少女时代成员介绍-辉煌中国纪录片

可重复的排列求幂法
相邻问题捆绑法
相离问题插空法
元素分析法（位置分析法）
多排问题单排法
定序问题缩倍法（等几率法）
标号排位问题（不配对问题）
不同元素的分配问题（先分堆再分配）
相同元素的分配问题隔板法：
多面手问题（ 分类法---选定标准）
走楼梯问题 （分类法与插空法相结合）
排数问题（注意数字“0”）
染色问题

“至多”“至少”问题用间接法或分类:
十三． 几何中的排列组合问题:





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排列组合常见题型及解题策略
排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多 样，思路灵活，不易掌
握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用 题的有效
途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.
一．可重复的排列求幂法：
重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重
复，把不能重复的元素看作“客”，能重 复的元素看作“店”，
则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策
略中，关键 是在正确判断哪个底数，哪个是指数
【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同
的报名方法？
（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？
（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？
【解析】：（1）
3
（2）
4
（3）
4

【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
4
33
书籍是人类知识的总结,书籍是全世界的营养品。——莎士比亚

【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，
第二步 ：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有
7
种不同方 案.
【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A、
8
B、
3
C、
A
8
D、
3
C
8

38
6
3
【解析】：冠军不 能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠
军看作3个“客”，他们 都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有
8
种
不同的结果。所以选A
3
二．相邻问题捆绑法：
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与
排列.

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【例1】
A,B,C,D,E
五人并排站成一 排，如果
A,B
必须相邻且
B
在
A
的右边，那么不同的排法种数有
4
【解析】：把
A,B
视为一人，且
B
固定在
A
的右边，则本题相当于4人的全排列，
A
4
 24
种
【例2】（2009四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3
位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A. 360 B. 188 C. 216 D. 96
【解析】： 间接法 6位 同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，
2222
C
3
A
2
A
4
A
2
=432
种
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12222
其中男生甲站两端的有
A
2
C
3
A
2
A
3
A
2
=144
，符合条件的排法故共有288
三．相离问题插空法 ：
元素相离（即不 相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排
列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位 和两端.

【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是
【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为
A
5
种，再用甲乙去插6个空位有< br>A
6
种，不同的排法
52
种数是
A
5
A6
3600
种
52
【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不
同的插法（具体数字作答）
111
【解析】：
A
7
A
8
A
9
=50

4
【例3】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的
书籍是人类知识的总结,书籍是全世界的营养品。——莎士比亚

演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
【解析】：不同排法的种数为
A
5
A
6
＝3600
【例4】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工
程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6
项工程的不同排法种数是
【解析】：依题意，只需将剩余两个工程插在由 甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可
得有
A
5
＝20种不同排法。
【例5】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，
但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，
则该晚会的节目单的编排总数为 种.
【解析】：
A
9
A
10
A
11
=990

【例6】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的
二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？
3
【解析】 ：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯
C
5
种方
111
2
52
法,所以满足条件的关灯方案有10种.
说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒
模型可使问题容易解决.
【例7】 3个人坐在一排8个椅子上，若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数有多少种？
【解析】： 解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有A
3
，○*○*○*○，在四个空
中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A
4
种，所以每个人左右两边都空位的排法有
3
A
1
A
43
=24种.
3
1
解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*○*○*○*○*再让3个人
每人带 一把椅子去插空，于是有A
4
=24种.
【例8】 停车场划出一排12个停车位 置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不
同的停车方法有多少种？
【解析】：先 排好8辆车有A
8
种方法，要求空车位置连在一起，则在每2辆之间及其两端的9
个 空档中任选一个，将空车位置插入有C
9
种方法，所以共有C
9
A
8
种方法.
注：题中*表示元素，○表示空.
118
8
3
四．元素分析法（位置分析法）：
某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元
书籍是人类知识的总结,书籍是全世界的营养品。——莎士比亚

