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排列组合
复习巩固
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事， 有
n
类办法，在第1类办法中有
m
1
种不同的方法，在第2类办法中 有
m
2
种不同的方法，…，在第
n
类办法中
有
m< br>n
种不同的方法，那么完成这件事共有：
2.分步计数原理（乘法原理）
完成 一件事，需要分成
n
个步骤，做第1步有
m
1
种不同的方法，做第2 步有
m
2
种不同的方法，…，做第
n
步有
m
n种不同
的方法，那么完成这件事共有：
Nm
1
m
2
Lm
n
种不同的方法．
Nm
1
m
2
Lm
n
种不同的方法．
3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.


要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来 解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素

一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.



三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目 不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？


元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端


四.定序问题倍缩空位插入策略
例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理




五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元 素的位置，一般地n不

n

同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为
m
种

六.环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?


1
m
A
n
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种 排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有

n


七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.




八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.

解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?

九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其 中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？

十.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？

1

将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每 份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个

空隙中，所有分法数为
C
m1

n1


十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数 字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？

有些排列组合问题, 正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.


十二.平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？

n

平均分成的组 ,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以
A
n
(
n< br>为均分的组数)避免重复计数。


练习题：
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数
为______

十三. 合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能 能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法

解含有约束 条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次

清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。


练习题：

十四.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2,3, 4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2
盏,求满足条件的关灯方法有多少种？

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非 常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决



十五.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3, 4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且
恰好有两个球的编号与 盒子的编号相同,有多少投法

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往 往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果



十六. 分解与合成策略
例16. 30030能被多少个不同的偶数整除


分 解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问 题分解后

的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略


十七.化归策略
例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？


处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题 的解

决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题



十八.数字排序问题查字典策略
例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？



数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出 其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数。


十九.树图策略
例19．
3
人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过
5
次传求 后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用



2

二十.复杂分类问题表格策略
例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有 A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种
不同的取法

一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须

满足的条件,能达到好的效果.


二十一：住店法策略
解决 “允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客” ，能重复
的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.
例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 .

排列组合易错题正误解析
1没有理解两个基本原理出错
排列组合问 题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.
例1 从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.
例2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种.
3
（A）
A
4
（B）
4
3
（C）
3
4
（D）
C
4

3
2判断不出是排列还是组合出错
在判断一 个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.
例3 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？

3重复计算出错
在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。
例4 5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
（A）480 种 （B）240种 （C）120种 （D）96种

例5 某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ ）种.
（A）5040 （B）1260 （C）210 （D）630

4遗漏计算出错
在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。
例6 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（ ）
（A）36个 （B）48个 （C）66个 （D）72个

5忽视题设条件出错
在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解.
例7 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4
种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）

例8 已知
ax

2
0


1，3
2
1
4
5
3
b0
是关于
x
的一元二次方程，其中
a
、
b{1,2,3,4}
，求解集不同的 一元二次方程的个数.
6未考虑特殊情况出错
在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错.
例9 现有1角、2角、5角、 1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值
种数是（ ）
(A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种
7题意的理解偏差出错
例10 现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（ ）种.
（A）
358633384
A
6
A
5
（B）
A
8
A
6
A
3
（C）
A
5
A
3
（D）
A
8
A
6

8解题策略的选择不当出错
例10 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班 去何工厂可自由选择，
则不同的分配方案有（ ）.
（A）16种 （B）18种 （C）37种 （D）48种

3

排列与组合习题

1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( )
A．40 B．50 C．60 D．70
2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )
A．36种 B．48种 C．72种 D．96种
3．只用1,2,3三 个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )
A．6个 B．9个 C．18个 D．36个
4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( )
A．2人或3人 B．3人或4人 C．3人 D．4人
5．某幢楼从 二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法 有( )
A．45种 B．36种 C．28种 D．25种
6．某 公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名 电脑编程
人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有( )
A．24种 B．36种 C．38种 D．108种
7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝ {1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的
个数 为( )
A．33 B．34 C．35 D．36
8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )
A．72 B．96 C．108 D．144
9．如果在一周内( 周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学< br>校均只参观一天，那么不同的安排方法有( )
A．50种 B．60种 C．120种 D．210种
10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一 天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排
方法共有________种．(用数字 作答)
11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有___ _____种不同的排法．(用数字作答)
12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个 组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的
分配方案有________种(用数字作答)．
13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有_____ ___种不同的
种法(用数字作答)．
14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片 放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，
则不同的方法共有
（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种
15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在
10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有
A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种
16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是
（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144 w_w_w.k*s 5*u.c o*m
17. 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一 个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有
0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数 字相同的信息个数为
A.10 B.11 C.12 D.15
18. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作 之一，每
项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则 不同安排方案的种数是
A．152 B.126 C.90 D.54
19. 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的 4人中恰有
1名女同学的不同选法共有( D )
（A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种

4

20. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班， 则不同分
法的种数为
A.18

B.24

C.30

D.36

21. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是
A. 60 B. 48 C. 42 D. 36
22. 从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不 同选法的种数位为（ ）
A 85 B 56 C 49 D 28
23. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排 ，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是
A. 360 B. 188 C. 216 D. 96
24. 12个篮球队中有 3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（ ）
311
C． D．
43
55
25. 甲、乙、丙
3
人站到共有
7
级的台阶上，若每级台阶最多站
2
人，同一级台阶上 的人不区分站的位置，则不同的站法种数是
A． B．
（用数字作答）．
26. 锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同 。从中任意舀取4个汤圆，
则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）
A．
1

55
8

91
B．
25

91
C．
48

91
D．
60

91
27. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．
28. 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入 每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不
同的放球方法有（ ）
A．10种 B．20种 C．36种 D．52种
29. 将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有
（A）３０种 （B）９０种 （C）１８０种 （D）２７０种
30. 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲 和丙只能同去或同不去,则不同的
选派方案共有 种
31. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有 个（用数字作答）．
32．有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有 3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时
点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来 表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？
33．按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？
(1)各组人数分别为 2,4,6个；(2)平均分成3个小组；(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间．
34．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？
(1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ < br>(3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的 排法？
35. 已知
m,n
是正整数，
（1） 试求
f(x)( 1x)
m
(1x)
n
的展开式中
x
的系数为7，
f(x)
中的
x
2
的系数的最小值
（2） 对于使
（3）
f(x)
的
x
2
的系数为最小的
m ,n
，求出此时
x
3
的系数
利用上述结果，求
f(0.003)
的近似值（精确到0.01）

5