例3】 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的
分派方法共有
（A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种
311
C
5
C
2
C
1
3
A
3< br>2
A
2
【解析】：人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2 ,2，则有＝
122
C
5
C
4
C
2
3A
3
2
A
2
60种，若是1,1,3，则有＝90种，所以共 有150种，选A
【例4】 将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方
法的种数为（ ）
A．70 B．140 C．280 D．840 答案 ：（ A ）
【例5】 将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２
名，则不同的分配方案有（ ）
（A）３０种 （B）９０种 （C）１８０种 （D）２７０种
【解析】：将5名 实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2

12
C
5
C
4
15
2
A
2
名，则将5名教师分成三组 ，一组1人，另两组都是2人，有种方法，
3
15A
3
90
再将 3组分到3个班，共有种分配方案。选B.
【例6】 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项 目,且在同一个城市投资
的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有（ ）种
A．16种 B．36种 C．42种 D．60种
33
C
4
2
C
3
2
A
2
2
C
4
A
3
362460
2,1,0,01,1,1,0< br>【解析】：按条件项目可分配为与的结构，∴
故选D；
【例7】（1）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法
种数为（ ）
A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 答案：
B
.
（2）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口 4人，则不
同的分配方案有多少种
44
C
12
C
8
4
C
4
3
A
3
3
A
3
答案：
【例8】 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选
出4人承担
这三项任务，不同的选法种数是（ ）
A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种
【解析】：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙
项任务，第
三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有
211
C
10C
8
C
7
2520
种，选
C
.