怎样歌词-万变不离其中

排列组合题型总结

排列组合问题千变万化，解法灵活， 条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因
而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清， 加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还
应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。
一． 直接法
1．特殊元素法
例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试 求满足下列条件的四位
数各有多少个
（1）数字1不排在个位和千位
（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择
A< br>5
2
，其余2位有四个可供选择
A
4
2
，由乘法原理：
A
5
2
A
4
2
=240
2．特殊位置法
11
（2）当1在千位时余下三位有
A
5
3
=60，1不在千位时，千位有
A
4
种选法，个位有
A
4
种，
11
A
4
A
4
2
=192所以总共有 192+60=252 余下的有
A
4
2
，共有
A
4
二． 间接法当直接法 求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法
32
A
6
4< br>2A
5
A
4
=252
例2 有五张卡片，它的正反面 分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们
任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成 多少个不同的三维书？
分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使 用0与使用1，类
33
2
3
A
3
别较复杂，因而可使用 间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数
C
5
2
2
2

A
2
2
个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数个，其中0在百位 的有
C
4
33
2
C
5
2
3
A
3
2
2

A
2
2
=432（个） -
C
4
三． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，
有多少中插入方法？

分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变 为10个，故有
11
A
9
A
10
=100中插入方法。
四． 捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？
分析：先将男生捆绑在一起看成一 个大元素与女生全排列有
A
4
4
种排法，而男生之间又有
A
4
4
种排法，又乘法原理满足条件的排法有：
A
4
4
×A
4
4
=576
练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法
有 种（
C
4
2
A
3
3
）
2． 某市植物园 要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中
有一所学校人数较多，要安排 连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排
119
A
28
方法有（
C
29
）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作 为一个整
1
体来选有
C
29
其余的就是19所学校选28天进行排列 ）
五． 阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法
例5 某校准备 组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少
一人，名额分配方案共 种 。
分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的
7
11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有
C
11种
练习1.(a+b+c+d)
15
有多少项？
110
C
14
当项中只有一个字母时，有
C
4
种（即a.b.c.d而指数只有15故
C
4
。
当项中有2个字母时，有< br>C
4
2
而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板
1 1
法一分为2，
C
14
即
C
4
2
C
14

332
C
14
当项中有3个字母时
C
4
指数15分给3个字母分三组即可
C
4
43
C
14
当项种4个字母都在时
C
4
四者都相加即可．
练习2．有20个不加 区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的
2
球数不少编号数，问有多 少种不同的方法？（
C
16
）
49
3．不定方程X
1+X
2
+X
3
+…+X
50
=100中不同的整数解有 （
C
99
）

六． 平均分堆问题 例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？
分析：分出三堆书（a
1
, a
2
）,(a
3
,a
4
)，（a
5
,a< br>6
）由顺序不同可以有
A
3
3
=6种，而这6种分法
222
C
6
C
4
C
2
只算一种分堆方式，故6本不 同的书平均分成三堆方式有=15种
3
A
3
练习：1．6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？ < br>2．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法
的种数 。
七． 合并单元格解决染色问题
例7 （全国卷（文、理））如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相
邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字
作答）。
分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5．
下面分情况讨论:
( ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方
法相当于4 个元素 ①③⑤的全排列数
A
4

（ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得
A
4
种着色法．
（ⅲ）当2、4与


3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格
2,4

2,4
4
4
①
3,5
从4种颜色中选3种来着色这三个单 元格，计有
C
4

A
3
种方法．

由 加法原理知：不同着色方法共有2
A
4

C
4
A
3
=48+24=72（种）
练习1（天津卷（文））将3种作物种植

1 2 3 4 5


在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ，
不同的种植方法共 种（以数字作答） （72）
2．（江苏、辽宁、天津卷（理 ））某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图
3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种 一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的
栽种方法有 种（以数字作答）．（120）
4
3
3
3
3

6
2
5
1
3
4
B
A
C
D
E
图3 图4
3．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同< br>一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）
4．如图5： 四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿
同种颜色的服装，且相邻两 区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与
A
否不受限制，那么不同的着色 方法是 种（84）




图5 图6
5．将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜1
2
4
3
B
C
E
D
色可供使用，则不 同的染色方法共 种（420）
八． 递推法
例八 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少
种不同的走法？
分析：设上n级楼梯的走法为a
n
种，易知a
1
=1,a
2
=2,当n≥2时，上n级楼梯的走法可分
两类：第一类：是最后一步跨一级，有a
n -1
种走法，第二类是最后一步跨两级，有a
n-2
种走法，
由加法原理知： a
n
=a
n-1
+ a
n-2
,据此，
a
3
=a
1
+a
2
=3,a
4
=a
#
+a
2
=5,a
5
=a
4
+a
3
=8, a
6
=13,a
7
=21,a
8
=34
,
a
9
=55,a
10
=89.故走上10级楼梯共有89种
不同的方 法。
九.几何问题
1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们 和点A在同一平面上，
不同的取法有 种（3
C
5
3
+3=33）
2.四面体的棱中点和顶点共10个点 （1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平

