lol手办-催人奋进的图片

1． 分类加法计数原理
做一件事，完成它有
n
类办法， 在第一类办法中有
m
1
种不同的方法，在第二类办法中
有
m
2
种不同的方法……在第
n
类办法中有
m
n
种不同的方法． 那么完成这件事共有
N
＝
m
1
＋
m
2
＋… ＋
m
n
种不同的方法．
2． 分步乘法计数原理
做一件事，完成 它需要分成
n
个步骤，做第一个步骤有
m
1
种不同的方法，做第二个 步
骤有
m
2
种不同的方法……做第
n
个步骤有
m< br>n
种不同的方法．那么完成这件事共有
N
＝
m
1
×< br>m
2
×…×
m
n
种不同的方法．
3． 分类加法计 数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们
的区别在于：分类加法计数原 理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法
都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有 关，各个步骤相互依存，只有各个步骤
都完成了，这件事才算完成．
4． 排列
(1)排列的定义：从
n
个不同元素中取出
m
(
m
≤
n
)个元素，按照一定的顺序排成一列，
叫做从
n
个不同元素中 取出
m
个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从
n
个不同元素 中取出
m
(
m
≤
n
)个元素的所有排列的个数，叫做从n
个不同元素中取出
m
个元素的排列数，用符号A
n
表示． < br>(3)排列数公式：A
n
＝
n
(
n
－1)(
n
－2)…(
n
－
m
＋1)．
(4)全排列：
n
个不同元素全部取出的一个排列，叫做
n
个元素的一个全排列，A
n
＝
n
·(
n
－1)·(
n
－2)·…·2·1＝
n
！.排列数公式写成阶乘的形式为A
n
＝
＝1.
5． 组合 (1)组合的定义：从
n
个不同元素中，任意取出
m
(
m
≤
n
)个元素并成一组，叫做从
n
个
不同元素中任取
m< br>个元素的一个组合．
(2)组合数的定义：从
n
个不同元素中，任意取出m
(
m
≤
n
)个元素的所有组合的个数，
叫做从
n
个不同元素中任意取出
m
个元素的组合数，用符号C
n
表示．
m
m
n
m
m
n
！
，这里规定0！
n
－
m
！

A
n
n！
nn
－1
(3)组合数的计算公式：C＝
m
＝＝
A< br>m
m
！
n
－
m
！
m
n
m< br>n
－2…
n
－
m
＋1
，
m
！
由于0！＝1，所以C
n
＝1.
(4)组合数的性质：①C
n
＝ C
n
__；②C
n
＋1
＝C
n
__＋C
n
__.



排列组合解题的基本技巧
一、特殊元素和特殊位置优先策略
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最 基本的方法,若以元素分析
为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特 殊位置的要求,再
处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
1
先排末位共有
C
3

mn
－
mmmm
－1
0
1
然后排首位共有
C
4

3
最后排其它位置共有
A
4

113
由分步计数原理得
C
4
C
3
A
4
288

练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆
里 ，问有多少不同的种法？

二.相邻元素捆绑策略

< br>要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合
并为一个 元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个 复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再
与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分 步计数原理可得共有
522
A
5
A
2
A
2
480
种不同的排法
甲乙

丙丁

练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20




三.不相邻问题插空策略
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端

例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场
顺序有 多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有
A
5
第二步将4 舞蹈插入第一步排好的
5
种，
4
6个元素中间包含首尾两个空位共有种
A
6
不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺
序共有
A
5A
6
种

54

练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果
将这两个 新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30

四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元 素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行
排列,然后用总排列数除以这几个元素之 间的全排列数,则共有不同排法种数
73
是：
A
7
A
3
4
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有
A
7
种方法，其余的三个位置
4
甲乙丙共有 1种坐法，则共有
A
7
种方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有

方
法


练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人, 要求从左至右身高逐渐增加，共有多少
排法？

五.元素相同问题隔板策略
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插
入n个 元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
C
n1


m1

例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
解 ：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空
档中选６个位置插 个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板
6
方法对应一种分法共有
C
9
种分法。

一
班
二
班
三
班
四
班
五
班
六
班
七
班


练习题：
4
1． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个有多少装法？
C
9

3
2 .
xyzw100
求这个方程组的自然数解的组数
C
103


六.正难则反总体淘汰策略
有些排列组合问 题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,
再从整体中淘汰. 例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数 ,不同
的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难, 可用总体淘汰法。这十个数字中有
3
5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有< br>C
5
,只含有1个偶数的取法有

1212 3
C
5
C
5
,和为偶数的取法共有
C
5
C
5
C
5
。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的
123取法共有
C
5
C
5
C
5
9

练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种?

