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小学排列组合常见题型及解题策略
一. 可重复的排列求幕法：
重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重
复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”， 贝y
通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策 略中，关
键是在正确判断哪个底数，哪个是指数
【例1】
(1) 有4名学生报名参加数学、 物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？
(2) 有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？
(3) 将3封不同的信投入 4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？
【解析】：(1)
3
(2)
4
(3)
4

433
【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有
第二步：将第二名实习生分配到车间也有
种不同方案•
7种不同方案，
6
7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有
7
【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有(
A、
8
B 、
3
C、
A
8
D、
C
8

3833
)
【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把 8名学生看作8家“店”，3项冠 军看作
3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有 8种可能，因此共有
8
种 不同的结果。所以
选 A
3
二. 相邻问题捆绑法：
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排
列•一” .
【例1】代
B,C,D,E
五人并排站成一排，如果 代
B
必须相邻且
B
在
A
的右边，那么不同的
排法种数有 ________
【解析】：把代
B
视为一人，且
B
固定在
A
的右边，则本题相当于4人的全排列，
A
：
24
种
【例2】3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，
两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
3位女生中有且只有

A. 360 B.188 C.216 D.96
3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有， 【解析】：间接法6位同学站成一排，
C2
A
；
A
4
A
=432
种高•…
2
其中男生甲站两端的有
A
；
C
3
A
；
AA
；
=144
，符合条件的排法故共有 288
2
三. 相离问题插空法 ：
元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排
列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端
【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 _______
【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为
A
种，再用甲乙去插6个空位有
A
2
种，不同的排法
种数是
AA
3600
种
52
【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有 6本书的顺序，有 ____________ 种不
同的插法（具体数字作答）
【解析】：
A
；
A
8
A
9
=504
4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的 【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的
演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 ____________
【解析】：不同排法的种数为
A
；
A
= 3600
52
【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工
程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这
项工程的不同排法种数是 __________
【解析】：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的
2
6
5个空中，可
得有
A
= 20种不同排法。
【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加 3个与“抗冰救灾”有关的节目，

但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的
则该晚会的节目单的编排总数为 ____________ 种•
11 1
10个节目的相对顺序不变,
【解析】：
AA
91
O
A
H
=99O
【例6].马路上有编号为1, 2, 3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的
二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
【解析]:把此问题当作一个排对模型，在
法,所以满足条件的关灯方案有 10种•
说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒
模型可使问题容易解决•
6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯
C
；
种方
【例7] 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，
【解析]:解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有
A
则坐法的种数有多少种？
3
,
O
*
O
*
O
*
O,
在四个空
中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有
A
4
种，所以每个人左右两边都空位的排法有
A
；
A
=24 种•
3
解法2:先拿出5个椅子排成一排，在 5个椅子中间出现 4个空，*
O
*
O
*
O
*
O
*再让3个人 每人带一把椅子
去插空，于是有
A
4
=24
种•
【例8] 停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放•要求空车位置连在一起，不 同的停车方
法有多少种？
【解析]:先排好8辆车有A
8
种方法，要求空车位置连在一起，则在每 2辆之间及其两端的 9 个空档中任
选一个，将空车位置插入有
注：题中*表示元素
，O
表示空•
C
；
种方法，所以共有 C
；
A
；
种方法•
四.元素分析法（位置分析法）：
某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元 素；再排其
它的元素。
【例1 ] 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四
人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，
其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 （ ）一•…

A. 36 种 B. 12 种
C. 18 种
A
D. 48 种
【解析】：方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。
方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法
选法
A A
，共有选法36种，选A.
12
2
A
3
36
C
2
C
2
A
；
24
;若小张、小赵都入选，则有
【例2】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多 少种？
【解析】：老师在中间三个位置上选一个有
所以共有
A
A
72
种。.
A
3
种，4名同学在其余4个位置上有
A
4
种方法；
34
【例3】有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？
【解析】 法一：
AA
3600
法二：
AA
3600
法三：
A
A
6
A
3600
5625
五.多排问题单排法：
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。
【例1
1
( 1) 6个不同的元素排成前后两排，每排 3个元素，那么不同的排法种数是(
A、36 种 B、120 种 C、720 种 D、1440 种
高―
)
(2) 把15人分成前后三排，每排 5人，不同的排法种数为
(A)
(3)
(B)
AI
A
^X
A
；
(C)
A
；
5