素；再排其它的元素。


【例1】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四
人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，
其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）
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A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种
23
【解析】：方法一： 从后两项工作出发，采取位置分析法。
A
3
A
3
36

113
方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法
C
2
C2
A
3
24
；若小张、小赵都入选，则有
22
选法
A
2
A
3
12
，共有选法36种，选A.
【例2】 1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多
少种？
4< br>1
【解析】：老师在中间三个位置上选一个有
A
3
种，4名同学在其余 4个位置上有
A
4
种方法；
14
所以共有
A
3A
4
72
种。.
【例3】 有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？
1625
766
【解析】 法一：
A
5
A
6
3600
法二：
A
6
A
5
3600
法三：
A
7
A
6
A
6
3600

五．多排问题单排法：
把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

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【例1】（1） 6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
（2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为
（A）
A
15
A
10

55
（B）A
15
A
10
A
5
A
3
（C）
A
15

5553155553
（D）
A
1 5
A
10
A
5
A
3

（3）8 个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元
素排在后排，有多少 种不同排法？
【解析】：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排 ，共
6
A
6
720
种，选
C
.
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（2）答案：C
（3）看成一排，某2个元素在前半段四个 位置中选排2个，有
A
4
种，某1个元素排在后半
段的四个位置中选一个有< br>A
4
种，其余5个元素任排5个位置上有
A
5
种，故共有125
A
4
A
4
A
5
5760
种排 法.
2
15
书籍是人类知识的总结,书籍是全世界的营养品。——莎士比亚

五．定序问题缩倍法（等几率法）：
在排列问题中限制某几个元素必 须保持一定的顺序，
可用缩小倍数的方法.

【例1】.
A,B,C,D,E
五人并排站成一排，如果
B
必须站在
A
的右边（
A,B可以不相邻）那
么不同的排法种数是（ ）
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【解析】：
B
在
A
的右边与
B
在
A
的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列
数的一半，即
1
5
A
5
60
种
2
【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去 ，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同
的插法？
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3
【解析】：法一：
A
9
法二：
1
9
A
9

6
A
6
【例3 】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B居中，C
在后的原则 （A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？ 【解析】：法一：
A
6

3
法二：
1
6
A
6

3
A
3
六．标号排位问题（不配对问题）
把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排
入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

【例1】 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个
方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）
A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
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【解析】：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填
入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9
种填法，选
B
.
【例2】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中
有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ）
A 10种 B 20种 C 30种 D 60种
答案：B
【例3】：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，
则4张贺年卡不同的分配方式共有( )
（A）6种 （B）9种 （C）11种 （D）23种
【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d。
第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；
第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类：
（1）乙取a，则接下来丙、丁取法都是唯一的，
书籍是人类知识的总结,书籍是全世界的营养品。——莎士比亚

（2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
根据加法原理和乘法原理，一共有种分配方式。 故选（B）
【例4】：五个人排成 一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式
共有( )
（A）60种 （B）44种 （C）36种 （D）24种
答案：B
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六．不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法
【例1】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
（1） 分成1本、2本、3本三组；
（2） 分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；
（3） 分成每组都是2本的三个组；
（4） 分给甲、乙、丙三人，每个人2本；
（5） 分给5人每人至少1本。
222
C
6
C
4
C
2< br>222
CCC
【解析】：（1）
CCC
（2）
CCCA
（3） （4）
642
（5）
3
A
3
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1
6
2
5
3
3
1
6
2
5
3
3
3
3
211111
C
5
C
5
C
4
C
3
C
2
C
1
5
A
5

4
A
4
【例2】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名， 则不同的分配方案有
种（用数字作答）．
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211
C
4
C
2
C
1
【解析】：第 一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有;
2
A
2
第二步将分 好的三组分配到3个乡镇，其分法有
A
3
所以满足条件得分配的方案有
211
C
4
C
2
C
1
3
A
336
2
A
2

