插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以 用插入法.即先排好没有
限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可 .若N个
人站成一排，其中M个人不相邻，可用“插空”法解决，共有 种排法。
练习： 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？

分析 此题涉及到的是不 相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在
解决时就要特殊对待.所涉及问题是排 列问题.

解 先排学生共有 种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中
的4个空档,共有 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为 种.

三、复杂问题-- 总体排除法或排异法

有些问题直接法考虑比较难比较复杂，或分类不清或多种时，而它的反面 往往比较简捷，
可考虑用“排除法”，先求出它的反面,再从整体中排除.解决几何问题必须注意几何图
形本身对其构成元素的限制。

例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶 点共7个点，以其中3个点为顶点的三角
形共有 个.

解：从7个点中取3个点的取法有 种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶
点 三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有 －3＝32个.

练习： 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在 内
的抽法有多少种?

分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况, 这样解题的话,容易造成各
种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容 易理解,而
且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程.

解 43人中任 抽5人的方法有??种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有??种,所以正副
班长,团支部书记至 少有1人在内的抽法有? ? 种.

四、特殊元素--优先考虑法

对于 含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他
位置的安排。

例4． (1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在
两端，则共有不同的排法

种．

解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选< br>一个位置，有3种，而其余学生的排法有 种，所以共有 ＝72种不同的排法.
< br>例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参
加比赛 ，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、
四位置，那么不同的出场 安排共有 种.

解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有 种排法，而其余7名队
员选出2名安排在第二、四位置，有 种 排法，所以不同的出场安排共有??＝252
种.

五、多元问题-- 分类讨论法

对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。

例6．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增
加了两个新 节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）

??A．42??B．30??C．20??D．12
解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有 种；2.
1
相临：共有 种。故不同插法的种数为：
A
6
2
+
A
2
2
A
6
=42 ，故选A。

例7． （2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要
求相邻地区不得使用 同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有? ?? ?
种.（以数字作答）

解：由题意，选用3种颜色时，C
4
3
种颜色，必须是②④同色，③⑤同色， 与①进行全
排列，涂色方法有C
4
3
A
3
3
=24 种4色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有2种
情况，涂色方法有C
2
1A
4
4
=48种所以不同的着色方法共有48+24=72种；故答案为72

六、混合问题--先选后排法

??对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．

??例8 ．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每
个路口4人，则不 同的分配方案共有（??）种

A. ??? B.3种??? C. 种??? ? ? D.

解：本试题属于均分组问题。则12名同学均分成3组共有 种方法,分配到三个不同
的路口的不同的分配方案共有：

种，故选A。

例9．（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种 中选出3种，
分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）?

?A．24种? ?? ?B．18种? ?? ?C．12种? ? ? D．6种??
< br>解：黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是C
3
2
种，在不同土质的三块土地上 种植的方
法是A
3
3
，

∴种法共有C
3
2
A
3
3
=18，故选B．

七．相同元素分配-- 档板分隔法

例10．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室 分得的书

的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思 考这些
方法是否适合更一般的情况？本题考查组合问题。

解一：先让2、3号阅览室 依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证
每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本 相同书之间的6个“空档”内插入两个相同
“I”（一般可视为“隔板”）共有
C
6
2
种插法，即有15种分法。

2、解二：由于书 相同，故可先按阅览室的编号分出6本，此时已保证各阅览室所分得
的书不小于其编号，剩下的4本书有 以下四种分配方案：①某一阅览室独得4本，有
种分法；②某两个阅览室分别得1本和3本，有
有
种分法；③某两个阅览室各得2本，
种分法.由加法原理，种分法；④某一阅览室得2本，其 余两阅览室各得1本，有
+=15种.

共有不同的分法3
八．转化法:

对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问 题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、
具体的问题来求解

。例11 高二年级 8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配
方案有多少种?

分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就
会显 得比较清楚,方法简单,结果容易理解.

解： 此题可以转化为:将12个相同的白球分成8 份,有多少种不同的分法问题,因此须把
这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的黑球, 每个空档最多放一个,即可将

白球分成8份,显然有??种不同的放法,所以名额分配方 案有??种.

九．剩余法:

在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法 ,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可
转化为求剩法.

例12 袋中有5分硬币23个,1角硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法?

分析 此 题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,
难以理出头绪来.但 是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题.

解??把所有的硬币全部取 出来,将得到0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,
所以剩下0. 15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以共有2种取法.

十．对等法:

在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只
要求出 全体,就可以得到所求.

例13??期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序?

分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序只有两种情
况,并 且在整个排列中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能够得到
全体,那么问题就可 以解决了.并且也避免了问题的复杂性.

解 不加任何限制条件,整个排法有 种,“语文安排在数学之前考”,与“数学安排在

语文之前考”的排法是相等的, 所以语文安排在数学之前考的排法共有 种.

十一．平均分组问题:

例14．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：

（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；

（2）分为三份，每份2本；

（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；

（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；

（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本。

解：1.C26xC24=90；

2.(C26xC24)A33=15；

3.C16xC25=60；

4.C16xC25xA33=360；

5.【(C26xC24)A33+C16xC25+C16xC15A22】xA33=540.

总之，排列、组合应用题的解题思路可总结为：排组分清，加乘明确；有序排列，无序
组合；分类为加，分步为乘。

具体说，解排列组合的应用题，通常有以下途径：

（1）以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素。

（2）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置。

（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列组合数。

四、巩固练习

五、
课堂总结

六、课后作业容布置 （分数混合运算的复习习题）

七、课后教学反思（该部分课后手写）

不足之处：

成功之处：

（及时反思，持之以恒，量变引起质变，一天积累一小点，学习提升一大点）

学科带头人

时
课前审核签
名

课后反馈表

其它说

间


明

学管在阅读完教案、课后反馈表后，签名： 日期：