幸亥革命-挡土墙施工

http: MBA联考辅导平台
怎样解排列组合问题
在这几次模考中，发现同学们在学习排列组合中有许多问题。现就排列组 合给同学们讲
讲几种方法。
首先，怎样分析排列组合综合题？
（1）使用“分类计 数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某事件时采取的方
式而定，分类来完成这件事时用“分类 计数原理”，分步来完成这件事时就用“分步计数原
理”，怎样确定分类，还是分步骤？“分类”表现为 其中任何一类均可独立完成所给的事件，
而“分步骤”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确 理解两个原理强调完成一件
事情的几类办法互不干扰，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都 能将事情单独
完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步
之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。
（2）排列与组合定义相近，它们的区别是在于是否与顺序有关。
（3）复杂的排列问题常常 通过试验、画简图、小数字化等手段使问题直观化，从而寻
求解题途径，由于结果的正确性难于检验，亦 常常需要用不同的方法求解来获得检验。
（4）按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步 是处理组合问题的基本思
想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。
（5）处理排列、 组合综合性问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性
质进行“分类”和按事件的过程“ 分步”，始终是处理排列、组合问题基本方法和原理，通
过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能。
（6）在解决排列、组合综合性问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练确定问
题是排列 问题还是组合问题，牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重
复和遗漏计数。 “16字方针”是解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，有序排列，
无序组合。 “12个技巧”是迅速解决排列组合的捷径，具体方法与运用如下：
一．特殊元素的“优先排列法”： 对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，
再考其他的元素。
二．总体淘汰法：对于含否定的问题，还可以从总体中把不合要求的除去。
三．合理分类与准 确分步：含有约束条件的排列组合问题，按元素的性质进行分类，按
事情发生的连续过程分步，做到分类 标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
四．相邻问题用捆绑法：对于某些元素要求相邻的排列问题，先 将相邻接的元素“捆绑”
起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。
五．不相邻问题用“插空法”：对某几个元素必须不相邻的排列问题，可将其他元素排
列好，然 后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。
六．顺序固定用“除法”：对于某几 个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素
与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这 几个元素的全排列数。
七．分排问题用直接法：把几个元素排成若干排的问题，可采用统一排成一排的排方法
来处理。
八．试验：题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律。
例.将数字1，2， 3，4填入标号为1，2，3，4，的方格中，每方格填1个，方格标号与
所填数字均不相同的填法种数 有（ ）
A,6 B.9 C.11 D.23
解：第一方格内可填2或3或4，如第 一填2，则第二方格可填1或3或4，若第二方
格内填1，则后两方格只有一种方法；若第二方格填3或 4，后两方格也只有一种填法。一