面？
3< br>3
3
(
C
10
-4
C
6
+4-3< br>C
4
+3-6C
3
4
+6+2×6=29)
(2)以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？ 三棱锥 C
10
4
-4C6
4
-6C
4
4
-3C
4
4
=141 四棱锥 6
×4×4=96 3×6=18 共有114
十．先选后排法
例9 有 甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项
任务，不同的选派 方法有（ ）
A.1260种 B.2025种 C.2520种 D.5054种
分析：先从10人中选出2人
十一．用转换法解排列组合问题
例 10．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结
果，不同的结果 有多少种．
解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．
A
5
2
=20种
例11．个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．
解 把 问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙
种的排列问题．< br>C
9
5
=126种
例12 从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法．
10
解 把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题 。
C
991

例13 某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街 4条，一人欲从西南角走到东北
角，路程最短的走法有多少种．
解 无论怎样走必须经过 三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑
3
球的排列问题．
C< br>7
=35（种）
例14 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多
少种不同的走法．
解 根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问
6
题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．
C
12
=924（ 种）．
例15 求（a+b+c）
10
的展开式的项数．
解 展开 使的项为a
α
b
β
c
γ
,且α+β+γ=10，因此，把问 题转化为2个相同的黑球与10个相

2
同的白球的排列问题．
C
12
=66（种）
例16 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由
1号队员比赛，负者 淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一
方获胜，形成一种比赛过程．那么所有 可能出现的比赛过程有多少种？
解 设亚洲队队员为a
1
,a
2
，…,a
5
,欧洲队队员为b
1
，b
2
，…，b
5
，下标表示事先排列的出场顺
序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母 互相穿插的一个排列，最后
师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5 个相同的白球
6
和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为
C
10
=252（种）
十二．转化命题法
例17圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一 弦，这些弦在圆内的交点最多有多少
各？
分析：因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一 个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边
形，则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边 形，因此这些现在圆内的
4
交点最多有
C
15
=1365（个）
十三．概率法
例18一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果 数学必须排在
体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？
分析：在六节课的排列总数中，体 育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均
为
111
，故本例所求的排法 种数就是所有排法的，即A=360种
222
十四．除序法 例19 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，
（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？
（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？
7< br>A
7
A
7
7
解（1）
3
（2）
34

A
3
A
4
A
3
十五．错位排列
例20 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不
同的分配方法有 种（9）
公式 1）
a
n
(n1)(a
n1
a< br>n2
)
n=4时a
4
=3(a
3
+a
2
)=9种 即三个人有两种错排，两个人有
一种错排．

1
11
n
1

2）
a
n
=n!( 1-+-+…+

1

1!
2!3!n!
练习 有五位 客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子
回家，回家后，他们的妻子 都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法
有多少种？（44）

排列与组合的区别
排列与组合的共同点是从n个不同的 元素中，任取m（m≤n）个元素，而不同点是排列
是按照一定的顺序排成一列，组合是无论怎样的顺序 并成一组，因此“有序”与“无序”是
区别排列与组合的重要标志．下面通过实例来体会排列与组合的区 别．

【例题】 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出种数．
（1） 高二年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了
一 次手，共握了多少次手？

（2） 高二数学课外活动小组共10人：①从中选一名正组长 和一名副组长，共有多少种不
同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

（3） 有2、3、5、7、11、13、17、19八个质数：①从中任取两个数求它们的 商，可以有
多少个不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

（4） 有8盆花：①从中选出2盆分别给甲、乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从
中 选出2盆放在教室有多少种不同的选法？

【思考与分析】 （1） ①由于每两人互通一 封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封
信，所以与顺序有关，是排列；②由于每两人互握一次手， 甲与乙握手、乙与甲握手是同一
次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．
解： （1） ①是排列问题，共通了=110（封）；②是组合问题，共需握手==55（次）

（2） ①是排列问题，共有=10×9=90（种）不同的选法；②是组合问题，共=45（种）
不同的选法；

（3） ①是排列问题，共有=8×7=56（个）不同的商；②是组合问题，共有=28（个）
不同的积；
（4） ①是排列问题，共有=56（种）不同的选法；②是组合问题，共有=28（种）不
同的选法． （ 【反思】 区分排列与组合的关键是“有序”与“无序”。 ）