3
C
6
2
[解析] 先分组再排列，一组2人一组4 人有C
6
＝15种不同的分法；两组各3人共有
2
＝10
A
2
种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选B.
2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )
A．36种 B．48种 C．72种 D．96种
[解析] 恰有两个 空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插
2
空，从而共A
3
3
A
4
＝72种排法，故选C.
3．只用1,2,3三个数字 组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相
邻出现，这样的四位数有( )
A．6个 B．9个 C．18个 D．36个
[解析] 注意题中 条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选
22
四个数字共有C< br>1
3
＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A
2< br>×C
3
＝6(种)排法，所以
共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有 18个．
4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其
中女生有( )
A．2人或3人 B．3人或4人 C．3人 D．4人
1
[解析] 设男生有
n
人，则女生有(8－
n
)人，由题 意可得C
2
n
C
8－
n
＝30，解得
n
＝ 5或
n
＝6，代
入验证，可知女生为2人或3人．
5．某幢楼从二楼到三楼 的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定
从二楼到三楼用8步走完，则方法有 ( )
A．45种 B．36种 C．28种 D．25种
[解析] 因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2
步，那么共有C
2
8
＝28种走法．

6．某公司招聘来8名 员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不
能分在同一个部门，另外三名电脑编 程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共
有( )
A．24种 B．36种 C．38种 D．108种
[解析] 本题考查排列组合的综合应用，据题意 可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2
种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一 组2人，共有C
1
3
种分法，然后
2
再分到两部门去共有C
1
3
A
2
种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即< br>可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C
1
3< br>种方法，
21
由分步乘法计数原理共有2C
1
3
A
2
C
3
＝36(种)．
7．已知集合
A
＝{5}，
B
＝{1,2}，
C
＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间
直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )
A．33 B．34 C．35 D．36
3
[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有 C
1
2
·A
3
＝12个；
33
②所得空间直角坐 标系中的点的坐标中含有1个1的有C
1
2
·A
3
＋A
3< br>＝18个；
③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C
1
3
＝3个．
故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.
8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )
A．72 B．96 C．108 D．144
12233
[解析] 分两类：若1与3相邻，有A
2
2
·C
3
A
2
A
3
＝72(个)，若1与3不相邻有A
3
·A
3
＝36(个)
故共有72＋36＝108个．
9．如果在一周内 (周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所
学校，要求甲学校连续参观两天 ，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有( )

A．50种 B．60种 C．120种 D．210种
[解析] 先安排甲学校的参观时间，一周内 两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、
(4,5)、(5,6)、(6, 7)，甲任选一种为C
1
6
，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所
学校参观，安排方法有A
2
按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C
1A
2
5
种，
6
·
5
＝120种，
故选 C.
10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不
能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)
[解析] 先 安排甲、乙两人在后5天值班，有A
2
其余5人再进行排列，有A
5
5
＝20(种)排法，
5
＝
120(种)排法，所以共有20×120＝2400(种 )安排方法．
11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 ________
种不同的排法．(用数字作答)
2
[解析] 由题意可知，因同色 球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C
4
C
5
·C
3
9
·
3
＝1260(种)
排法．
12．将6位志愿者分成4组， 其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同
场馆服务，不同的分配方案有______ __种(用数字作答)．
2
C
2
6
C
4
[解析] 先将6名志愿者分为4组，共有
2
种分法，再将4组人员分到4个
A
2
22
C·C
64
4
不同场馆去，共有A
4
种分法，故所有 分配方案有：
2
·A
4
4
＝1 080种．
A
2
13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，
有_ _______种不同的种法(用数字作答)．

[解析] 5有4种种法，1有3种种法， 4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、

3不同色，2有1种种法，∴有4 ×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．
14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入 3个不同的信封中．若每个信封放2
张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种
【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封 两
个有种方法，共有种，故选B.
15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每 天1人，每人值班1天，若7位员
工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7 日，则不同的安排方案
共有
A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种
14
解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有
2A
2
2
A
4
A
4
种方法
113
甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有
4A
2
2
(A4
4
A
3
A
3
A
3
)
种方 法
故共有1008种不同的排法


