幼儿园食品安全应急预案-september是什么意思

专题四 排列组合
一．两个计数原理
1、分类计数原理： 做一件事情，完成它可以有
n
类办法，在第一类办法中有
m
1
种 不同的方法，在第二类办法中
有
m
2
种不同的方法，在第
n
类办法中有
m
n
种不同的方法那么完成这件事共有
Nm
1
m
2

…
m
n
种不同的方法
分类的原则：分类 计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分
类标准进行分类，分类时要 注意两条基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须分为相应的
类，二是不同类的任何方法必须是不 同的方法，只要满足这两条基本原则，就可以确保计数的不
重不漏。(完成这件事的
n
类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这
件事，而不需要再用到其他的方法。 )
2、分步计数原理：
做一件事情，完成它需要分成
n
个步骤，做第一步 有
m
1
种不同的方法，做第二步有
m
2
种不
同的方 法，……，做第
n
步有
m
n
种不同的方法，那么完成这件事有
Nm
1
m
2

…
m
n
种不同的方法
分布的原则：a:明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，单独用题目中所给的某种方 法是不
是能完成这件事，也就是说，是否必须经过几步才能完成这件事。
b:完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才能完成这件事，缺
少任何一步，这件事 就不可能完成。
c:根据题意，正确分布，要求各步之间必须连续，只有按照这
n
个步骤逐步的去
做，才能完成这件事，各个步骤之中既不能重复也不能有遗漏。
3、两个基本原理的作用：
计算做一件事完成它的所有不同的方法种数
4、两个基本原理的区别：
一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”
5、原理浅释：
分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n类办法”，是说每种办法 “互斥”，即每种方法都
可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏.进行分类时，要求 各类办法彼此之

业精于勤荒于嬉

0

间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事只有满足这个条件，
才能直接用 加法原理，否则不可以
分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个 步骤都不足以完
成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏.
如果完成一件事需要分成 几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这
件事，而各步要求相互独立，即相对于 前一步的每一种方法，下一步都有
m
种不同的方法，那么
完成这件事的方法数就可以直 接用乘法原理
可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同.
两个原理的公式 是:
Nm
1
m
2

…
m
n
,
Nm
1
m
2

…
m
n
这种变形还提醒人们，分类和分步，常是在一定的限制之下人为的，因此，在这里我们大有
用武之地 ：可以根据解题需要灵活而巧妙地分类或分步.
强调知识的综合是近年的一种可取的现象.两个原理，可以与物理中电路的串联、并联类比.
6、方法提示
a.对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理 的问题，我们
可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题的分析更直观、清晰。
b.一般是先 分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏，分步时
要注意步与步之间的连续 性。

1.
a,b,c,d
排成一行，其中
a
不排第一， b不排第二，c不排第三，d不排第四的不同排法共有多少种？


2.关于正整数2160，求：
（1）它有多少个不同的正因数？
（2）它的所有正因数的和是多少？




3.书架的 第一层放有6本不同的数学书，第二层放有6本不同的语文书，第三层放有5本不同的英语书。
（1） 从这些书中任意取一本数学书，一本语文书，一本英语书共三本书的不同取法有多少种
（2） 从这些书中任取三本，并且在书架上按次序排好，有多少种不同的排法？


4.从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等 于11，这

业精于勤荒于嬉

1

样的子集共有多少个?



5.将字1、2、3、4填入标号为 1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不
相同的填法有（ ）
A.6种 B.9种 C.11种 D.23种


6.某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××× ×0000”到“×××××××9999”共10000个
号码，公司规定：凡卡号的后四位中带有数 字“4”或“7”的一律作为优惠卡，则这组号码中“优惠卡”共有
个.


7.(2011北京理 12)用数字
2
，
3
组成四位数，且数字< br>2
，
3
至少都出现一次，这样的四位数共有个
(
用数字作答< br>)


8.(2012北京理5)从0，2中选一个数字.从1，3，5中选 两个数字，组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数
为( )
A.
24
B.
18
C.
12
D.
6



9.(2011浙江理6)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同 的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
A.
60
种 B.
63
种 C.
65
种 D.
66
种


10.某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分(如图)，现要栽种4种 颜色的
5
花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种(以< br>1
6
4
数字作答).
3
2


1 1.将一四棱锥的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五
种颜色可供使用，则不同 的染色方法共种

C


12.(2010天津理)如图，用四种 不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个
点涂一种颜色，且图中每条线段的两个 端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用( )
A.
288
种 B.
264
种
C.
240
种 D.
168
种

