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2010-2011学年《组合数学》复习题

一、填空题
1、将2n个人分成n组，每组两个人，共有 种不同的分组方法； 2、
从1至100的整数中不重复地选取两个数组成有序对(x，y)，使得x与y的乘
积 xy不能被3整除，共可组成 对有序对；
3、整除88200的正整数有 个；
4、整除510510的正奇数有 个；
5、有 个能被3整除而又不含数字6的三位数；

6、
一个抽屉里有20件衬衫，其中4件是 蓝的，7件是灰的，9件是红的，则应
从中随意取 件才能保证有4件是同颜色的；
7、由2个0、3个1和3个2作成的八位数共有 个；
8、万位数字不是5，个位数字不是2且各位数字相异的五位数共有 个；
9、在m×n棋盘中选取两个相邻的方格(即有一条公共边的两个方格), 共有
个；
10、1）从1至1000的整数中，有 个整数能被5整除但不能被6整除。
2）从1至1000的整数中能被14或21整除的整数个数为 ；
11、外事部门计划安排8位外宾参观4所中学和4所小学，每人参观一所学校，
但外宾甲 和乙要求参观中学，外宾丙要求参观小学，共有 种不同的安
排方案。
12、错误！未找到引用源。展开式中错误！未找到引用源。 的系数
是 。
13、由n个相异元素错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,错误！未找
到引用 源。作成的错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。错误！未找
到引用源。,之间有且只有一个元 素的全排列数为 。
14、10个节目中有6 个演唱、4个舞蹈。今编写节目单，要求任意两个舞蹈之间
至少有1个演唱，问可编写出 种不同的演出节目单。
15、由3只绿球、2只红球、2只白球和3只黄球作成的没有2只黄球相邻的全
排列数是 。

16、方程
x
1
x
2
x
3
4x
4
15
的非负整数解的个数是 。
17、一张币值为二角的人民币兑换为一分、二分或五分的硬币，有 种兑
换方法。
18、⑴小于10000的含数字1的正整数共有 个；
⑵小于10000的含数字0的正整数共有 个；
19、 6位男宾，5位女宾围坐一圆桌，则1）女宾不相邻的就坐方案有 种；
2）所有女宾坐在一起的方案有 种；3）某一女宾A和两位男宾
相邻而坐的方案有 种；
20、已知
a
n
a
n1
12a
n2
0
，< br>a
0
3,a
1
26,(n2)
，则
a
n
= ；

二、计算题
1、确定由数集{2,4,6,8}所形成的全部互异整数的总和。
2、由数集{0,1,2…9}中的数可以构造出多少个不同的四位偶数？
3、学校有100名学生和3个宿舍A, B和C，它们分别能容纳25，35和40人。
1) 为学生安排宿舍有多少种方法？
2) 设100名学生中有50名男生和50名女生， 而宿舍A是全男生宿舍，宿
舍B是全女生宿舍，宿舍C男女生兼收。有多少种方法可为学生安排宿
舍？
4、15个人围坐一桌，如果B拒绝挨着A坐，有多少种围坐方式？如果B只拒
绝坐在 A的右侧，又有多少种围坐方式？
5、从1到300间任取3个不同的数，使得这3个数之和正好被3 整除，试问有
多少种不同方案？
6、求5位数中至少出现一个数字6，而且被3整除的数的个数。
7、 1) 确定多重集
S
=
{3a,4b,5c}
的11-排列个数;
（或确定多重集
M{1a,4b,3c}
的6-排列的个数；）
2 )列出多重集
S
=
{2a,1b,3c}
的所有3-组合和4-组合。
3) 确定多重集
S
=
{4a,3b,4c,5d}
的12-组合的个数。

8、⑴方程
x
1
x
2
x
3
x
4
30
有多少满足条件：
x
1
≥2,
x
2
≥0,
x
3
≥-5, and
x
4
≥8的整数解？
⑵方程
x
1
x
2
x
3
x
4
18
有多少满足条件：
1≤
x
1
≤5, -2≤
x
2
≤4, 0≤
x
3
≤5, 3≤
x
4
≤9的整数解？
9、 ⑴求
U