七.重排问题求幂策略
允许重复的排列问题的特点是以 元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个
元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地 安排在m个位置上的排列数为
m
种
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车
间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有
7
种不同的排法
练习题：
1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这
两 个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法
7


八.环排问题线排策略
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从 n个不同元素中取出m个元素作
圆形排列共有
8
n
6
1
m< br>A
n

n
例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围 桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人
A
4
4
并从此

位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即
7
！
C
D
E
F
G
H

B
A
A B
C
DEFGHA
练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120



九.多排问题直排策略
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
例7. 8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排前后两排,相当 于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有
A
2
4
种,
5
再排后4个位置上的特殊元素丙有
A
1
4
种,其余的5人在5个位 置上任意排列有
A
5
种,
则共有
A
4
A
4
A
5
种
215
前 排

后 排
< br>练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3
个座 位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346

十.排列组合混合问题先选后排策略

解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
2
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有
C
5
种方法.再把4个元素 (包含一个复合
CA
4
元素)装入4个不同的盒内有
A
4
4
种方法，根据分步计数原理装球的方法共有
5

练习题：一个班有6名战士 ,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完
成一种任务,且正副班长有且只有1人 参加,则不同的选法有 192 种

十一.小集团问题先整体后局部策略
小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
例9.用1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,
这样的五位数有多少个？ 解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有
A
2
2
种排法，再排 小集团内部共有
2222
A
2
2
A
2
种排法，由分 步计数原理共有
A
2
A
2
A
2
种排法.
24
1524
练习题：
3

１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一
品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为
A
2
A
5
A
4

255
254
2. 5男生和５女生站 成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有
A
2
A
5
A
5
种

十二.平均分组问题除法策略

n
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以
A
n
n
(为均分
的组数)避免重复计数。
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
解: 分三步取书得
C
6< br>C
4
C
2
种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为
ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则
22
C
6
2
C
4
C
2
中还有(AB,EF ,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有< br>3
C
2
C
2
C
2
A
3
种分 法。
A
3
3
种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有
642
222
练习题：
5442
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（C
13
C
8
C
4
A
2
）
2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不
同的
分组方法 （1540）
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每
班安
排2名，则不同的安排方案种数为____ __（
C
4
C
2
A
6
A
2
90
）

十三. 合理分类与分步策略
解含有约束条件的排列组合问题，可按 元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，
做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准 一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能 唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌
2人伴舞的节目,有多少选派方法

2222

解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进
行研究
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有
C
3
C
3
种,只会唱的5人中只有1人选上
唱歌人员
C
5
C
3
C4
种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有
C
5
C
5
种，由分类计
数原理共有
2211222

C
3
C3
C
5
C
3
C
4
C
5
C
5
种。
11222
22

练习题：
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女
生，则不同的选法共有34
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任
选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27）
本题还有如下分类标准：
*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准
*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准
*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准
都可经得到正确结果

十四.构造模型策略
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模 型，排队模型，装
盒模型等，可使问题直观解决

例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但 不能关掉
相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
3< br>解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有
C
5
种

练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐 法有多
少种？（120）

十五.化归策略
处理复杂的排列组合问题时可 以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问
题的解决找到解题方法，从而进下一步解决 原来的问题

例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法
有多少种？ < br>解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不
在同一列, 有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在
的行列都划掉，如此继续下去. 从3×3方队中选3人的方法有
C
3
C
2
C
1
种。 再从5

33
×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有
C
5
C
5
选法
所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列 的3人有
C
5
C
5
C
3
C
2
C< br>1
选法。




33111
111

练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路径
3有多少种？(
C
7
35
)

B
A

十六．构造数列递推法

例 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种
不同的走法？
分析：设上n级楼梯的走法为a
n
种，易知a
1
=1,a
2
=2,当n≥2时，上n级楼梯的走法可
分两类：第一类：是最后一步跨一级，有a
n -1
种走法，第二类是最后一步跨两级，有a
n-2
种
走法，由加法原理知： a
n
=a
n-1
+ a
n-2
,据此，
a
3
=a
1
+a
2
=3,a
4
=a
#
+a
2
=5,a
5
=a
4
+a
3
=8, a
6
=13,a
7
=21,a
8
=34
,
a
9
=55,a
10
=89.故走上10级楼梯共有89
种不同的方 法。

十七.枚举法（树状图、表格法）
例15.设有编号1,2,3,4,5的 五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个
盒子内,要求每个盒子放一个球， 并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投
法