A
B
E
D
二．排列组合
一 .基本计算公式

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2

(一)排列数公式
m
=
n(n1)(nm 1)
=
A
n
n！
.(
n
，
m
∈ N
*
，且
mn
).注:规定
0!1
.
(n m)！
A
n
m
n(n1)

(nm1)
n！
(二)组合数公式
C
=
m
==(
n
∈N
*
，
mN
，且
mn
).
12

 m
A
m
m！(nm)！
m
n
二．常用策略
(1)特殊元素优先策略 (2)合理分类与准确分步策略
(3)排列组合混合问题先选后排策略 (4)元素相同问题隔板策略
(5)相邻问题捆绑策略 (6)不相邻问题插空策略
(7)定序问题除法策略 (8)多排问题直排策略
(9)重排问题求幂策略(10).环排问题线排策略
(11)“小集团”问题先整体后局部策略 (12)构造模型的策略
(13)正难则反总体淘汰策略（14）住店法策略
（15）复杂分类问题表格策略（16）树图策略
（17）数字排序问题查字典策略（18）化归策略
(19)分解与合成策略(20)实际操作穷举策略
(21)构造模型策略(22)平均分组问题除法策略


（一）特殊元素优先安排
例1.用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数， 试求满足下列条件的四位数各有多少个？
（1）数字1不排在个位和千位
（2）数字1不在个位，数字6不在千位。





例 2．（1）用0，1，2，3，4组合多少无重复数字的四位数？（2）这四位数中能被3整除的数有多少个？




例3.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

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3

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位共有
C
3

然后排首位共有
C
4

最后排其它位置共有
A
4

由分步计数原理得
C
4
C
3
A
4
288






1.(2008辽宁理9)一生产过程有4道工 序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4
人分别照看一道工序，第一道工序 只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1
人，则不同的安排方案共有（ ）
A．24种 B.36种 C.48种 D.72种
2.(2012< br>全国文
7)
6
位选手依次演讲，其中选手甲不再第一个也不再最后一个演讲，则 不同的演讲次序共有
( )
A.
240
种 B.
360
种 C.
480
种 D.
720
种

3.(2009广东理7)2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者 中选派四人分别从
事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其 余三人均能从事这四项
工作，则不同的选派方案共有( )

A.
36
种 B.
12
种 C.
18
种 D.
48
种
4:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不 种在两端的花盆里，问有多少不同的种
法？

113
3
1
1
C
4
1
A
4
3
C
3

1
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需
先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位
置。 若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
二.相邻元素捆绑策略

例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有
A
5
A
2< br>A
2
480
种不同的排法
522
甲乙

丙丁


要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并

为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.



练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20




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4

(二)不相邻问题插空策略
例1. 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？



例2. 5男6女排成一列，问
（1）5男排在一起有多少种不同排法？
（2）5男不都排在一起有多少种排法？
（3）5男每两个不排在一起有多少种排法？
（4）男女相互间隔有多少种不同的排法？

例3. 个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种


例4. 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一 所学校，其中有一所学校人数较
多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安 排方法有种


例5.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目 不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有
A
5
种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含
首尾两个空位共有种< br>A
6
不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有
A
5
A
6
种




1.（2013全国大纲卷）< br>6
个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有____种


2.(2012辽宁理5)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
A．
33!
B.
3(3!)

3
4 54
5
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两
C.
(3!)

4
D.
9!


3.某 市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，已经排好的10个节目的相对顺序不变，且3个新节目不相邻，则该晚会的节目单的编排总数为种


4. “同一首歌”心连心文艺团体下基层进行宣传演出，原准备的节目表中有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，在它们之间再插入3个舞蹈节目，如果这三个舞蹈节目在节目表中既不排头，也不排尾，则不同< br>的插入方法有（）种高考资源网
A.200 B.300 C.420 D.210

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5

5.现有六名学生站成一排照相，其中甲、乙两人不 能相邻，丙、丁两人也不能相邻，则不同的站排方法共有（）

A.408种 B.336种 C.264种 D.240种

(三).重排问题求幂策略

例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7 种分依此
类推,由分步计数原理共有
7
种不同的排法

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素

n
的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为
m
种



练习题：
1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目 单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节
目单中，那么不同插法的种数为 42

2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法
7


(四).环排问题线排策略

例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人
A
并从此位置把 圆形展成直
线其余7人共有（8-1）！种排法即
7
！
C
DB
8
6
E
F
G
H
A
AB
C< br>DEFGHA