http: MBA联考辅导平台
共有9种填法，故选B
九．探索：对于情况复杂，不易发现其规律的问题需要认真分析，探索出其规律
例.从1到1 00的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则不同的取
法种数有多少种。 解：两个数相加中以较小的数为被加数，1+100>100，1为被加数时有1种，2为被加
数有 2种，„，49为被加数的有49种，50为被加数的有50种，但51为被加数有49种，
52为被加 数有48种，„，99为被捕加数的只有1种，故不同的取法有（1+2+3+„+50）+
（49+4 8+„+1）=2500种
十．消序
例。4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排 成一行，要求从左到右女生从矮
到高排列，有多少种排法。
4
解：先在7个位置中任 取4个给男生，有
A
7
种排法，余下的3个位置给女生，只有一
4
种 排法，故有
A
7
种排法。
画图解题会很形象和直观。
十 一.住店法：解决“允许重复排列问题”要区分两类元素，一类元素可以重复，另一
类不能重复，把不能 重复的元素看作店，再利用分步计数原理直接求解称“住店法”
例.7名学生争五项冠军，获得冠军的可能种数有（ ）
55
A.
7
种 B.
5
种 C.
A
7
种 D.
C
7
种
57
解.七名学生看作七家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个客有7种住法，由分步计
数原理 可得
7
种，故选A，7名学生争5项冠军，并没有说每个人只能得一项冠军，也就是
说 冠军可以重复，即5项冠军可以重复，把不重复的7名学生看作店，把5项冠军看作客人，
则5项客人 每项都有7种住法，然后再用分步计算原理，第1个客人有7种，然后第二个客
人有7种……5个客人都 是7种因此是
7
种。
十二.对应
例.在100名选手之间进行单循环淘汰 赛（即一场失败要退出比赛）最后产生一名冠军，
要比几场？
解.要产生一名冠军，要淘汰冠 军以外的所有选手，即要淘汰99名选手，要淘汰一名就
要进行一场，故赛99场。
以上十二 种方法是解决一般排列组合问题常用方法，数学是一门非常灵活的课程，解题
法仅仅限于这“12个技巧 ”，此外，常用的还有“隔板法”，“倍缩法”。
排列组合问题中的数学思想方法也是用得多的（教师 点评：这句可改为“排列组合问题
中蕴藏着数学思想方法”）
一．分类讨论的思想：许多“数 数”问题往往情境复杂，层次多，视角广，这就需要我
们在分析问题时，选择恰当的切入点，从不同的侧 面，把原问题变成几个小问题，分而治之，
各种击破。
例.已知集合A和集合B各含有12个 元素，
AB
含有4个元素，求同时满足下列条
件的集合C的个数：
1）
CAB
且C中含有3个元素，2）
CA



5
5

http: MBA联考辅导平台
解：如图，因为A，B各含有12个元素，
AB
含有4个元 素，
所以
AB
中的元素有12+12-4=20个，其中属于A的有12个，属于< br>A而不属于B的有8个，要使
CA

，则C中的元素至少含在A
1
中，集合C的个数是：1）只含A中1个元素的有
C
12
C
8
2
；2）含A中

8
4
8
213
2个元素的有
C
12
C
8
；3）含A中3个元素的有
C< br>12
C
8
0
，故不求的集合C的个数共有
1213
C
12
C
8
2
+
C
12
C
8
+
C
12
C
8
0
=1084个
二．等价转化的 思想：很多“数数”问题的解决，如果能跳出题没有限定的“圈子”，
根据题目的特征构思设计出一个等 价转化的途径，可使问题的解决呈现出“要柳暗花明”的
格局。
1.具体与抽象的转化
例.某人射击7枪，击中5枪，问击中和末击中的不同顺序情况有多少种？
分析：没击中用“ 1”表示，击中的用“0”表示，可将问题转化不下列问题：数列
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
,a
6
,a
7
有两项为0，5项是1，不同的数列个数有多少个？
解：
21
1）两个0不相邻的情况有
C
6
种，2）两个0相邻的情况有
C
6< br>种，所以击中和末击中
21
的不同顺序情况有
C
6
+
C
6
=21种。
2）不同的数学概念之间的转化
例.连结正方体8个顶点的直线中，为异面直线有多少对？
分析：正面求解或反面求解（利用 补集，虽可行，但容易遗漏或重复，注意这样一个事
实，每一个三棱锥对应着三对异面直线，因而转化为 计算以正方体顶点，可以构成多少个三
棱锥）
解：从正文体珠8个顶点中任取4个，有
C
8
4
种，其中4点共面的有12种，（6个表面
和6个对角面）将不共面 的4点可构一个三棱锥，共有
C
8
4
-12个三棱锥，因而共有3（
C
8
4
-12）
=174对异面直线。
综上所述，有以上几种解排 列组合的方法，此外，当然也还有其他的方法要靠我们去发
现和积累，我们要掌握好这些方法，并且能够 灵活运用，这样，在日常生活中，我们们能轻
易解决很多问题。
教师点评：对排列组合问题的 处理方法总结得很细、很全面，而且挖掘出其中所蕴藏的
数学思想方法，对学习排列组合有一定的指导性 。