3
说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
【例3】 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有
（A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种
311
C
5
C
2
C
1
3
A
3
【解析】：人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2 ，则有＝60种，
2
A
2
若是1,1,3，
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122
C
5
C
4
C
2
3A
则有＝90种，所以共有150种，选A
3
2
A
2
【例4】 将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为
（ ）
书籍是人类知识的总结,书籍是全世界的营养品。——莎士比亚

A．70 B．140 C．280 D．840
答案：（ A ）
【例5】 将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同
的分配方案有（ ）
（A）３０种 （B）９０种 （C）１８０种 （D）２７０种
【解析】：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5
12
C
5
C
4
名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有
15
种方法，再将3组分到3个班，
2
A
2
3
共 有
15A
3
90
种不同的分配方案，选B.
【例6】 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超
过2个,则该外商不同的投资方案有（ ）种
A．16种 B．36种 C．42种 D．60种
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【解析】：按条件项目可分配为
2,1,0,0
与
1,1,1,0
的结构，∴
C
4
2
C
3
2
A
2< br>2
C
4
A
3
362460
故
选D；
【例7】（1）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
A、480种 B、240种 C、120种 D、96种
答案：
B
.
（2）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若 每个路口4人，则不同的分配方
案有多少种？
44
C
12
C
8
4
C
4
3
答案：
A
3
A
3< br>3
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【例8】 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担
这三项任务，不同的选法种数是（ ）
A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种
【解析】：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第
211
三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有
C
10
C< br>8
C
7
2520
种，选
C
.
【例9】.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发
建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
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【解析】：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
①若甲乙都不参加，则有派遣方案
A
8
种；
②若甲参加而乙不参加 ，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有
A
8
方法，所以共
3
4
书籍是人类知识的总结,书籍是全世界的营养品。——莎士比亚

3
有
3A
8
；
3
③若乙参加而甲不参加同理也有
3A
8
种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方
法，然后再安排其余8 人到另
22
两个城市有
A
8
种，共有
7A
8方法.所以共有不同的派遣方法总数为
A
8
4
3A
8
3
3A
8
3
7A
8
2
4088
种
【例10】 四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？ < br>2
【解析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有
C
4
种，再排：在四个盒中每
23
3
次排3个有
A
4
种，故共有
C
4
A
4
144
种.
七．相同元素的分配问题隔板法：
【例1】：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3 的三个盒子中，要求每个盒子中的球数
不少于其编号数，则有多少种不同的放法？
【解析】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17 < br>个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有
C
16
120
种。
2
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【例2】 10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方
案？
【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆
至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，
6
故共有不同的分配方案为
C
9
84
种.
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变式1：7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放法有
种
变式2：马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其
中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件
的关灯办法有 种
【例3】：将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个
中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？
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【解析】： 1、先从4个盒子中选三个放置小球有
C
4
种方法。
2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以
在4个相 同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插
入两个板。各有C
3
、
C
4
、
C
5
种方法。
3、由分步计数原理可得
C
4
C
3
C
4
C
5
=720种
书籍是人类知识的总结,书籍是全世界的营养品。——莎士比亚
32
22
2
22
3

八．多面手问题（ 分类法---选定标准）

【例1】： 有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、
日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日
语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可以开出几张？
44313

C
5
C
4
C
5
C
2
C
4
C
5
C
2
C
4
C
5
C4
C
5
C
4
C
5
C
2
C
1
C
4

变式：. 有11名外语翻译人员,其中有5名会英语,4 名会日语,另外两名英,日语都精通,从中
选出8人,组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻 译日语,问共有多少不同的
选派方式?
答案 ：185
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九．走楼梯问题 （分类法与插空法相结合）