排列组合 二项式定理
1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都 可以
独立的完成这个事情）

分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法
2，排列

排 列定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺
序排成 一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
排列数定义；从n个不同元素中，任取m（m ≤n）个元素的所有排列的个数
A
m
n

公式
A
m
n
=
n!
规定0！=1
(nm)!
3，组合
组合定义 从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素
的一个组合
组合数 从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素的所有组合个数
C
n

m
C
m
n
=
n!

m!(nm)!
mnmmmm1
性质
C
n
=
C
n

C
n1

C
n

C
n




排列组合题型总结
一． 直接法
1 .特殊元素法
例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个
（1）数字1不排在个位和千位
（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
22< br>分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择
A
5
2
，其余2位有四个 可供选择
A
4
，由乘法原理：
A
5
2
A
4
=240
2．特殊位置法
112
3
（2）当1在千位时余下三位 有
A
5
=60，1不在千位时，千位有
A
4
种选法，个位有
A
4
种，余下的有
A
4
，共
112
有A
4
=192所以总共有192+60=252
A
4
A
4
432
二
间接法
当直接法求解 类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法
A
6
=252
 2A
5
A
4
例：有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5， 6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一
起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
22
33
分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数
C
5
个，其中 0在百位的有
C
4
个，这是不合题
2
2

A2
2
3
A
3
22
33
意的。故共可组成不 同的三位数
C
5
-
C
4
=432
2
2

A
2
2
3
A
3

例： 三个女生和五个男生排成一排
（1） 女生必须全排在一起 有多少种排法（ 捆绑法）
（2） 女生必须全分开 （插空法 须排的元素必须相邻）
（3） 两端不能排女生
（4） 两端不能全排女生
（5） 如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法
二．
插空法
当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？
1 1
分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有
A
9
=100中插入方法。
A
10
三．
捆绑法
当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
23
1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（
C
4
A
3
）
,2，某市植物园要在30天内接待20 所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较
119
多，要安排连续参 观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（
C
29
）（注意连续 参
A
28
1
观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体 来选有
C
29
其余的就是19所学校选28天进
行排列）
四．
阁板法
名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法
例5 某校准备组 建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配
方案共 种 。
分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个 空当中插
7
入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有
C
11种

五 平均分推问题
例：6本不同的书按一下方式处理，各有几种分发？
（1）
（2）
平均分成三堆，
平均分给甲乙丙三人

（3）
（4）
（5）
一堆一本，一堆两本，一对三本
甲得一本，乙得两本，丙得三本（一种分组对应一种方案）
一人的一本，一人的两本，一人的三本
3
分析：1，分出三堆书（a
1,a
2
）,(a
3
,a
4
)，（a
5
,a
6
）由顺序不同可以有
A
3
=6种，而这6种分法只算一种分< br>222
C
6
C
4
C
2
堆方式，故6本不同的 书平均分成三堆方式有=15种
3
A
3
2，六本不同的书，平均分成三堆有x种，平均分给甲乙丙三人
就有x
A
3
种
3，
123
3
CCC
64
222
2

23
C
6
C
5
C
3
5，
A
3
C
6
C
5
C
3

3
1

五． 合并单元格解决染色问题
Eg 如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜
色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。
分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5．
下面分情况讨论:
(ⅰ)当2、4 颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元
2,4< br>素 ①③⑤的全排列数
A
4

（ⅱ）当2、4颜色不同且3、 5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得
A
4
种着色法．
（ⅲ）当2、4

①
从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有
C
4

A
3
种方法．

由加法原理知：不同着色 方法共有2
A
4

C
4
A
3
=48+24 =72（种）
练习1（天津卷（文））将3种作物种植



1 2 3 4 5
4
3
3
3
3
2,4

4
4
与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格
3,5

在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ，
不同的种植方法共 种（以数字作答） （72）
2．某城市中心广场建造一 个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一
种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）．（120）


5
6
1
2
3
4

A
B
C
D
E


图3 图4
3．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一 种颜色可
以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）
4．如图5： 四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服
装，且相邻两 区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色
方法是 种（84）


1
2
4
3
A
D
C
图5 图6
B
E
5．将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异 色，若只有五种颜色可供使用，则
不同的染色方法共 种（420）