(D)
A^oA
f
A

8个不同的元素排成前后两排，每排 4个元素，其中某2个
元素要排在前排，某 1个元 素排在后排，有多少种不同排法？
【解析】：(1)前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成 6个不同的元素排成一排，共
A
720
种，选
C
.-…
(2)答案：C
(3 )看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排
1
6
2个，有
A
种，某1个元素排在后半
525
2
段的四个位 置中选一个有
A
种，其余5个元素任排5个位置上有
A
种，故共有
A
4
A
4
A 5760
种排法.
五•定序问题缩倍法（等几率法）：
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序， 可用缩小倍
数的方法•

【例1】•
A,B,C,D,E
五人并排站成一排，如果
B
必须站在
A
的右边（
A,B
可以不相邻）那 么不同的
排法种数是（ ）_
☆
【解析】：
B
在
A
的右边与
B
在
A
的左边排法数相同，所以题设的排法只是
数的一半，即
丄
60
种
5个元素全排列
2
【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有 6本书的顺序，有多少种不同
的插法？-…
【解析】：法一：
Ag
法二：
乙人
；
A
6
【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若 A、B、C必须按A在前，B居中，C 在后的原则
（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？ 【解析】：法一：
A

A
3
A

36
六•标号排位问题（不配对问题）
把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排
入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成
【例1】 将数字1, 2, 3, 4填入标号为1 , 2, 3, 4的四个方格里，每格填一个数，则每个 方格的标
号与所填数字均不相同的填法有（
A、6 种 B、9 种 C、11 种
）
D、23 种一….
【解析】：先把1填入方格中，符合条件的有 3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填
入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，
种填法，选
B
.
只有一种填法，共有3
X
3
X
1=9
【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为 1、2、3、4、5的五个座位，其中

有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（
A 10种
答案：B
B 20种 C 30种
）
D 60种
【例3】：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡, 则4张贺年
卡不同的分配方式共有
（）
（
A 6
种 （B）9 种 （C） 11 种 （D） 23 种
a、b、c、d。 【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为
第一步，甲取其中一张，有 3种等同的方式；
第二步，假设甲取 b，则乙的取法可分两类：
（1） 乙取a，则接下来丙、丁取法都是唯一的，
（2） 乙取c或d（ 2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
根据加法原理和乘法原理，一共有
3 （1 2） 9
种分配方式。
故选（B）
【例4】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式 共有
（）
-• ■ ☆
（A） 60 种
答案：B
（B） 44 种 （C） 36 种 （D） 24 种
六•不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法
【例1】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
（1） 分成1本、2本、3本三组；
（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一个人
（3） 分成每组都是2本的三个组；
（4） 分给甲、乙、丙三人，每个人 2本；
1本，一个人2本，一个人3本;
(2) c
6
c
；
c
3
A
3
2 11 111
C
5
C
5
C
4
C
3
C
2
C
1
(3)
(4) C©C
；
(5)
A
：
A
（5） 分给5人每人至少1本。
【例2】将4名大学生分配到 种

3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有
（用数字作答）.-…

【解
析】：第一步将4名大学生按，2, 1 , 1分成三组，其分法有
cLcLcL

3
36
第二步将分好的三组分配到

3个乡镇，其分法有
A
3
所以满足条件得分配的方案有
说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配
C
4
2
C
2
C
；
【例
3】5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有
（A）150种
（
B）180 种
（
C）200 种
（
D）280 种
3
#曰
1,1,3 ,
若疋
则有





A
= 60 种，
A
= 90种，所以共有150种，选A
122113
c
5
c
：
；
附斤】：人数分配上有,,与,,两种方式，若是,,，则有葺
122
【例4】 将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为 （）
A. 70
答案：（A ）
B. 140 C. 280 D. 840
【例5】 将5名实 习教师分配到高一年级的
3
个班实习，每班至少
1
名，最多
2
名，则不同 的分配方
案有（ ）
（
A
）3 0
种
（
B
）9 0
种
（
C
）180
种
（
D
） 2 7 0
种
【解析】：将5名实习教师分配到高一年级的 3个班实习，每班至少 1名，最多2名，则将5 名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有
CC15
种方法，再将3组分到3个班,
54
A

【例6】 某外商计划在四个候选城市投资
过2个
，
则该外商不同的投资方案有（
A. 16 种 B. 36 种
3个不同的项目
，
且在冋一个城市投资的项目不超
种


C. 42 种 D. 60种
【解
析】：按条件项目可分配
为
3
共有
15 A

2,1,0,0
与
1,1,1,0
的结构,
二
C
'
c
f
A
?
C
^
A
3
36 24 60
故
90
种不同的分配方案，选 B.

