婚誓-谢天笑吉他谱

排列组合常见题型及解题策略
一．可重复的排列求幂法：
重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，
把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类
问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数
【例1】（1）有4名 学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同报名方
法？
（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？
（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？
【解析】：（1）
3
（2）
4
3
（3）
4
3

【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，
第二步 ：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有
7
种
不同方案.
【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）
A、
8
B、
3
C、
A
8
D、
C
8

【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军 看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有
8
种 不同的
结果。所以选A
3
6
4
38
33
二．相邻问题捆绑法：
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

【例1】
A, B,C,D,E
五人并排站成一排，如果
A,B
必须相邻且
B
在A
的右边，那么不同的排法
种数有
4
【解析】：把A,B
视为一人，且
B
固定在
A
的右边，则本题相当于4人的全 排列，
A
4
24
种
【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女
生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96
【解析】： 间接法 6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，
22222222
C
3
A
2
A
4
A
2
=432
种， 其中男 生甲站两端的有
A
1
2
C
3
A
2
A
3
A
2
=144
，符合条件的排法故共有288
三．相离问题插空法 ：
元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，
再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是

52
【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为
A
5
种，再用 甲乙去插6个空位有
A
6
种，不同的排法种
52
数是
A5
A
6
3600
种
【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的
插法（具体数字作答）
111
【解析】：
A
7
A
8
A
9
=504

【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出
顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
【解析】：不同排法的种数为
A
5
A
6
＝3600
【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙
必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的
不同排法种数是
【解析】：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、 丙、丁四个工程形成的5个空中，可得
有
A
5
＝20种不同排法。
【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是 赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚
会
的节目单的编排总数为 种.
【解析】：
A
9
A
10
A
11
=990

【例6】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二
盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
3
【解析】： 把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯
C
5
种方法,
111
2
52
所以满足条件的关灯方案有10种.
说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模
型可使问题容易解决.
【例7】 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？
【解析】： 解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A
3
，○*○*○*○，在四个空中 分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A
4
种，所以每人左右两边都空位的排法有A
4
A
3
=24.
解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个 椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人每人
带一把椅子去插空，于是有A
4=24种.
【例8】 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连 在一起，不同
3
1
13
3

的停车方法有多少种？ < br>【解析】：先排好8辆车有A
8
种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两 端的9个
空档中任选一个，将空车位置插入有C
9
种方法，所以共有C
9< br>A
8
种方法.
注：题中*表示元素，○表示空.
118
8
四．元素分析法（位置分析法）：
某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几 个元素；
再排其它的元素。

【例1】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人
分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余
三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）
A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种
23
【解析】：方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。
A
3
A
3
36

113
方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法
C
2
C2
A
3
24
；若小张、小赵都入选，则有选
22
法
A
2
A
3
12
，共有选法36种，选A.
【例2】 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？ < br>14
【解析】：老师在中间三个位置上选一个有
A
3
种，4名同学在其 余4个位置上有
A
4
种方法；所以
14
共有
A
3< br>A
4
72
种。.
【例3】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？
1625
766
【解析】 法一：
A
5
A
6
3600
法二：
A
6
A
5
3600
法三：
A
7
A
6
A
6
3600

五．多排问题单排法：
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

【例1】（1） 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
（2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为
（A）
A
15
A
10

55
（B）A
15
A
10
A
5
A
3
（C）
A
15

5553155553
（D）
A
1 5
A
10
A
5
A
3

（3）8 个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排
在后排，有多少 种不同排法？
6
【解析】（1）：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元 素排成一排，共
A
6
720
种，选
C
.
（2）答案：C

2
（3）看成一排，某2个元素在前半段四个位置中 选排2个，有
A
4
种，某1个元素排在后半段的
125
15
四个位置中选一个有
A
4
种，其余5个元素任排5个位置上有
A
5< br>种，故有
A
4
A
4
A
5
5760
种排法.
五．定序问题缩倍法（等几率法）：
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺 序，可
用缩小倍数的方法.