一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法 .如果从n个不同元素中取出m个元素作圆

1
m

形排列共有
A
n


m


练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120


(五).多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排 前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有
A
4
种,再排 后4个位置上
的特殊元素丙有
A
4
种,其余的5人在5个位置上任意排列有< br>A
5
种,则共有
A
4
A
4
A
5种
15
215
2
前 排

后 排


一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研
业精于勤荒于嬉

6

练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个 座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并
且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346

(六).排列组合混合问题先选后排策略

例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有
C
5
2
种方法.再把4个元素 (包含一个复合元素)
24
C
装入4个不同的盒内有
A
4
种 方法，根据分步计数原理装球的方法共有
45
A
4


解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?


练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完 成一
种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种

(七).小集团问题先整体后局部策略

例9.用1,2,3,4,5组成没有重复 数字的五位数其中恰有两个偶数夹在1,５两个奇数之间,这样的
五位数有多少个？
22解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有
A
2
2
种排法，再排 小集团内部共有
A
2
A
2
种
22
排法，由分步计数 原理共有
A
2
2
A
2
A
2
种排法.
1524
小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。
3



练习题：
１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种
54
的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为
A
2
2
A
5
A
4


55
2. 5男 生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有
A
2
2
A
5
A
5
种

(八).元素相同问题隔板策略

例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
解： 因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中
选６个位置插个 隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应
一种分法共有
C
9
6
种分法。

一
班
二
班
三
班
四
班
五
班
六
班
七
班


业精于勤荒于嬉

7

将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，

1

插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
C
n< br>m


1


练习题：
1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？
C
9
4

3
2.
xyzw100
求这个方程组的自然数解的组数
C
103


（三）分配问题

例1.（1）6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的分法？
（2）6本不同的书分三份，2份1本，1份4本，有多少种不同的分法？
（3）6本不同的书分三份，1份1本，1份2本，1份3本，有多少种不同的分法
（4）6本不同的书平均分给三位小朋友，有多少种不同的分法？
（5）6本不同的书分给三位小朋友，每人至少分到一本，有多少种不同的分法？


例2.某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分 配方案共
种 。




例3.有20个不加区别的小球 放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多
少种不同的方法？




1.(2009辽宁理5)从5名男医生、4名女医生中选 3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，
则不同的组队方案共有( )
A.70种 B. 80种 C. 100种 D.140种

2.(200 7宁夏海南理16)某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个
班，不同的安排方法共有 种。（用数字作答）

3.(2009宁夏海南理15) 7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同
的安排方案共有_ _______________种（用数字作答）。


业精于勤荒于嬉

8

4.(2012新课标理2)将
2
名教师，< br>4
名学生分成
2
个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组< br>由名教师和
2
名学生组成，不同的安排方案共有( )
A.
12
种 B.
10
种 C.

种 D.

种

5.世博会期间，某班有四名学生参加了志愿工作．将这四名学 生分配到A、B、C三个不同的展馆服务，每个
展馆至少分配一人．若甲要求不到A馆，则不同的分配方 案有（）
A.36种 B.30种 C.24种 D.20种

6.将5名 志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案数为（）
A.540 B.300 C.180 D.150

7.(2011全国Ⅱ文9)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门， 则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )
A.12种 B.24种 C.30种 D.36种

8.(2013重庆理)从
3
名骨科.< br>4
名脑外科和
5
名内科医生中选派
5
人组成一个抗震救灾医疗 小组,则骨科.脑外
科和内科医生都至少有
1
人的选派方法种数是_________ __


（9）定序问题除法策略

例1. 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，
（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？
（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？



例2. 有9个大小相同的小球，其中2个黄球，3个红球，4个黑球，排成一排有多少种排法？



例3.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:对于某几个元 素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这
几个元素之 间的全排列数,则共有不同排法种数是：
A
7
A
3

1.(2008宁夏海南理9)甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求 每人参加
一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（）
A.20种



73
B.30种 C.40种 D. 60种
业精于勤荒于嬉

9

2.(2010山东理8)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前2位 、节目乙不能排在
第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有

A.36种 B.42种 C.48种 D.54种

(十)正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数 字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取
法有多少种？
解：这问题中如果直接 求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶
12
C
5
,和为数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有
C
5
3
,只含有1 个偶数的取法有
C
5
123
C
5
C
5
偶 数的取法共有
C
5
。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有
1 23
C
5
C
5
C
5
9


有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出

它的反面,再从整体中淘汰.