选D;

A、 480 种 B、 240 种 C、120 种 D、96 种
答案：
B
.
（2）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口
案有多少种?
4人，则不同的分配方
答案:
【例
8】 有甲乙丙三项任务，甲需
2人承担，乙丙各需一人承担，从
10人中选出4人承担
A、 1260 种

【例

B、 2025 种 C、 2520 种 D、 5040 种
7
】（
1） 5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本， 不同的分法种数为（）
）
8人中选1人承担乙项任务，第
这三项任务，不同的选法种数是（

【解
析】：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的
三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有
C
0
C
2
8
C
7
2520
种，选
C
.
【例9】.某高校从某系的10名优秀毕业生中选 4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发
建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？ --
网☆
【解析】：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
① 若甲乙都不参加，则有派遣方案
A
4
种；
② 若甲参加而乙不参加， 先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有
A
3
方法，所以共
有
3A
；
③
参加同理也有
3A
3
种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有
法，然后再安排其余 8人到另
两个城市有
A
若乙参加而甲不
7种方
2
种，共有
7
A
2
方法•所以共有不同的派遣方法总数为

A
4
3A
3
3A 7A^
3
4088
种
【例10】四个不同球放入编号为 1, 2, 3, 4的四个盒中，则恰有一
个空盒的放法有多少种？
【解
析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有
2 3
C
2
种，再排：在四个盒中每
次排3个有
A
3
种，故共有
C
4
A
4
144
种.
七•相同元素的分配问题隔板法：
【例1】：把20个相同的球全放入编号分别为 1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数
不少于其编号数，则有多少种不同的放法？
【解析】：向1, 2，3号三个盒子中分别放入 0, 1，2个球后还余下17个球，然后再把这17
2
个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有
C
16
120
种。-•…
【例2】10个三好学生名额分到 7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方
案？
【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成 7堆，每堆 至少一个，
可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案， 故共有不同的分配方案
为
G
?
84
种.一….
_______ 变式1 : 7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放法有
种
变式2 :马路上有编号为1 , 2, 3, 4, 5, 6,
乙
8, 9的9盏路灯，为节约用电，可以把其
中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件
的关灯办法有 ________ 种
【例3】：将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入 4各不同的盒子中的 3个 中，使
得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？
【解析】：1、先从4个盒子中选三个放置小球有 C
：
种方法。
2、 注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以
在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的 3个、4个5个空挡中分别插
2 2 2
-
入两个板。各有
C
3
、
C
4
、
C
5
种方法。

3、 由分步计数原理可得
C
4
C
3
C
4
Cf=720种
32
八•多面手问题（分类法
---
选定标准）
【例1】：有11名外语翻译人员，其中 5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、
日语均精通，从中找出 8人，使他们可以组成翻译小组，其中
语，这两个小组能同时工作，问这样的
4人翻译英语，另4人翻译日
8人名单可以开出几张？

4 4 314

413

2

C
5
C
4
C
5
C
2
C
4
C
5
C
2
C
4
4
C
5
C
4
C^cQc
变式：.有11名外语翻译人员
，
其中有5名会英语,4名会日 语
，
另外两名英
，
日语都精通
，
从中 选
出8人< br>，
组成两个翻译小组
，
其中4人翻译英语
，
另4人翻译日语< br>，
问共有多少不同的 选
派方式
？
答案:185高…
九•走楼梯问题 （分类法与插空法相结合）
【例1】 小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之 间有16级
台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？
【解析】：插空法解题：考虑走 3级台阶的次数：
1 ）有0次走3级台阶（即全走 2级），那么有1种走法；一
2） 有1次走三级台阶。（不可能完成任务）；
3） 有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：
（a）两次三级台阶挨着时：相当于把这两个挨着的三级台阶放到
有
C
：

5个两级台阶形成的空中,
6
种
（b）两次三级不挨着时：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到 中，有
5个两级台阶形成的空
C
：