【例1】 小明家住二层，他每次 回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之
间有16级台阶，那么小明从一层到二层共有 多少种不同的走法？
【解析】 ：插空法解题：考虑走3级台阶的次数：
1）有0次走 3级台阶（即全走2级），那么有1种走法；
2）有1次走三级台阶。（不可能完成任务）；
3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：
（a）两次三级台阶挨着时：相当于把这两个 挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，
1
有
C
6
6
种
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（ b）两次三级不挨着时：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空
2
中，有
C
6
15
种走法。
4）有3次（不可能）
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5）有4次走3级台阶，则有 2次走两级台阶，互换角色，想成把两个2级台阶放到3级台
12
阶形成得空中，同（3）考虑 挨着和不挨着两种情况有种
C
5
C
5
15
走法；
6）有5次（不可能）
故总共有：1+6+15+15=37种。
变式：
欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共
有( )
（A）34种 （B）55种
（C）
十．排数问题（注意数字“0”）
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（C）89种 （D）144种 答案：
书籍是人类知识的总结,书籍是全世界的营养品。——莎士比亚

【 例1】（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位
数字的 共有（ ）
A、210种 B、300种 C、464种 D、600种
5
【解析】 ：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有
A
5
个，
A
4
A
3
A
3
,A
3
A3
A
3
,A
2
A
3
A
3
,A
3
A
3
个，合并总计300个,选
B
.
（2）从 1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）
有多少种？
【解析】 ：将
I

1,2,3,10
成四个不相交的子集，能被 4整除的数集

0
分
97

，能被4除余2的
99

，易见这四个集
A

4,8,12,100

；能被4除余1的数集
B

1,5,9,
数集
C
2,6,,98

，能被4除余3的数集
D

3,7,11,
合中每一个有25个元素；从
A
中任取两个数符合要；从
B,D
中各 取一个数也符合
要求；从
C
中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所 以符合要求
的取法共有
C
25
C
25
C
25C
25
种.
2112
十一．染色问题：
涂色问题的常用方法 有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;

（2）根据相对区域是否同色分类讨论;
（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。
【例1】 将一个四棱锥
S ABCD
的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，
如果只有5种颜色可供使用， 那么不同的染色方法的总数是_______.
【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
(1)若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂
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A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色， 故有
C
5
A
4
60
种方法。
(2)若恰用四种 颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中
任选两种染A与B，由于 A、B颜色可以交换，故有
A
4
种染法；再从余下的两种颜色中任选
一种染D 或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有
1211
C
5
A
4
C
2
C
2
240
种方法。
5
(3)若恰用五种颜色染色，有
A
5
120
种染色法
2
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综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。【答案】420.
【 解析二】设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有
54360
种染
色方法。
由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：
书籍是人类知识的总结,书籍是全世界的营养品。——莎士比亚

C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选择；
C与A不 同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而对C、D染色有
13227种染色方法。
由乘法原理，总的染色方法是
607420

【解析三】可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，
对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？
总体实施分步完成,可分为四大步:
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①给S涂色有5种方法;
②给A涂色有4种方法(与S不同色);
③给B涂色有3种方法(与A,S不同色);
④给C,D涂色.当C与A异色时,C,D都有2种涂色方法; 当C与A同色时,C有一种涂色方法(与A同色),D有3种涂色方法.给C,D涂色共有2×2+3=7种方法.
由分步计数原理共有5×4×3×7=420种方法
[规律小结] 涂色问题的常用方法有： （1）可根据共用了多少种颜色分类讨论;（2）根据相对
区域是否同色分类讨论;（3）将空间问题平 面化，转
化成平面区域涂色问题。
十二．“至多”“至少”问题用间接法或分类:
十三． 几何中的排列组合问题:
xy
22
【例1】 已知直线
 1
（
a，b
是非零常数）与圆
xy100
有公共点，且公共点 的
ab
横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 条
【解析】： 圆上的整点有：
(6,8) ,(8,6),(10,0),(010)
12 个
21

C
12
=66
其中关于原点对称的有4 条 不满则条件 切线有
C
12
=12
，
其中平行于坐标轴的有14条 不满则条件 66-4+12-14=60
答案:60


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