【例1】.
A,B,C,D,E
五人并 排站成一排，如果
B
必须站在
A
的右边（
A,B
可以不相邻 ）那么
不同的排法种数是（ ）
【解析】：
B
在
A
的右边与
B
在
A
的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数< br>的一半，即
1
5
A
5
60
种
2
【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同插法？
【解析】：法一：
A
9
法二：
3
1
9
A
9

6
A
6【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B居中，C
在后的原则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？
【解析】：法一：
A
6
法二：
3
1
6
A
6

3
A
3
六．标号排位问题（不配对问题）
把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，
第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

【例1】 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格
的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
【解析】：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其
它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，
选
B
.
【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且
只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ） A 10种 B 20种 C 30种 D 60种
【解析】 答案：B
【例3】：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4
张贺年卡不同的分配方式共有( ) （A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种
【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。
第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；
第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类：
（1）乙取a，则接下来丙、丁取法都是唯一的，
（2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
根据加法原理和乘法原理，一共有
3(12)9
种分配方式。 故选（B）

【例4】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那 么不同的站队方式共有
( ) （A）60种 （B）44种 （C）36种 （D）24种
【解析】 答案：B
六．不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法
【例1】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
（1） 分成1本、2本、3本三组；
（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
（3） 分成每组都是2本的三个组；
（4） 分给甲、乙、丙三人，每个人2本；
（5） 分给5人每人至少1本。
222
C
6
C
4
C
2< br>222
CCC
【解析】：（1）
CCC
（2）
CCCA
（3） （4） （5）
642
3
A
3
1
6
2
5
3
3
1
6
2
5
3
3
3
3
211111
C
5
C
5
C
4
C
3
C
2
C
1
5
A
5

A
4
4
【例2】将4名大学生分配到3个乡镇去当村 官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有
种（用数字作答）．
2 11
C
4
C
2
C
1
【解析】：第一步将4名大 学生按，2，1，1分成三组，其分法有;
2
A
2
3
第二步将分好 的三组分配到3个乡镇，其分法有
A
3
所以满足条件得分配的方案有
211< br>C
4
C
2
C
1
3
A36
3
2
A
2

说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
【例3】 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有
（A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种
311
C
5
C
2
C
1
3
A
【解析】：人数分配上有1,2,2
与
1,1,3
两种方式，若是
1,2,2
，则有＝< br>60
种，若
3
2
A
2
122
C
5
C
4
C
2
3
A
3
1,1,3
， 则有＝
90
种，所以共有
150
种，选
A

2
A
2
【例4】 将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ）
A．70 B．140 C．280 D．840
【解析】：（ A ）
【例5】 将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分
配方案有（ ） （A）３０种 （B）９０种 （C）１８０种 （D）２７０
种 【解析】：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名

教
12
C
5
C
4
师分成三组，一组1人，另 两组都是2人，有
15
种方法，再将3组分到3个班，共有
2
A
2
3
15A
3
90
种不同的分配方案，选B.
【例6】 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2
个,则该外商不同的投资方案有（ ）种 A．16 B．36 C．42 D．60
33
【解析】：按条件项目可分配为
2,1,0,0
与
1 ,1,1,0
的结构，∴
C
4
2
C
3
2
A
2
2
C
4

A
3
362460
故选D；
【例7】（1）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
A、480种 B、240种 C、120种 D、96种 【解析】：答案：
B
.
（2）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查， 若每个路口4人，则不同的分配方案
44
C
12
C
8
4C
4
有多少种？ 【解析】：答案：
A
3
3

3
A
3
【例8】 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三
项任务，不同的选法种数是（ ） A、1260 B、2025 C、2520 D、5040
【解析】：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步 211
从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有
C
10
C< br>8
C
7
2520
种，选
C
.
【例9】.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建
设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
【解析】：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
4
①若甲乙都不参加，则有派遣方案
A
8
种；
3
3
②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有
A
8
方 法，所以共有
3A
8
；
3
③若乙参加而甲不参加同理也有
3A
8
种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再
22
安排其 余8人到另两个城市有
A
8
种，共有
7A
8
方法.所以共有 不同的派遣方法总数为
A
8
4
3A
8
3
3A< br>8
3
7A
8
2
4088
种
【例10】 四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
2
【解 析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有
C
4
种，再排：在四个盒中 每次排
23
3
3个有
A
4
种，故共有
C
4
A
4
144
种.
七．相同元素的分配问题隔板法：