15
种走法。
4 ）有3次（不可能）-…
5）有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个
阶形成得空中，同（3）考虑挨着和不挨着两种情况有种
2级台阶放到3级台
C
5
C
；
15
走法;
6 ）有5次（不可能）
故总共有： 1+6+15+15=37 种。

变式：
欲登上第
10
级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共
有
（）
（
A
）
34
种
（
C
）
（
B
）
55
种 （
C
）
89
种 （
D
）
144
种 答案:
十•排数问题（注意数字“
0
” 一
I
【例1】（1）由数字0, 1 , 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位 数字的
共有（ ）

A、 210 种

B、 300 种
C、464 种
D、 600 种
【解析】：按题意，个位数字只可能是 0, 1 , 2 , 3 , 4共5种情况，分别有
A
5
个，
A
A
A
,
朋阳
A
3
；
A
3
A
；
,
A
3
A
个，合并总计300个,选
B
.
4整除的取法(不计顺序) (2)从1 , 2, 3,…，100这100个数中任取两个数，使其和能被
有多少种？
【解析】：将
I 1,2,3L ,100
分成四个不相交的子集，能被4整除的数集
A 4,8,12,L 100
；能被4除余1的数集
B 1,5,9,L 97
，能被4除余2的
数集
C 2,6,L ,98
，能被4除余3的数集
D 3,7,11,L 99
，易见这四个集
合中每一个有25个元素；从
A
中任取两个数符合要；从
B, D
中各取一个数也符合
要求；从
C
中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求
的取法共有
C
25
C
；
5
C
；
5
C
：
种•
十^一.染色问题：
涂色问题的常用方法有：(1)可根据共用了多少种颜色分类讨论
(2) 根据相对区域是否同色分类讨论
；
；
一|
(3) 将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。
【例1】 将一个四棱锥
S ABCD
的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，
如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是 ____________ .
【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
(1) 若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点 S,再从余下的四种颜色中任选两种涂
1 2
A、B、C、D四点，此时只能 A与C B与D分别同色，故有
C
5
A
4
60
种方法。
(2) 若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点
2
S，再从余下的四种颜色中
任选两种染 A与B，由于A、B颜色可以交换，故有
A
种染法；再从余下的两种颜色中任选 一种染 D或
C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有
12 11
C
5 t 22
A
CC240
种方法。
5 I
(3) 若恰用五种颜色染色，有
A
120
种染色法-•…
综上所知，满足题意的染色方法数为 60+240+120=420种。【答案】420.

【解析二】 设想染色按 S- A— B— C- D的顺序进行，对 S、A、B染色，有
5 4 3 60
种染 色方法。
由于C点的颜色可能与 A同色或不同色，这影响到 D点颜色的选取方法数，故分类讨论：

C与A同色时（此时 C对颜色的选取方法唯一），D应与A （C）、S不同色，有3种选择； C与A
不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而对 C、D染色有
1 3 2 2 7
种染色方法。
由乘法原理，总的染色方法是
60 7 420
-•… 【解析三】 可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，
对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？
总体实施分步完成
，
可分为四大步
：
① 给S涂色有5种方法
；
② 给A涂色有4种方法
（
与S不同色）
；
③ 给B涂色有3种方法
（
与A,S不同色）
；
④ 给C,D涂色•当C与A异色时,C,D都有2种涂色方法
；
当C与A同色时,C有一种涂色方
法（与A同色）,D有3种涂色方法•给C,D涂色共有2
X
2+3=7种方法•
由分步计数原理共有 5
X
4
X
3
X
7=420种方法
［规律小结］涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论
成平面区域涂色问题。
；
（2）根据相对
区域是否同色分类讨论
；
（3）将空间问题平面化，转 化
十二•“至多”“至少”问题用间接法或分类
十三.几何中的排列组合问题
【例
1】

已知直线-
1
（
a, b
是非零常数）与圆
a b
横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有
y
X
2
y
2
100
有公共点，且公共点的
__________ 条

【解
析】：
答案:60
圆上的整点有:
(6, 8) ,( 8, 6),( 10,0),(0 10)
12个
66-4+12-14=60
其中平行于坐标轴的有 14条 不满则条件
2 1

G2=66
其中关于原点对称的有 4条 不满则条件 切线有
C
12
= 12