练习题：我们班里有43位同学,从中任 抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法
有多少种?

(十一)平均分组问题除法策略

例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
22
C
2
种方法,但 这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF， 解: 分三步取书得
C
6
2
C
4
若第
22
C
2
中还有一步取AB,第二步取 CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则
C
6
2
C
4
(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(E F,AB,CD)共有
A
3
3
种取法 ,而这些分
222
C
4
C
2
A
3
法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有
C
63
种分法。

n
平均分成的组,不管它们的顺序如何 ,都是一种情况,所以分组后要一定要除以
A
n
(
n
为均分的


组数)避免重复计数。
练习题：
54
C
8
4
C
4
A
2
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（
C
132
）

2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的
分组方法（1540）

3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安2222
C
2
A
6
A
2
90
） 排2名，则不同的安排方案种数为______（
C
4

(十二) 合理分类与分步策略

例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳 舞,现要演出一个2人唱歌2人
伴舞的节目,有多少选派方法

业精于勤荒于嬉

10

解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研
究
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有
C
3
2
C
3
2
种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员
112
C
5
C
3
C
4
种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有
C
5
2
C
5
2
种，由分类计数原理共有
112
C3
2
C
3
2
C
5
C
3
C< br>4
C
5
2
C
5
2
种。


解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做

到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

练习题：
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，
则不同的选法共有34

2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2
只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27）
本题还有如下分类标准：
*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准
*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准
*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准
都可经得到正确结果

(十三)构造模型策略

例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7, 8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻
的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满 足条件的关灯方法有多少种？
解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的 灯有
C
5
3
种

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒

模型等，可使问题直观解决


练习题：某排共有10个座位，若4人就坐 ，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？
（120）

(十四)实际操作穷举策略

例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号 1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子
内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两 个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有
C
5
2
种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，
如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理
3号球装5号盒时,4,5号球 有也只有1种装法,由分步计数原理有
2C
5
2
种

5
业精于勤荒于嬉

34


11

3号盒 4号盒 5号盒

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收

到意想不到的结果



1
练习题：
4
1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺
3
2
年 卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)
5

2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72种

(十五)分解与合成策略

例16. 30030能被多少个不同的偶数整除
分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13依题意 可知
偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：
135C
5
C
5
2
C
5
C
5
4
C

5
练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
解：我 们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共
C
8
4
1258
,每个四面体有3对
异面直线,正方体中的8个顶点可连成
358174
对异面 直线

分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题

逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到

问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略


（十六）化归策略

例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多
少种？ < br>解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同
一列, 有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都
111
C2
C
1
种。再从5×5方阵选出3划掉，如此继续下去.从3×3方队中选3人的 方法有
C
3
×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有
C
5
3
C
5
3
选法所以从5×5方阵选不
33111
C
5
C
3
C
2
C
1
选法。 在同一行也不在同一列的3人有
C
5




< br>练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从
A
3
 35
) A走到B的最短路径有多少种？(
C
7
处理复杂的排列组合问题时可 以把一个问题退化成一个简
要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，
从而进下 一步解决原来的问题

B


业精于勤荒于嬉

12

（十七）数字排序问题查字典策略

例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？ 54321
2A
4
A
3
A
2
A
1
297
解:
N2A
5
数字排序问题可用查字典法,查字典的法

应从高位 向低位查,依次求出其符合要求
练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数, 将这些数字从小到大排列起来,第71
的个数,根据分类计数原理求出其总数。
个数是 3140

（十八）树图策略

例19．
3
人相互传球 ,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过
5
次传求后,球仍回到甲的手中,则
不同的 传球方式有______
N10


对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果



练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中
i
号 人不坐
i
号椅（
i1,2,3,4,5
）的不同坐法
有多少种？< br>N44


（十九）复杂分类问题表格策略

例20．有 红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字
母均有且三 色齐备,则共有多少种不同的取法
解:
红 1 1 1 2 2 3

黄 1 2 3 1 2 1

兰 3 2 1 2 1 1

1213131
11
C
5
C
4

C
5
C
4

C
5
2
C
3
C
5
2
C
3
2

C
5
C
2

C
5
C
4

取法





一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗漏的

情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效果.


（二十）住店法策略

解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可 以重复，另一类不能重复，把不能
重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直 接求解.
例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有. < br>分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五
项 冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得7种.
5

业精于勤荒于嬉

13