2
解：从5个球中取出2个与盒子对号有
C
5
种还剩下3球3盒序号不能对 应，利用实际操
1
作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4 ,5号球有只有1
3
2
2C
5
2
种装法，同理3号球装5号 盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有
种

4
5
534

3号盒 4号盒 5号盒




练习题：
1.同一寝室4人,每人写 一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年
卡不同的分配方式有多少种？ (9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72种




例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A 、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求
各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收
到意想不到的结果

解:










红
黄
兰
取法
1
1
3
11
C
5
C
4

1
2
2
12
C
5
C
4

1
3
1
13
C
5
C
4

2
1
2
1
C
5
2
C
3

2
2
1
C
5
2
C
3
2

3
1
1
1
C
5
3
C
2

一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗
漏的情况,用表格 法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效
十八、全错位排列问题
每个元素都 不在自己编号的位置上的排列问题，我们把这种限制条件的排列问题叫做全错位
排列问题.
1．错位排列问题
例1.4名同学各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人写 的贺卡，则四张贺
卡的不同分配方式共有 种.
例2.将编号为1，2，3，4 的四个小球分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每
个盒子放一个小球，且小球的编号与盒 子的编号不能相同，则共有 种不同的放法.
这两个问题的本质都是每个元素都不在自己编 号的位置上的排列问题，我们把这种限
制条件的排列问题叫做全错位排列问题.
例3.五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，

则不同的坐法有 种.
解析：可以分类解决：
第一类，所有同学都不坐自己原来的位置；
第二类，恰有一位同学坐自己原来的位置；
第三类，恰有两位同学坐自己原来的位置.
对于第一类，就是上面讲的全错位排列问题；对于 第二、第三类有部分元素还占有原
来的位置，其余元素可以归结为全错位排列问题，我们称这种排列问题 为部分错位排列问题.
设
n
个元素全错位排列的排列数为
T
n，则对于例3，第一类排列数为
T
5
，第二类先确
定一个排原来位置的同 学有5种可能，其余四个同学全错位排列，所以第二类的排列数为
5
T
4
，第 三类先确定两个排原位的同学，有
C
5
=10种，所以第三类的排列数为10
T
3
，因此例
3的答案为：
T
5
+5
T
4
+10
T
3
.
由于生活中很多这样的问题，所以我们有必要探索一下关于全错位排列问题的解决方
法.
2．关于全错位排列数的一个递推关系式：
T
n
= (
n
-1) (
T
n
-1
+
T
n
-2
) ，（
n
≥3）
(1).一般地，设
n
个编号为1、2、3、… 、
i
、…、
j
、…、
n
的不同元素
a
1、
a
2
、
a
3
、…、
2
a
i
、…、
a
j
、…、
a
n
，排在一排，且每个元素均 不排在与其编号相同的位置，这样的全错位
排列数为
T
n
，则
T
2
=1，
T
3
=2，
T
n
= (
n
-1) (
T
n
-1
+
T
n
-2
) ，（
n
≥3）.
(2).递推关系的确立
显然对于
n
= 1，2时有
T
1
=0，
T
2
=1.
当
n
≥3时，在
n
个不同元素中任取一个元素
a
i
不排在与其编 号相对应的
i
位，必排在
剩下
n
-1 个位置之一，所以
a
i
有
n
-1 种排法.
对
a
i
每一种排法，如
a
i
排在
j
位，对应
j
位的元素
a
j
的排位总有两种情况：
第一种情况：
a
j
恰好排在
i
位上，如表（1）
1 2 3 …
i
…
j
…
n

a
j

a
i

表（1）
此时，
a
i
排在
j
位，
a
j< br>排在
i
位，元素
a
i
，
a
j
排位已 定，还剩
n
-2个元素，每个元素均
有一个不能排的位置，它们的排位问题就转化为
n
-2 个元素全错位排列数，应有
T
n
-2
种；
第二种情况：
a
j
不排在
i
位上，如表（2）
1 2 3 …
i
…
j
…
n




表（2）
此时，
a
i
仍排在
j
位，
a
j
不排在
i
位 ，则
a
j
有
n
-1个位置可排，除
a
i
外 ，还有
n
-1个
元素，每个元素均有一个不能排的位置，问题就转化为
n-1个元素全错位排列，排列数为

a
i

T
n
-1
，由乘法原理和加法原理可得：
T
n
=(
n
- 1)(
T
n
-1
+
T
n
-2
) ，（
n
≥3）.
利用此递推关系可以分别算出
T
4
=9，
T
5
=44，所以题三的答案为44+5×9+10×2=109.