1,2,3,......500

中能被2，3和5整 除的数的个数；
⑵从1至2000的整数中，至少能被2，3，5中的两个数整除的整数有多少？
10、⑴现有A,B,C和D四种材料分配于生产1，2，3和4 四种产品。假设A不
宜于产 品1，B不宜于产品3和4，C不宜于产品1和3，D不宜于产品4。
试问有多少分配方案，使得每种产 品有一种其适宜的材料？
⑵现有5间房，要安排5个人住宿，每人住一间房间，其中甲不住5 号房间，
乙不住4、5号房间，丙不住3号房间，丁不住2号房间，戊不住1、2
号房间，请用 棋盘多项式方法求解满足题设要求的住宿安排方法总数。
11、现要安排6个人值夜班，从星期一至星 期六每人值一晚，但甲不安排在星期
一，乙不安排在星期二，丙不安排在星期三，共有多少种不同的安排 值班的方法？
12、由a,b,c,d,e这五个字符，从中取6个按 字典顺序构成字符串，要求：⑴第1
个和第6个字符必为辅音字符b,c,d；⑵每一字符串必有两个元 音字符a或e，且
两个元音字符不相邻；⑶相邻的两个字符必不相同。求字符串的总数目。
13、求由{1，3，5，7}组成的不重复出现的整数的总和。
1 4、⑴n个完全相同的球放到m（m≤n）个有标志的盒子，不允许空盒，问共有
多少种不同的方案？
⑵求1，3，5，7，9这5个数组成的n位数的个数，要求其中3和7出现的
次数为偶数，其 它数字出现的次数无限制。
⑶如果要把棋盘上偶数个方格涂成红色，是确定用红色、白色和蓝色对1< br>行n列棋盘的方格涂色的方法数。
（解题要求：利用生成函数方法分析）
15、一 部由1楼上升到10楼的电梯内共有n个乘客，该电梯从5楼开始每层楼
都停，以便让乘客决定是否离开 电梯。

（1）求n个乘客离开电梯的不同方法种数。
（2）求每层楼都有人离开电梯的不同方法的种数。
16、设有n(n≥3)个箱子A
1
, A
2
, „ , A
n
，每个箱子A
i
（i=1，2，„ ，n）都安上
一把锁，n把 锁各不相同。今把n把锁的钥匙随意地放回这n个箱子中，每个箱
子放一把钥匙。锁上全部箱子之后撬开 A
1
和A
2
，然后取出A
1
和A
2
箱子内 的钥
匙去开别的箱子。如果能开出别的箱子，则把箱子内的钥匙拿出来再去开另外的
箱子。如果 最终能把箱子全部打开，则称这n把钥匙的放法是一种好放法。求n
把钥匙的好放法的种数错误！未找到 引用源。.

三、论述题
1、结合本学期学习《组合数学》课程心得体会和你的 研究方向，谈谈组合计数
理论与方法可如何在计算机应用或软件工程领域发挥作用。
答：
1、解决工业界中的试验设计问题；
2、网络可靠性问题；
3、栈排序问题；
4、最短路径问题；
本次课程的主要内容包括：鸽巢原理和Ramsey定理；组合数学基本 计数法（排
列与组合、生成排列和组合、二项式系数、特殊计数序列）、容斥原理及应用
个人 的心得：从开始学习数学的过程中，我们就在接触数学，在高中数学课本中
我们就对数学归纳法有所了解 ，而组合数学主要的研究对象是离散数据，数学归
纳法是学习组合数学的主要工具，对于如何学好组合数 学在课堂的第二节课，老
师已有所指，我很喜欢那句话，不过感觉好熟悉，“你解决的问题越多，能够解
决下一个问题的可能性越大。”
2、选择一个具体案例，结合案例分析组合计数理论与方法在 计算机应用或软件
工程领域的应用前景、应用特点和典型应用案例。
答：
组合数学与计算机软件
随着计算机网络的发展，计算机的使用已经影响到了人们 的工作，生活，学习，社会活
动以及商业活动，而计算机的应用根本上是通过软件来实现的。我在美国听 到过一种说法，
将来一个国家的经济实力可以直接从软件产业反映出来。我国在软件上的落后，要说出根 本
的原因可能并不是很简单的事，除了技术和科学上的原因外，可能还跟我们的文化，管理水