2． 关于全错位排列数的一个通项公式：
T
n
=
n![
111
(1)
n
]
（
n
≥2）
2!3!n!
n
4. 关于全错位排列数的另一个递推关系式：
T
n
=
nT
n
-1
+
(1)



1． (2012·北京)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位 数，
其中奇数的个数为
A．24 B．18 C．12 D．6
答案 B
解析 当选0时，先从1,3,5中选2个数字有C
3
种方法，然后从选中的2个数字中选1

2
( )

个排在末位有C
2
种方法，剩余1个数字排在首位，共有C
3
C
2
＝6(种)方法；
当选2时，先从1,3,5中选2个数字有C
3
种方法，然后从选中的2个数字中选1 个排在
末位有C
2
种方法，其余2个数字全排列，共有C
3
C
2
A
2
＝12(种)方法．
依分类加法计数原理知共有6＋12＝18(个)奇数．
2． 把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在右图中的
1,2,3,4,5,6,7
所示的位置上，其中3盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放
方法有
A．2 680种
B．4 320种
C．4 920种
D．5 140种
答案 B
解析 先将7盆花全排列，共有A
7
种排法，其中3盆兰花排在一条直线上的排法 有5A
3
A
4
(种)，故所求摆放方法有A
7
－5A
3
A
4
＝4 320(种)．
3． 计划展出10幅不同的画，其中1幅 水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一
品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那 么不同的排列方式的种数有( )
A．A
4
A
5

C．C
3
A
4
A
5

答案 D
解析 先把3种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑，不能放在头尾，故只
能放在中 间，又油画与国画有A
2
种放法，再考虑国画与油画本身又可以全排列，故排列
的方法 有A
2
A
4
A
5
种．
4． (2013·浙江) 将
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
六个字母排成一排，且
A
、
B
均在
C
的同侧，则不同
的排法共有________种(用数字作答)．
245
2
145
45
734
734
1212
2
121
( )
B．A
3
A
4
A
5

D．A
2
A
4
A
5

245
343

答案 480
解析 分 类讨论：
A
、
B
都在
C
的左侧，且按
C
的 左侧分别有两个、三个、四个、五个
字母这4类计算，再考虑右侧情况．
所以共有2(A2
·A
3
＋C
3
A
3
·A
2
＋C
3
A
4
＋A
5
)＝480(种)．
5． 将 6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴省运会的四个不同
场馆服务，不同的分 配方案有________种(用数字作答)．
答案 1 080
C
6
C
5
C
4
4
解析 先分组再分配，共有
2
·A
4
＝1 080(种)分配方案．
2A
2
6． 某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成． 如果第一棒火
炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有________种(用数字作答)．
答案 96
解析 甲传第一棒，乙传最后一棒，共有A
4
种方法．
乙传第一棒，甲传最后一棒，共有A
4
种方法．
丙传第一棒，共有C
2
·A
4
种方法．
由分类加法计数原 理得，共有A
4
＋A
4
＋C
2
·A
4
＝9 6(种)方法．
7． 有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3 ,4的蓝色卡片，从
这8种卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10 ，
则不同的排法共有________种(用数字作答)．
答案 432
解析 取出的4张卡片所标数字之和等于10，共有三种情况：1144,2233,1234.
所取卡片是1144的共有A
4
种排法．
所取卡片是2233的共有A
4
种排法．
所取卡片是1234，则其中卡片 颜色可为无红色，1张红色，2张红色，3张红色，全是
红色，共有排法A
4
＋C4
A
4
＋C
4
A
4
＋C
4
A
4
＋A
4
＝16A
4
(种)，

414 243444
4
4
4414
14
4
4
112
23132245

∴共有排法18A
4
＝18×4×3×2×1＝432(种)．
8． 某商 店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必
须排在一起，而丙、丁 两种不能排在一起，不同的排法共有________种．
答案 24
解析 甲、乙排在一 起，用捆绑法，丙、丁不排在一起，用插空法，不同的排法共有
2A
2
·A
3
＝24(种)．
9．某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：
(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？
(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？
解 (1)只需从其他18人中选3人即可，共有C
18
＝816(种)；
(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C
18
＝8 568(种)；
(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，
共有C
2
C
18
＋C
18
＝6 936(种)；
(4)方法一 (直接法)：
至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：
一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，
所以共有C
12
C
8
＋C
12
C
8
＋C
12
C
8
＋C
12
C
8
＝14 656(种)．
方法二 (间接法)：
由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C
20
－(C
1 2
＋C
8
)＝
14 656(种)．
555
142332 41
143
5
3
22
4